离散数学第三章 命题逻辑的推理理论

1、离散数学第三章 命题逻辑的推理理论第1页，共25页，2022年，5月20日，11点11分，星期五13.1 推理的形式结构定义3.1 设A1, A2, , Ak, B为命题公式. 若对于每组赋值，A1A2 Ak 为假，或当A1A2Ak为真时，B也为真，则称由前提A1, A2, , Ak推出结论B的推理是有效的或正确的, 并称B是有效结论.定理3.1 由命题公式A1, A2, , Ak 推B的推理正确当且仅当A1A2AkB为重言式注意: 推理正确不能保证结论一定正确第2页，共25页，2022年，5月20日，11点11分，星期五2推理的形式结构2. A1A2AkB 若推理正确, 记为A1 A2 Ak

2、 B3. 前提： A1, A2, , Ak 结论： B判断推理是否正确的方法: 真值表法 等值演算法 主析取范式法推理的形式结构1. A1, A2, , Ak B 若推理正确, 记为A1,A2,An B第3页，共25页，2022年，5月20日，11点11分，星期五3推理实例例1 判断下面推理是否正确(1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所以, 明天是5号. (2) 若今天是1号，则明天是5号. 明天是5号. 所以, 今天是1号. 解 设 p：今天是1号，q：明天是5号. (1) 推理的形式结构: (pq)pq用等值演算法 (pq)pq (pq)p)q pqq 1 由定理3.1可知

3、推理正确第4页，共25页，2022年，5月20日，11点11分，星期五4推理实例(2) 推理的形式结构:(pq)qp 用主析取范式法 (pq)qp (pq)qp (pq)q)p qp (pq)(pq) (pq)(pq) m0m2m3 结果不含m1, 故01是成假赋值，所以推理不正确第5页，共25页，2022年，5月20日，11点11分，星期五5推理定律重言蕴涵式1. A (AB) 附加律 2. (AB) A 化简律3. (AB)A B 假言推理4. (AB)B A 拒取式 5. (AB)B A 析取三段论6. (AB)(BC) (AC) 假言三段论7. (AB)(BC) (AC) 等价三段论8

4、. (AB)(CD)(AC) (BD) 构造性二难 (AB)(AB) B 构造性二难(特殊形式)9. (AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难每个等值式可产生两个推理定律如, 由AA可产生 AA 和 AA第6页，共25页，2022年，5月20日，11点11分，星期五63.2 自然推理系统P定义3.2 一个形式系统 I 由下面四个部分组成： (1) 非空的字母表，记作 A(I). (2) A(I) 中符号构造的合式公式集，记作 E(I). (3) E(I) 中一些特殊的公式组成的公理集，记作 AX(I). (4) 推理规则集，记作 R(I). 记I=, 其中是 I 的形式语言系统, 是

5、I 的形式演算系统.形式系统一般分为两类：自然推理系统: 无公理, 即AX(I)=公理推理系统 推出的结论是系统中的重言式, 称作定理第7页，共25页，2022年，5月20日，11点11分，星期五7自然推理系统P定义3.3 自然推理系统 P 定义如下:1. 字母表 (1) 命题变项符号：p, q, r, , pi, qi, ri, (2) 联结词符号：, , , , (3) 括号与逗号：(, ), ，2. 合式公式（同定义1.6）3. 推理规则: (1)(12) (1) 前提引入规则:在证明的任何步骤都可以引入前提. (2) 结论引入规则:在证明的任何步骤所得的结论都有可以作为后继证明的前提.

6、 (3) 置换规则:在证明的任何步骤,命题公式中的子公式都可以用等值的公式置换,得到公式序列中又一个公式.第8页，共25页，2022年，5月20日，11点11分，星期五8推理规则(4) 假言推理规则 (6) 化简规则 (8) 假言三段论规则 AB AB AAB AB A(5) 附加规则 (7) 拒取式规则 (9) 析取三段论规则 AB BA AB BCACAB BA第9页，共25页，2022年，5月20日，11点11分，星期五9推理规则(10) 构造性二难推理规则 (11) 破坏性二难推理规则 (12) 合取引入规则 AB CD AC BD AB CD BD AC A BAC第10页，共25页

7、，2022年，5月20日，11点11分，星期五10在自然推理系统P中构造证明设前提A1, A2, Ak,结论B及公式序列C1, C2, Cl. 如果每一个Ci(1il)是某个Aj, 或者可由序列中前面的公式应用推理规则得到, 并且Cl =B, 则称这个公式序列是由A1, A2, Ak推出B的证明例2 构造下面推理的证明： 若明天是星期一或星期四，我明天就有课. 若我明天有 课，今天必备课. 我今天没备课. 所以，明天不是星期一、 也不是星期四. 解 (1) 设命题并符号化 设 p：明天是星期一，q：明天是星期四， r：我明天有课，s：我今天备课第11页，共25页，2022年，5月20日，11点

