电磁场课件：第一章 矢量分析与场论

1、1第一章 矢量分析与场论（一）矢量分析（二）场 论一、标量：二、矢量：三、矢量的坐标表示：四、矢量的加法：五、矢量的乘法：2只有大小而没有方向的量 (长度、时间、电压、体积、温度、电量等）EOP首尾既有大小又有方向的量(力、速度、电场强度、磁感应强度等）E 、 E 或 OP模或绝对值（|E| 、E、 |E|或 |OP|）矢量的方向： 单位长度矢量： E 0 ，|E 0| =1 E= |E| E0一、标量：二、矢量：矢量的表示：矢量的大小：（一）矢量分析3三、矢量的坐标表示：直角坐标系：0 xyzAxAyAz4圆柱坐标系：0 xyzA0 A + 0 A 2 - Az +Ax = A cos AA

2、y = A sin AAz = AzA 2 = Ax 2+ Ay 2tg A = Ay / AxAz = AzAz5球坐标系：0 xyzA0 Ar + 0 A 2 0 A Ax = Arsin A cos AAy = Ar sin A sin AAz = Ar cos AAr 2 = Ax2+ Ay2+ Az2tg A = Ay / Axcos A = Az / ArA6四、矢量的加法：三角形法则： 交换律： 结合律： 分配律： 减法：7五、矢量的乘法：（1）标量积（内积、点积）： 交换律： 分配律： 与数量点积： 特殊的点积：同向、反向、正交8 在坐标系内计算点积：直角坐标：9（2）矢量积、

3、叉积： 大小：方向：与数量叉积： 特殊的叉积：平行：右手定则分配律：正交：10 不服从交换律：在坐标系内计算叉积：11矢量分析（练习题）例1：矢量函数，试求（2）（1）12矢量分析（练习题）例2:矢量，求（2）求出两矢量的夹角（1）解：13矢量分析（练习题）根据14（二）场 论1.场的三要素1）标量场的梯度2）矢量场的散度3）矢量场的旋度2. 三个度4.亥姆霍兹定理3. 两个公式空间、按一定规律连续分布的物理量、边界152. 图示法：u(x,y,z)： 等值面、等值线u(x,y,z)=c1u(x,y,z)=c2u(x,y,z)=c3A(x,y,z)：矢线切向场量的方向， 疏密程度场量的大小。1

4、. 数学法：标量场矢量场温度场T(x,y,z)密度场(x,y,z)速度场16动态场：场量与时间有关 （时变场）静态场：场量与时间无关 （恒定场）172.三个度1)标量场的梯度 方向导数的定义其中，cos, cos, cos为l方向的方向余弦。 18梯度(gradient)哈密顿算子式中 梯度的定义19 梯度的物理意义1）标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数;3）梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向.2）梯度的大小为该点标量函数u的最大变化率，即该点最大方向导数;20梯度运算的基本公式21 计算场 f ( r ) = x y2 z (1)在

5、 A=ax+2ay+2az 方向的方向导数(2)在点(2，1，0)处，在B = 2ax ay + 2az 方向的方向导数。解：= ax y2 z + ay 2 x y z + az x y2例1(1)(2)222.三个度2)矢量场的散度3)矢量场的旋度23总结前人的成果把电场和流速场类比电磁场的基本方程组荣誉：爱因斯坦把麦克斯韦的电磁场贡献评价为“自牛顿时代以来物理学所经历的最深刻最有成效的变化”。预言了电磁波的存在24一、积分形式：二、微分形式：电磁场基本方程组区域场点旋度散度25源（下方）与附近强度较弱的汇（上方）的流场两个等强度源的流场均匀下泻流与发散流（源）之间的作用粒子向负的散度源流

6、动粒子从散度源流出用草籽图表示的有源流场散度源26两个循环中心的流动两个流呈相反方向流动两个流同方向流动旋度源散度源+旋度源思考：2728矢量场的通量SA通过某一闭合面 S的通量为：2.三个度2)矢量场的散度设 ，通量 表示通过某一表面 S的矢量线的根数：29通量的物理意义：每秒有净流量流出，包面内有正源每秒有净流量流入，包面内有负源每秒流入包面和流出包面的净流量相等，包面内无源，或正源与负源相等30散度div 31a. 一个矢量场的散度在空间构成一个标量场。b. 空间有矢量场的净通量发出 （有矢量线从该点开始） 空间有矢量场的净通量汇入 （有矢量线在该点终止） 空间没有矢量线的发出或汇入 矢

7、量线仅仅是通过有散场无散场P QM（Q点）（M点）（P点）散度性质矢量场的散度反映了矢量场在空间各点的净通量状态。32该点有正源该点有负源该点无源33 考虑一个气筒,突然打开气门,被压缩的空气的流速将是越靠近气门越大。设 ，求 。解：解：表明气筒内各点都存在着密度为k的气流。表明空间各点都存在着密度为3k的气流。 vx例2例3 想象一个爆炸的气球，设某点处气体的流速同该点与源点的距离成正比，为 ，求 。34矢量场的环量：LAdl2.三个度3)矢量场的旋度设 ，环量 表示沿某闭合曲线 L的线积分：35环量的物理意义：表明c包围涡旋源表明c不包含涡旋源水流沿平行于水管轴线方向流动=0，无涡旋运动流

8、体做涡旋运动0，有产生涡旋的源例：流速场36旋度rot 、 ：矢量场中某点的旋度为矢量，是点的空间位置的函数。方向：是使环量密度取最大值的曲面元S的方向大小：环量密度的最大值37旋度的性质：a. 一个矢量场的旋度构成一个新的矢量场。b. 旋度不为零的点有产生矢量场环流的能力 (有旋场)。 旋度等于零的点没有产生矢量场环流的能力(无旋场)。c. 旋度具有环流面密度的量纲。d. ( A + B ) = A + B ( A ) = 0说明任一矢量场的旋度一定是无散的。反过来也成立，即若A=0 ，则一定对应着一个矢量场，使B=A。38F做正功，F与c方向大体一致，动能增加F做负功，F与c方向大体相反，

9、动能减小引力场Gc1c2G涡旋场F39 求 沿着xy面上的一个闭合回路c的线积分。如图所示，再计算 。P(2,)2y2=xOyx解： 回路c在xOy面上，dz = 0 = 0例440P(2,)2y2=xOyx讨论： 是辐射状的场， 可以证明， 这类场必定是无旋的。411）高斯散度定理:2）斯托克斯定理：3. 两个公式（定理）42计算矢量r 对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分。例443 矢量场和源的关系无旋场：一个矢量场F，对任意闭合路径都有无散场：一个矢量场F，对任意闭合面都有4、亥姆霍兹定理源是场的因，场同源一起出现。散度源（通量源） 若旋度源（涡旋源） 若44例：判断矢量场的性质00000045 亥姆霍兹定理的基本内容1.一个矢量场只可能有两种源旋度源和散度源，此外，再无其它类型的源。2.若在给定边界空间中，一个矢量场的旋度和散度都给定了，则该矢量场的解是唯一确定的。46矢量场的基本方程F = Fl + Fc若已知则微分形式的基本方程积分形式的基本方程Fl 0 , Fl = Fc 0 , Fc =J47三种特殊形式的场1.平行平面场：如果在经过某一轴线(设为 z轴)的一族平行平面上，场 F 的分布都相同，即 F