2023年06月01日几何图形变换证明

1、第41页共41页2023年06月01日几何图形变换证明一解答题共15小题12023秋市北区期末探究活动一：如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，M=B，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E，线段ME与线段MF的数量关系是不必证明，直接给出结论即可探究活动二：如图2，将上题中的“正方形改为“矩形，且AB=mBC，其他条件不变矩形ABCD和矩形QMNP，M=B，M是矩形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E，探究并证明线段ME与线段MF的数量关系；探究活动三：根据前面的探索和图3，平行四边形ABCD和平行四边形QMNP中，假设AB=mBC，M=B，M是平行四边

2、形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E，请探究并证明线段ME与线段MF的数量关系22023秋华县期末如图1，点M在正方形ABCD的对角线AC不与点A重合上滑动，连结DM，作MNDM交直线AB于点N1求证：DM=MN；2假设将1中的正方形变为矩形，其余条件不变如图2，且DC=2AD，求MD：MN；3在2中，假设CD=nAD，当M滑动到CA的延长线上时如图3，请直接写出MD：MN的比值32023滦县模拟两块等腰直角三角板ABC和DEC如图摆放，其中ACB=DCE=90，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点1如图1，假设点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜测

3、FH和FG的数量关系为和位置关系为；2如图2，假设将三角板DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，那么1中的猜测是否还成立，假设成立，请证明，不成立请说明理由；3如图3，将图1中的DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，1中的猜测还成立吗？直接写出结论，不用证明42023广饶县一模如图1，在ABC中，ACB=90，BC=2，A=30，点E，F分别是线段BC，AC的中点，连结EF1线段BE与AF的位置关系是，=2如图2，当CEF绕点C顺时针旋转a时0a180，连结AF，BE，1中的结论是否仍然成立如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由3如图3，当CEF绕点C顺时针旋转

4、a时0a180，延长FC交AB于点D，如果AD=62，求旋转角a的度数52023河南如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中C=90，B=E=301操作发现如图2，固定ABC，使DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是；设BDC的面积为S1，AEC的面积为S2，那么S1与S2的数量关系是2猜测论证当DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜测1中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜测3拓展探究ABC=60，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DEAB交BC于点E如图4假设

5、在射线BA上存在点F，使SDCF=SBDE，请直接写出相应的BF的长62023盘锦如图，在RtABC中，ACB=90，A=30，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点不与点B、点C重合，连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60，得到线段PQ，连接BQ1如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系2如图2，当点P在CB延长线上时，1中结论是否成立？假设成立，请加以证明；假设不成立，请说明理由；3如图3，当点P在BC延长线上时，假设BPO=15，BP=4，请求出BQ的长72023辽阳如图1，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，点D、E分别在AC、BC边上，DC=EC

6、，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN1BE与MN的数量关系是；2将DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断1中的结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，假设不成立，请说明理由；3假设CB=6，CE=2，在将图1中的DEC绕点C逆时针旋转一周的过程中，当B、E、D三点在一条直线上时，MN的长度为82023铁岭如图，ABC中，BAC为钝角，B=45，点P是边BC延长线上一点，以点C为顶点，CP为边，在射线BP下方作PCF=B1在射线CF上取点E，连接AE交线段BC于点D如图1，假设AD=DE，请直接写出线段AB与CE的数量关系和位置关系；如图

7、2，假设AD=DE，判断线段AB与CE的数量关系和位置关系，并说明理由；2如图3，反向延长射线CF，交射线BA于点C，将PCF沿CC方向平移，使顶点C落在点C处，记平移后的PCF为PCF，将PCF绕点C顺时针旋转角045，CF交线段BC于点M，CP交射线BP于点N，请直接写出线段BM，MN与CN之间的数量关系92023河南如图1，在RtABC中，A=90，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点1观察猜测 图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；2探究证明 把ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判

8、断PMN的形状，并说明理由；3拓展延伸 把ADE绕点A在平面内自由旋转，假设AD=4，AB=10，请直接写出PMN面积的最大值102023春市北区期中数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC、BD是四边形ABCD的对角线，假设ACB=ACD=ABD=ADB=60，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得ABEADC，从而容易证明ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将ABC绕着点A逆时针旋转60，使AB与AD重合，从而容易证明ACF是等边三角形，故AC

