2023届高考数学练习（湖南专版）-考点01 平面向量的概念（解析版）

1、考点01 平面向量的概念一、单选题（共12小题） 1.设为单位向量，且|1，则|+2|（）ABC3D7【答案】B【分析】通过向量的模，求出向量的数量积，然后转化求解即可【解答】解：为单位向量，且|1，可得1，可得，|+2|故选：B【知识点】向量的概念与向量的模、平面向量数量积的性质及其运算 2.设，为单位向量，且|1，则|+2|（）A3BC7D【答案】D【分析】通过向量的模，求出向量的数量积，然后转化求解即可【解答】解：为单位向量，且|1，所以1，所以，所以|+2|故选：D【知识点】向量的概念与向量的模、平面向量数量积的性质及其运算 3.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）ABC

2、D【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，33，所以选项A错误；22，所以选项B和选项C错误，选项D正确故选：D【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算 4.下列关于向量的命题正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】C【分析】根据向量的定义即可判断A错误，根据向量长度的定义即可判断B错误，C显然正确，对于选项D，当时，便得不出，即得出选项D错误【解答】解：A向量的长度相等，方向不一定相同，从而得不出，即该选项错误；B长度不能相互平行，该选项错误；C.显然可得出，该选项正确；D.得不出，比如不共线，且，该选项错误故选：C

3、【知识点】向量的概念与向量的模、平行向量（共线） 5.设向量，不共线，向量与2共线，则实数k（）A2B1C1D2【答案】A【分析】根据平面向量的线性运算和共线定理，利用向量相等列方程求出k的值【解答】解：向量，不共线，向量与2共线，则2k（+），（2）（k+），解得2，k2故选：A【知识点】平行向量（共线） 6.已知平面向量，且，则m（）ABCD【答案】B【分析】根据即可得出，然后进行向量坐标的数量积运算即可求出m的值【解答】解：，即，解得故选：B【知识点】向量的概念与向量的模 7.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且，则（）AB+C+D【答案】A【分析】由条件利用两个向量的加减

4、法的法则，以及其几何意义，求得【解答】解：由题意可得，+，故选：A【知识点】向量的概念与向量的模 8.下列说法正确的是（）A若B若C若D若【答案】C【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题分析、判断正误即可【解答】解：对于A，向量是矢量，不能比较大小，A错误；对于B，向量相等时，模长相等且方向相同，B错误；对于C，若时，与方向相同，则、共线，C正确；对于D，若时，也可能与方向相同或相反，即、可能共线，D错误故选：C【知识点】向量的概念与向量的模 9.下列说法正确的是（）A零向量没有方向B向量就是有向线段C只有零向量的模长等于0D单位向量都相等【答案】C【分析】根据零向量，单位向量、有向线

5、段的定义即可判断出结论【解答】解：零向量的方向是任意的，故A选项错误；有向线段只是向量的一种表示形式，两者不等同，故B选项错误；只有零向量的模长等0，故C选项正确；单位向量模长相等，单位向量若方向不同，则不是相等向量，故D选项错误故选：C【知识点】向量的概念与向量的模 10.已知点P是ABC的中位线EF上任意一点，且EF平行BC，实数x，y满足，设ABC，PBC，PCA，PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，若S11S，S22S，S33S，则23取最大值时，xy的值为（）ABCD【答案】B【分析】由题意，先用面积表示出23，再利用基本不等式计算出23的最大值，根据基本不等式等号成立的条件判断

6、出P是中点，再取点M是BC的中点，结合平面基本向量定理得出x，y的值，得出正确选项【解答】解：由题意，点P在中位线上，故S1S，即1，S2+S3S，23（）2（S）2，等号当且仅当S2S3时成立，即23取最大值，由于S2S3，所以P点是EF的中点，取BC的中点为M，则，（）又，即，故，故xy，即xy的值为故选：B【知识点】平面向量的基本定理、平行向量（共线） 11.在ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则如图所示的向量中，相等向量有（）A一组B二组C三组D四组【答案】A【分析】根据相等向量的定义，找出大小相等，方向相同的向量【解答】解：ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，在如图

