2023届高考数学练习（湖南专版）-考点02 指数函数与对数函数综合运用2（解析版）

1、考点02 指数函数与对数函数的综合21.已知，则（）AaaabbbBaabbabCbbaaabDabbbaa【解答】解：由已知已知，可得ab1，不妨令a3，b2，故aa81，ab9，bb4，aaabbb，故选：A【知识点】指数函数的单调性与特殊点 2.已知a20.2，b20.4，则a，b，c的大小关系是（）AabcBbcaCacbDcab【解答】解：已知a20.2，b20.4，21.2，而函数y2x是R上的增函数，1.20.20.4，则cab，故选：D【知识点】指数函数的单调性与特殊点 3.已知函数，且a1）的图象过定点（m，n），则（）ABCD【解答】解：函数，且a1）中，令x+10，得x1

2、，所以yf（1）1，所以f（x）的图象过定点（1，），所以m1，n；所以故选：D【知识点】指数函数的单调性与特殊点 4.若函数yax+2+2（a0，且a1）的图象恒过一定点P，则P的坐标为（）A（0，1）B（2，1）C（2，2）D（2，3）【解答】解：yax+2+2，当x+20时，x2，此时y1+23，即函数过定点（2，3）故选：D【知识点】指数函数的单调性与特殊点 5.设a，b，c，则a，b，c的大小关系正确的是（）AabcBbacCacbDbca【解答】解：设a，b，c3，由于yx在（0，+）上为增函数，则ac，由于y2x为增函数，则ba，则bac，故选：B【知识点】指数函数的单调性与特殊

3、点 6.函数f（x）2x和函数的图象关于（）对称A原点ByxCy轴Dx轴【解答】解：f（x）2x（）xg（x），函数f（x）2x和函数的图象关于y轴对称，故选：C【知识点】指数函数的单调性与特殊点 7.若函数yax+m+1（a0且a1）的图象恒过定点P（1，2），则m的值是（）A1B0C1D2【解答】解：令x+m0得：xm，此时ya0+12，所以函数的图象恒过定点（m，2），即点P（m，2），所以m1，即m1，故选：C【知识点】指数函数的单调性与特殊点 8.设函数f（x）ax+b（a0且a1）的图象过点（1，8），其反函数的图象过（16，2），则a+b（）A3B4C5D6【解答】解：f（x）a

4、x+b（a0且a1）的图象过点（1，8），代入得a1+b8 ，其反函数的图象过（16，2），f（x）ax+b（a0且a1）的图象过点（2，16），代入得a2+b16，联立，解之得a2，b2，故选：B【知识点】反函数 9.若函数yf（x）与函数ylog2x互为反函数，则（）A9B11C16D18【解答】解：因为函数yf（x）与函数ylog2x互为反函数，所以f（x）2x，所以，故选：D【知识点】反函数 10.已知函数f（x）（a21）x，若x0时总有f（x）1，则实数a的取值范围是（）A1|a|2B|a|2C|a|1D|a|【解答】解：根据题意，x0时，（a21）x1，a211，解得故选：D【知

5、识点】指数函数的图象与性质 11.若，则实数a的取值范围是（）AaRBa0CaDa【解答】解：由，可得2a10，即a实数a的取值范围是故选：D【知识点】有理数指数幂及根式 12.已知ab5，则的值是（）AB0CD【解答】解：ab5，a与b异号，a+ba+ba+b0，故选：B【知识点】有理数指数幂及根式 13.已知a0，函数f（x），若关于x的方程f（x）a（2x）恰有2个互异的实数解，则a的取值范围为（）A1a4B2a4C4a8D2a8【解答】解：当x0时，可得f（x）的函数值为a，而对于直线ya（2x），当x0，可得函数值y2a，显然在y轴上不相交，方程f（x）a（2x）恰有2个互异的实数解

6、，当x0时，f（x）x2+，那么f（x）2x，令2xa，可得切点的横坐标x，要使f（x）x2+与直线ya（2x）有两个交点，则，解得a2，当x0时，f（x）x2，那么f（x）2x，令2xa，可得切点的横坐标为x，x0时，有两个交点，当x0时，没有交点，则，解得a8，综上，可得a的取值范围是（2，8）故选：D【知识点】函数的零点与方程根的关系 14.设函数yf（x）存在反函数yf1（x），且函数yxf（x）的图象过点（1，3），则函数yf1（x）+3的图象一定经过定点（）A（1，1）B（3，1）C（2，4）D（2，1）【解答】解：yxf（x）的图象过点（1，3），31f（1），即f（1）2，即函