9、=CF，所以AC=BC+CD在此根底上，同学们作了进一步的研究：1小颖提出：如图4，如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60改为ACB=ACD=ABD=ADB=45，其他条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明2小华提出：如图5，如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60改为“ACB=ACD=ABD=ADB=30，其他条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，并给出证明112023秋历城区期末【操作发现】1如图1，ABC为等腰直角三角形，ACB=90，先将三角板的90角与ACB重合

10、，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转旋转角大于0且小于45旋转后三角板的一直角边与AB交于点D在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使DCE=45，连接AF，EF请探究结果：直接写出EAF的度数=度；假设旋转角BCD=，那么AEF=度可以用含的代数式表示；DE与EF相等吗？请说明理由；【类比探究】2如图2，ABC为等边三角形，先将三角板中的60角与ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转旋转角大于0且小于30旋转后三角板的一直角边与AB交于点D在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使DCE=30，连接AF，EF直接写出EAF的度数=度；假设AE=1，

11、BD=2，求线段DE的长度122023秋和平区期末ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将ACD绕点C逆时针方向旋转60得到BCE，连接DE1如图1，求证：CDE是等边三角形2设OD=t，当6t10时，BDE的周长是否存在最小值？假设存在，求出BDE周长的最小值；假设不存在，请说明理由求t为何值时，DEB是直角三角形直接写出结果即可132023秋怀柔区期末老师布置了这样一道作业题：在ABC中，AB=ACBC，点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC，BAC=，DBC=，+=120，连接AD，求ADB的度数小聪提供了研究这个问题

12、的过程和思路：先从特殊问题开始研究，当=90，=30时如图1，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造ABD的轴对称图形ABD，连接CD如图2，然后利用=90，=30以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题1请结合小聪研究问题的过程和思路，求出这种特殊情况下ADB的度数；2结合小聪研究特殊问题的启发，请解决老师布置的这道作业题142023秋甘井子区期末阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来那么形成一组旋转全等的三角形小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手图形如图1，在“手拉手图形中，小胖发现假设BAC=DAE，AB=AC，AD

13、=AE，那么BD=CE1在图1中证明小胖的发现；借助小胖同学总结规律，构造“手拉手图形来解答下面的问题：2如图2，AB=BC，ABC=BDC=60，求证：AD+CD=BD；3如图3，在ABC中，AB=AC，BAC=m，点E为ABC外一点，点D为BC中点，EBC=ACF，EDFD，求EAF的度数用含有m的式子表示152023秋宁江区期末如图1，在ABC中，BAC=90，AB=AC，ABC=45MN是经过点A的直线，BDMN于D，CEMN于E1求证：BD=AE2假设将MN绕点A旋转，使MN与BC相交于点G如图2，其他条件不变，求证：BD=AE3在2的情况下，假设CE的延长线过AB的中点F如图3，连

14、接GF，求证：1=22023年06月01日几何图形变换证明参考答案与试题解析一解答题共15小题12023秋市北区期末探究活动一：如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，M=B，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E，线段ME与线段MF的数量关系是ME=MF不必证明，直接给出结论即可探究活动二：如图2，将上题中的“正方形改为“矩形，且AB=mBC，其他条件不变矩形ABCD和矩形QMNP，M=B，M是矩形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E，探究并证明线段ME与线段MF的数量关系；探究活动三：根据前面的探索和图3，平行四边形ABCD和平行四边形QMNP中，假设A

15、B=mBC，M=B，M是平行四边形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E，请探究并证明线段ME与线段MF的数量关系【考点】SO：相似形综合题【专题】15 ：综合题【分析】1过点M作MHAB于H，MGAD于G，连接AM，首先证明M是正方形ABCD对角线的交点，然后证明MHFMGE，利用全等三角形的性质得到ME=MF；2过点M作MEAB于E，MGAD于G，利用矩形ABCD性质和条件证明HMF=GME，MGE=MHF，得出MGEMHF，然后利用相似三角形的性质即可求解；3平行四边形ABCD和平行四边形QMNP中，M=B，AB=mBC，由于M是平行四边形ABCD的对称中心，MN交AB于F，