7、所示的向量中，相等向量是和，有1组故选：A【知识点】平行向量（共线） 12.已知点A（3，2），B（5，1），则与反方向的单位向量为（）A（，）B（，）C（，）D（，）【答案】B【分析】根据单位向量的定义，运算求解即可【解答】解：由题，（2，1），（2，1），与反方向的单位向量为：（，），即（，）故选：B【知识点】向量的概念与向量的模 二、填空题（共8小题） 13.已知（2，1），（6，y），若2+与2平行，则|2+|【分析】利用平面向量坐标运算法则求出（2，2+y），（14，12y），再由2+与2平行，求出y3从而（2，1），由此能求出|2+|【解答】解：（2，1），（6，y），（2，2+y

8、），（14，12y），2+与2平行，2（12y）（14）（2+y）0，解得y3（2，1），|2+|故答案为：【知识点】平行向量（共线） 14.如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则【分析】连接AE，EC，利用正六边形的性质和余弦定理即可得出与的夹角为60，求得AC的长度，再利用数量积的定义即可得出【解答】解：连接AE，EC，则AEC是等边三角形，与的夹角为60，正六边形ABCDEF的边长为1，AB1，ABC120，在ABC中，由余弦定理可得|212+12211cos1203，|cos60，则2（）2|22+|232+33则故答案为：【知识点】向量的概念与向量的模 15.已知向量（4，3），则

9、|【答案】5【分析】根据平面向量的模长公式，计算即可【解答】解：由向量（4，3），所以|5故答案为：5【知识点】平面向量的坐标运算、向量的概念与向量的模 16.在ABC中，AB4，AC3，BAC90，D在边BC上，延长AD到P，使得AP9若m+（m）（m为常数），则CD的长度是【分析】以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，求得B与C的坐标，再把的坐标用m表示由AP9列式求得m值，然后分类求得D的坐标，则CD的长度可求【解答】解：如图，以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则B（4，0），C（0，3），由m+（m），得，整理得：2m

10、（4，0）+（2m3）（0，3）（8m，6m9）由AP9，得64m2+（6m9）281，解得m或m0当m0时，此时C与D重合，|CD|0；当m时，直线PA的方程为yx，直线BC的方程为，联立两直线方程可得xm，y32m即D（，），|CD|CD的长度是0或故答案为：0或【知识点】向量的概念与向量的模 17.已知向量，若满足，且方向相同，则x【答案】1【分析】由题意利用两个向量共线的性质，求出x的值【解答】解：向量，若满足，且方向相同，求得x1，或x2（此时，不合题意，舍去），故答案为：1【知识点】平行向量（共线） 18.已知+2，5+6，72，则点A、B、C、D中一定共线的三点是【答案】A、B、

11、D【分析】先求出向量，观察其与向量是否共线，再求出向量观察其与向量是否共线，若两向量过同一点且共线则两表示两向量的有向线段的端点是共线的【解答】解：+4+8，找不到一个实数使得成立，故A，C，D三点不共线+2+42（+2）2，与共线，三点A、B、D共线故应填A、B、D【知识点】平行向量（共线） 19.点C在线段AB上，且，则，【分析】利用，及其向量共线定理即可得出【解答】解：，故答案为：，【知识点】平行向量（共线） 20.向量（1，2），（m，4），若向量2+与2平行，则m【答案】-2【分析】由题意利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求得m的值【解答】解：向量（1，2），（m，