8、11分，星期五11直接证明法(2) 写出证明的形式结构 前提：(pq)r, rs, s 结论：pq(3) 证明 rs 前提引入 s 前提引入 r 拒取式 (pq)r 前提引入 (pq) 拒取式 pq 置换第12页，共25页，2022年，5月20日，11点11分，星期五12附加前提证明法附加前提证明法 适用于结论为蕴涵式欲证 前提：A1, A2, , Ak 结论：CB等价地证明 前提：A1, A2, , Ak, C 结论：B理由： (A1A2Ak)(CB) ( A1A2Ak)(CB) ( A1A2AkC)B (A1A2AkC)B第13页，共25页，2022年，5月20日，11点11分，星期五13

9、附加前提证明法实例例3 构造下面推理的证明 2是素数或合数. 若2是素数，则 是无理数. 若 是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数. 解 用附加前提证明法构造证明 (1) 设 p：2是素数，q：2是合数， r： 是无理数，s：4是素数 (2) 推理的形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq 第14页，共25页，2022年，5月20日，11点11分，星期五14附加前提证明法实例 (3) 证明 s 附加前提引入 pr 前提引入 rs 前提引入 ps 假言三段论 p 拒取式 pq 前提引入 q 析取三段论第15页，共25页，2022年，5月20日，11点11分，星期五15

10、归谬法（反证法）归谬法 (反证法)欲证 前提：A1, A2, , Ak 结论：B做法 在前提中加入B，推出矛盾.理由 A1A2AkB (A1A2Ak)B (A1A2AkB) (A1A2AkB)0 A1A2AkB0第16页，共25页，2022年，5月20日，11点11分，星期五16归谬法实例例4 前提：(pq)r, rs, s, p 结论：q证明 用归缪法 q 结论否定引入 rs 前提引入 s 前提引入 r 拒取式 (pq)r 前提引入 (pq) 析取三段论 pq 置换 p 析取三段论 p 前提引入 pp 合取第17页，共25页，2022年，5月20日，11点11分，星期五17第三章 小结主要内

11、容推理的形式结构判断推理是否正确的方法 真值表法 等值演算法 主析取范式法推理定律自然推理系统P构造推理证明的方法 直接证明法 附加前提证明法 归谬法(反证法)第18页，共25页，2022年，5月20日，11点11分，星期五18基本要求理解并记住推理形式结构的两种形式： 1. (A1A2Ak)B 2. 前提：A1, A2, , Ak 结论：B熟练掌握判断推理是否正确的不同方法（如真值表法、等值演算法、主析取范式法等）牢记 P 系统中各条推理规则熟练掌握构造证明的直接证明法、附加前提证明法和归谬 法会解决实际中的简单推理问题第19页，共25页，2022年，5月20日，11点11分，星期五19练习

12、1：判断推理是否正确1. 判断下面推理是否正确: (1) 前提：pq, q 结论：p 解 推理的形式结构:(pq)qp 方法一：等值演算法 (pq)qp (pq)q)p (pq)qp (pq)(qq)p pq易知10是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确.第20页，共25页，2022年，5月20日，11点11分，星期五20练习1解答方法二：主析取范式法， (pq)qp (pq)q)p pq M2 m0m1m3未含m2, 不是重言式, 推理不正确.第21页，共25页，2022年，5月20日，11点11分，星期五21练习1解答方法三 真值表法 不是重言式, 推理不正确111001110100(pq

13、)qpqppq 0 1 1 1(pq)q 0 0 1 0方法四 直接观察出10是成假赋值第22页，共25页，2022年，5月20日，11点11分，星期五22练习1解答用等值演算法 (qr)(pr)(qp) (qr)(pr)(qp) (qr)(pr)(qp) (qp)(qr)(rp)(qp) (qp)(qr)(rp)(qp)1推理正确(2) 前提：qr, pr 结论：qp 解 推理的形式结构：(qr)(pr)(qp) 第23页，共25页，2022年，5月20日，11点11分，星期五23练习2：构造证明2. 在系统P中构造下面推理的证明： 如果今天是星期六，我们就到颐和园或圆明园去玩. 如果颐和园游人太多，我们就不去颐和园玩. 今天是星期六.颐和园游人太多. 所以, 我们去圆明园或动物园玩. 证明： (1) 设 p：今天是周六，q：到颐和园玩， r：到圆明园玩，s：