16、AD交QM于E，那么ME=mMF证明方法和12类似【解答】解：1ME=MF理由：如图1，过点M作MHAB于H，MGAD于G，连接AM，那么MHF=MGE=90，M是正方形ABCD的对称中心，AM平分BAD，MH=MG，在正方形ABCD中，DAB=90，而MHA=MGA=90，EMF=HMG=90，FMH=EMG，在MHF和MGE中，MHFMGEASA，MF=ME，故答案为：MF=ME；2ME=mMF理由：如图2，过点M作MGAB于G，MHAD于H，那么MHE=MGF=90，在矩形ABCD中，A=90，在四边形GMHA中，GMH=90，又EMF=90，HME=GMF，又MGF=MHE=90，MG

17、FMHE，=，又M是矩形ABCD的对称中心，MG=BC，MH=AB，AB=mBC，=m，ME=mMF；3ME=mMF理由：如图3，过点M作MGAB于G，MHAD于H，那么MHE=MGF=90，在平行四边形ABCD中，A+B=180，而EMF=B，A+EMF=180，又在四边形AGMH中，A+HMG=180，EMF=GMF，又MGF=MHE=90，MGFMHE，=，又M是矩形ABCD的对称中心，MG=BC，MH=AB，AB=mBC，=m，ME=mMF【点评】此题属于四边形综合题，主要考查了正方形、矩形、平行四边形的性质、全等三角形、相似三角形的性质和判定的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全

18、等三角形或相似三角形，运用相似三角形的对应边成比例进行推导22023秋华县期末如图1，点M在正方形ABCD的对角线AC不与点A重合上滑动，连结DM，作MNDM交直线AB于点N1求证：DM=MN；2假设将1中的正方形变为矩形，其余条件不变如图2，且DC=2AD，求MD：MN；3在2中，假设CD=nAD，当M滑动到CA的延长线上时如图3，请直接写出MD：MN的比值【考点】SO：相似形综合题【专题】15 ：综合题【分析】1过M作MQAB于Q，MPAD于P，那么PMQ=90，MQN=MPD=90，根据ASA即可判定MDPMNQ，进而根据全等三角形的性质得出DM=MN；2过M作MSAB于S，MWAD于W

19、，那么WMS=90，根据DMW=NMS，MSN=MWD=90，判定MDWMNS，得出MD：MN=MW：MS=MW：WA，再根据AWMADC，DC=2AD，即可得出MD：MN=MW：WA=CD：DA=2；3过M作MXAB于X，MRAD于R，那么易得NMXDMR，得出MD：MN=MR：MX=AX：MX，再由ADMX，CDAX，易得AMXCAD，得出AX：MX=CD：AD，最后根据CD=nAD，即可得出MD：MN=CD：AD=n【解答】解：1证明：过M作MQAB于Q，MPAD于P，那么PMQ=90，MQN=MPD=90，DMN=90，DMP=NMQ，ABCD是正方形，AC平分DAB，PM=MQ，在M

20、DP和MNQ中，MDPMNQASA，DM=MN；2过M作MSAB于S，MWAD于W，那么WMS=90，MNDM，DMW=NMS，又MSN=MWD=90，MDWMNS，MD：MN=MW：MS=MW：WA，MWCD，AMW=ACD，AWM=ADC，AWMADC，又DC=2AD，MD：MN=MW：WA=CD：DA=2；3MD：MN=n，理由：过M作MXAB于X，MRAD于R，那么易得NMXDMR，MD：MN=MR：MX=AX：MX，由ADMX，CDAX，易得AMXCAD，AX：MX=CD：AD，又CD=nAD，MD：MN=CD：AD=n【点评】此题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，