12、4），若向量2+与2平行，向量2+（2+m，8），2（12m，6），（2+m）（6）8（12m）0，求得m2，故答案为：2【知识点】平行向量（共线） 三、解答题（共8小题） 21.设A，B，C，D为平面直角坐标系中的四点，且A（2，2），B（4，1），C（1，3）（1）若，求D点的坐标及|；（2）设向量，若k与+3平行，求实数k的值【分析】（1）可设D（x，y），然后根据即可得出D（3，6），进而可得出向量的坐标，进而求出的值；（2）可求出，然后根据与平行即可求出k的值【解答】解：（1）设D（x，y），则，且，（2，3）（x1，y3），解得，D（3，6），；（2），且与平行，9（2k+3）+7

13、（3k2）0，解得【知识点】平行向量（共线）、平面向量共线（平行）的坐标表示 22.已知，（1）求向量与所成角的余弦值；（2）若，求实数k的值【分析】（1）可求出，可设与所成角为，然后即可根据即可求出向量与所成角的余弦值；（2）可求出，然后根据即可求出k的值【解答】解：（1），设向量与所成角为，则，向量与所成角的余弦值为（2），又，（1）（32k）8（3k1）0，解得【知识点】平行向量（共线）、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 23.已知向量（3，2），（1，2），（4，1）（1）求3+2；（2）若（+k）（2），求实数k【分析】（1）根据题意，由向量的坐标计算公式计算即可得答案（2）根据题

14、意，求出（+k）和（2）的坐标，由向量平行的坐标计算公式可得2（3+4k）（5）（2+k）0，解可得k的值，即可得答案【解答】解：（1）根据题意，向量（3，2），（1，2），（4，1），则3+23（3，2）+（1，2）2（4，1）（0，6）；（2）向量（3，2），（1，2），（4，1），则（+k）（3+4k，2+k），（2）（5，2），若（+k）（2），则2（3+4k）（5）（2+k）0，解可得k；故k【知识点】平面向量的坐标运算、平行向量（共线） 24.设两个非零向量不共线，（1）求证：A、B、D共线；（2）试确定实数k，使和共线【分析】（1）利用向量的加法法则求出，得到3，利用向量共线充要

15、条件知三点共线（2）利用向量共线充要条件设出参数，利用平面向量基本定理，在基底上的分解是唯一的列出方程组求出k【解答】证明：（1）两个非零向量不共线，3+63，A、B、D共线（2）要使和共线，只需存在实数使得（）；，k2或2【知识点】平行向量（共线） 25.已知向量（4，3cos），（1，2tan）（1）若，求sin的值；（2）若，且（，0），求cos（2+）的值【分析】（1）结合向量平行的坐标表示及同角平方关系即可求解，（2）结合向量垂直的坐标表示及二倍角公式，和角公式即可求解【解答】解：（1）（4，3cos），（1，2tan），若，则8tan3cos0，8sin3cos233sin2，3s

16、in2+8sin30，即（3sin1）（sin+3）0，sin，（2），且（，0），4+6costan0，sin，cos，sin22sincos，cos22cos21，cos（2+）【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系、平行向量（共线） 26.已知向量（1，2），（3，2）（1）当k为何值时，向量与垂直？（2）当k为何值时，向量与平行？【分析】（1）向量与垂直，则（）（）0，解方程即可；（2）向量与平行时，8（2k+2）8（k3），解方程即可【解答】解：向量（1，2），（3，2），（1）当与垂直时，8（k3）+8（2k+2）0，k5；（2）向量与平行时，8（2k+2）8（k3），k【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系、平行向量（共线） 27.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G为BE与DF的交点若，（1）试以，为基底表示，；（2）求证：A，G，C三点共线【分析】（1）根据向量的减法及数乘的几何意义即可得到，同样的办法表示出即可；（2）先根据D，G，F三点共线及共线向量基本定理便可得到，存在实数k使得：，同理根据B，G，E三点共线可得到所以根据平面向量基本定理可得到k，从而得到，所以便证出了A，G，C三点共线【解答】解：（1），；（2）D，G，F三点共线，所以存在实数