7、数yf（x）的图象过点（1，2），则函数yf（x）的反函数yf1（x）过（2，1）点，函数yf1（x）+3的图象一定过点（2，4），故选：C【知识点】反函数 15.设函数f（x）eax与g（x）blnx的图象关于直线xy0对称，其中a，bR且a0则a，b满足（）Aa+b2Bab1Cab1D【解答】解：设A（x，eax）是函数f（x）eax图象上任意一点，则它关于直线xy0对称的点在函数g（x）blnx的图象上，所以xblneaxabx，即ab1，故选：C【知识点】反函数 16.己知函数f（x）的反函数f1（x）log2x，则f（1）【解答】解：把y1代入反函数f1（x）log2x1，故x，故答

8、案为：【知识点】反函数 17.已知函数f（x）arcsin（2x+1），则f1（）【解答】解：令arcsin（2x+1）即sin2x+1解得x故答案为：【知识点】反函数 18.计算：2lg【解答】解：原式lg2+lg5+11+12，故答案为：2【知识点】对数的运算性质 19.设a0，a1，M0，N0，我们可以证明对数的运算性质如下：我们将式称为证明的“关键步骤“则证明（其中M0，rR）的“关键步骤”为【解答】解：设logaMrb，abMr，rlogaMb，logaM，aa（a）r（a）rabMr，关键步骤为：a（a）rMr【知识点】对数的运算性质 20.函数y+1与函数yk（x2）的图象有两个

9、不同的公共点，则实数k的取值范围是【解答】解：由题意，函数y+1可变形为x2+（y1）211x20，1x1，而y1函数y+1的函数图象为圆x2+（y1）21的上半部分又函数yk（x2）表示过定点（2，0）的直线，根据题意，画图如下：图象有两个不同的公共点，直线应在图中两条之间之间，当直线经过点（1，1）时，k1；当直线与曲线相切时，联立，整理，得（k2+1）x22k（2k+1）x+4k（k+1）0，4k2（2k+1）24（k2+1）4k（k+1）0，解得k实数k的取值范围为：（，1故答案为：（，1【知识点】函数的零点与方程根的关系 21.根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）2

10、0毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车假设饮酒后，血液中的酒精含量为p0毫克/100毫升，经过x个小时，酒精含量降为p毫克/100毫升，且满足关系式（r为常数）若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过小时方可驾车（精确到小时）【解答】解：由题意，6189e2r，er，89exr20，x8，故答案为8【知识点】根据实际问题选择函数类型 22.设f1（x）为函数f（x）log2（4x1）的反函数，则当f（x）2f1（x）时，x的值为【解答】解：f1（x）为函数f（x）log2（4x1）的反函数，设yf（x）2f1（

11、x），函数过（x，y），反函数过（x，），所以f（x）同时过（x，y），（，x），代入，得，所以x1，故答案为：1【知识点】反函数 23.设函数f（x）loga（x+4）（a0且a1），若其反函数的零点为2，则a【解答】解：函数f（x）loga（x+4）（a0且a1），若其反函数的零点为2，即函数过（0，2），代入2loga（0+4），a24，a2（a0），故答案为：2【知识点】反函数 24.求下列各式的值：（1）；（2）【解答】解：（1）原式；（2）原式【知识点】有理数指数幂及根式、对数的运算性质 25.已知函数f（x）ax（a1）在区间1，2上的最大值比最小值大2，求实数a的值【解答】解：

12、当a1时，函数f（x）ax在区间1，2上是增函数，f（x）minf（1）a，f（x）maxf（2）a2，由题意知a2a2，解得a2，a1（舍弃），故a的值为：2【知识点】指数函数的图象与性质 26.已知函数f（x）x22ax+2，x1，1（1）当a1时，求f1（1）；（2）当时，判定此函数有没有反函数，并说明理由；（3）当a为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数f1（x）【解答】解：（1）a1时f（x）x22x+2，求f1（1）即是求f（x）1在1，1的解，所以x22x+21，解得x1，所以f1（1）1；（2）a，时f（x）x2+x+2（x+）2+，x1，1，显然函数不单调，所以此时