21、全等三角形的判定与性质以及正方形、矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题32023滦县模拟两块等腰直角三角板ABC和DEC如图摆放，其中ACB=DCE=90，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点1如图1，假设点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜测FH和FG的数量关系为相等和位置关系为垂直；2如图2，假设将三角板DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，那么1中的猜测是否还成立，假设成立，请证明，不成立请说明理由；3如图3，将图1中的DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，1中的猜测还成

22、立吗？直接写出结论，不用证明【考点】R2：旋转的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形；KX：三角形中位线定理【专题】152：几何综合题【分析】1证AD=BE，根据三角形的中位线推出FH=AD，FHAD，FG=BE，FGBE，即可推出答案；2证ACDBCE，推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案；3连接BE、AD，根据全等推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案【解答】1解：CE=CD，AC=BC，ECA=DCB=90，BE=AD，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，FH=AD，FHAD，FG=BE，FGBE，FH=FG，ADBE，FHFG，

23、故答案为：相等，垂直2答：成立，证明：CE=CD，ECD=ACD=90，AC=BC，ACDBCEAD=BE，由1知：FH=AD，FHAD，FG=BE，FGBE，FH=FG，FHFG，1中的猜测还成立3答：成立，结论是FH=FG，FHFG连接AD，BE，两线交于Z，AD交BC于X，同1可证FH=AD，FHAD，FG=BE，FGBE，三角形ECD、ACB是等腰直角三角形，CE=CD，AC=BC，ECD=ACB=90，ACD=BCE，在ACD和BCE中，ACDBCE，AD=BE，EBC=DAC，DAC+CXA=90，CXA=DXB，DXB+EBC=90，EZA=18090=90，即ADBE，FHAD

24、，FGBE，FHFG，即FH=FG，FHFG，结论是FH=FG，FHFG【点评】此题主要考查对等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线定理，旋转的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键42023广饶县一模如图1，在ABC中，ACB=90，BC=2，A=30，点E，F分别是线段BC，AC的中点，连结EF1线段BE与AF的位置关系是互相垂直，=2如图2，当CEF绕点C顺时针旋转a时0a180，连结AF，BE，1中的结论是否仍然成立如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由3如图3，当CEF绕点C顺时针旋转a时0a180，延长FC交AB于点D，如果AD

25、=62，求旋转角a的度数【考点】RB：几何变换综合题【分析】1结合角度以及利用锐角三角函数关系求出AB的长，进而得出答案；2利用得出BECAFC，进而得出1=2，即可得出答案；3过点D作DHBC于H，那么DB=462=22，进而得出BH=1，DH=3，求出CH=BH，得出DCA=45，进而得出答案【解答】解：1如图1，线段BE与AF的位置关系是互相垂直；ACB=90，BC=2，A=30，AC=2，点E，F分别是线段BC，AC的中点，=；故答案为：互相垂直；21中结论仍然成立证明：如图2，点E，F分别是线段BC，AC的中点，EC=BC，FC=AC，=，BCE=ACF=，BECAFC，=，1=2，

26、延长BE交AC于点O，交AF于点MBOC=AOM，1=2BCO=AMO=90BEAF；3如图3，ACB=90，BC=2，A=30AB=4，B=60过点D作DHBC于HDB=462=22，BH=1，DH=3，又CH=21=3，CH=DH，HCD=45，DCA=45，=18045=135【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识，得出BECAFC是解题关键52023河南如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中C=90，B=E=301操作发现如图2，固定ABC，使DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是DEAC；设

27、BDC的面积为S1，AEC的面积为S2，那么S1与S2的数量关系是S1=S22猜测论证当DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜测1中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜测3拓展探究ABC=60，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DEAB交BC于点E如图4假设在射线BA上存在点F，使SDCF=SBDE，请直接写出相应的BF的长【考点】KD：全等三角形的判定与性质【专题】152：几何综合题；16 ：压轴题【分析】1根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得ACD=60，然后根据内错角相等

28、，两直线平行解答；根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；2根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出ACN=DCM，然后利用“角角边证明ACN和DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；3过点D作DF1BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2BD，求出F1D

