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1、第五节 对坐标的曲面积分一、 对坐标的曲面积分的概念与性质 二、对坐标的曲面积分的计算法三、两类曲面积分的联系一、基本概念观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面.典型双侧曲面莫比乌斯带典型单侧曲面:其方向用法向量指向方向余弦 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 为下侧外侧内侧 设 为有向曲面,侧的规定指定了侧的曲面叫有向曲面, 表示 :其面元在 xoy 面上的投影记为的面积为则规定类似可规定二、概念的引入实例: 流向曲面一侧的流量.1. 分割则该点流速为 .法向量为 .2. 求和3.取极限三、概念及性质被积函数积分曲面类

2、似可定义2、存在条件:3、组合形式:5、性质:四、计算法注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.例1. 计算其中 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方体的整个表面的外侧.例1. 计算其中 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方体的整个表面的外侧.解: 利用对称性.原式 的顶部 取上侧 的底部 取下侧例2解例2例3. 设S 是球面的外侧 , 计算例3. 设S 是球面的外侧 , 计算解: 利用轮换对称性, 有五、两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系的用处-化为同一类型的积分解例5. 设是其外法线与 z 轴正向夹成的锐角, 计算解: 六、小结计算时应注意以下两点

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