13、没有反函数；（3）函数存在反函数时必须在1，1上单调，而f（x）（xa）2+2a2，x1，1，对称轴xa，所以a1或a1；当a1时，f1（x）a，x32a，3+2a；当a1 时，f1（x）a+，x3+2a，32a【知识点】反函数 27.已知函数f（x）ax2（a+1）x+1，aR（1）当a0时，求函数y的定义域；（2）若存在m0使关于x的方程f（|x|）m+有四个不同的实根，求实数a的取值范围【解答】解：（1）由题意，f（x）ax2（a+1）x+10，即（ax1）（x1）0，当0a1时，函数y的定义域为x|x或x1，当a1时，函数y的定义域为R，当a1时，函数y的定义域为x|x1或x；（2）令

14、tm+2，则关于x的方程f（|x|）t有四个不同的实根可化为a|x|2（a+1）|x|+1t0有四个不同的实根，即ax2（a+1）x+1t0有两个不同的正根，则，解得a32【知识点】函数的零点与方程根的关系 28.已知函数在（，+）上是增函数（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）f（x）kx有三个零点，求实数k的取值范围【解答】解：（1）当x0时，f（x）x2是增函数，且f（x）0f（0），故当x0时，f（x）为增函数，即f（x）0恒成立，函数的导数f（x）+2ax2a+2a（x1）（1x）（2a）0恒成立，当x1时，1x0，此时相应2a0恒成立，即2a恒成立，即2a（）max恒成立，当x1

15、时，1x0，此时相应2a0恒成立，即2a恒成立，即2a（）min恒成立，则2a，即a（2）若k0，则g（x）在R上是增函数，此时g（x）最多有一个零点，不可能有三个零点，则不满足条件故k0，当x0时，g（x）x2kx有一个零点k，g（0）f（0）00，故0也是故g（x）的一个零点，故当x0时，g（x）有且只有一个零点，即g（x）0有且只有一个解，即+kx0，得+kx，（x0），则k+，在x0时有且只有一个根，即yk与函数h（x）+，在x0时有且只有一个交点，h（x）+，由h（x）0得+0，即得ex2e，得xln2e1+ln2，此时函数递增，由h（x）0得+0，即得ex2e，得0 xln2e1+

16、ln2，此时函数递减，即当x1+ln2时，函数取得极小值，此时极小值为h（1+ln2）+，h（0）1+01，作出h（x）的图象如图，要使yk与函数h（x）+，在x0时有且只有一个交点，则k或k1，即实数k的取值范围是1，+）【知识点】函数的零点与方程根的关系、函数单调性的性质与判断 29.药材人工种植技术具有养殖密度高、经济效益好的特点研究表明：人工种植药材时，某种药材在一定的条件下，每株药材的年平均生长量v（单位：千克）是每平方米种植株数x的函数当x不超过4时，v的值为2；当4x20时，v是x的一次函数，其中当x为10时，v的值为4；当x为20时，v的值为0（1）当0 x20时，求函数v关于

17、x的函数表达式；（2）当每平方米种植株数x为何值时，每平方米药材的年生长总量（单位：千克）取得最大值？并求出这个最大值（年生长总量年平均生长量种植株数）【解答】解：（1）由题意得，当0 x4时，v2；当4x20时，设vax+b，由已知得，解得，所以vx+8，故函数v（2）设药材每平方米的年生长总量为f（x）千克，依题意及（1）可得，当0 x4时，f（x）为增函数，故f（x）maxf（4）428；当4x20时，此时f（x）maxf（10）40综上所述，可知当每平方米种植10株时，药材的年生长总量取得最大值40千克【知识点】根据实际问题选择函数类型 30.十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至2021

18、-2022年底全面脱贫现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数从2018年初开始，若该村抽出5x户（xZ，1x9）从事水果包装、销售经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高，而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为 （3x）万元（参考数据：1.131.331，1.1531.521，1.231.728）（1）至2021-2022年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫（每户年均纯收入不低于1万6千元），至少抽出多少户从事包装、销售工作？（2）至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.35万元？若能