29、F2=60，从而得到DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出CDF1=CDF2，利用“边角边证明CDF1和CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰BDE中求出BE的长，即可得解【解答】解：1DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，AC=CD，BAC=90B=9030=60，ACD是等边三角形，ACD=60，又CDE=BAC=60，ACD=CDE，DEAC；B=30，C=90，CD=AC=AB，BD=AD=AC，根据等边三角形的性质，ACD的边AC、AD上的高相等，BDC的面积和AEC的面积相等等底等高的三角形的面积相等，即S1=S2；故答案为：DEA

30、C；S1=S2；2如图，DEC是由ABC绕点C旋转得到，BC=CE，AC=CD，ACN+BCN=90，DCM+BCN=18090=90，ACN=DCM，在ACN和DCM中，ACNDCMAAS，AN=DM，BDC的面积和AEC的面积相等等底等高的三角形的面积相等，即S1=S2；3如图，过点D作DF1BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时SDCF1=SBDE；过点D作DF2BD，ABC=60，F1DBE，F2F1D=ABC=60，BF1=DF1，F1BD=ABC=30，F2DB=90，F1DF2=ABC=60，DF1F2是等边三角形，DF1=DF2，BD

31、=CD，ABC=60，点D是角平分线上一点，DBC=DCB=60=30，CDF1=180BCD=18030=150，CDF2=36015060=150，CDF1=CDF2，在CDF1和CDF2中，CDF1CDF2SAS，点F2也是所求的点，ABC=60，点D是角平分线上一点，DEAB，DBC=BDE=ABD=60=30，又BD=4，BE=4cos30=2=，BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，故BF的长为或【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面

32、积相等是解题的关键，3要注意符合条件的点F有两个62023盘锦如图，在RtABC中，ACB=90，A=30，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点不与点B、点C重合，连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60，得到线段PQ，连接BQ1如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系2如图2，当点P在CB延长线上时，1中结论是否成立？假设成立，请加以证明；假设不成立，请说明理由；3如图3，当点P在BC延长线上时，假设BPO=15，BP=4，请求出BQ的长【考点】RB：几何变换综合题【分析】1结论：BQ=CP如图1中，作PHAB交CO于H，可得PCH是等边三角形，只要证明POH

33、QPB即可；2成立：PC=BQ作PHAB交CO的延长线于H证明方法类似1；3如图3中，作CEOP于E，在PE上取一点F，使得FP=FC，连接CF设CE=EO=a，那么FC=FP=2a，EF=a，在RtPCE中，PC=+a，根据PC+CB=4，可得方程+a+a=4，求出a即可解决问题；【解答】解：1结论：BQ=CP理由：如图1中，作PHAB交CO于H在RtABC中，ACB=90，A=30，点O为AB中点，CO=AO=BO，CBO=60，CBO是等边三角形，CHP=COB=60，CPH=CBO=60，CHP=CPH=60，CPH是等边三角形，PC=PH=CH，OH=PB，OPB=OPQ+QPB=O

34、CB+COP，OPQ=OCP=60，POH=QPB，PO=PQ，POHQPB，PH=QB，PC=BQ2成立：PC=BQ理由：作PHAB交CO的延长线于H在RtABC中，ACB=90，A=30，点O为AB中点，CO=AO=BO，CBO=60，CBO是等边三角形，CHP=COB=60，CPH=CBO=60，CHP=CPH=60，CPH是等边三角形，PC=PH=CH，OH=PB，POH=60+CPO，QPO=60+CPQ，POH=QPB，PO=PQ，POHQPB，PH=QB，PC=BQ3如图3中，作CEOP于E，在PE上取一点F，使得FP=FC，连接CFOPC=15，OCB=OCP+POC，POC=

35、45，CE=EO，设CE=EO=a，那么FC=FP=2a，EF=a，在RtPCE中，PC=+a，PC+CB=4，+a+a=4，解得a=42，PC=44，由2可知BQ=PC，BQ=44【点评】此题考查几何变换综合题、旋转变换、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题72023辽阳如图1，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，点D、E分别在AC、BC边上，DC=EC，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN1BE与MN的数量关系是BE=MN；2

36、将DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断1中的结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，假设不成立，请说明理由；3假设CB=6，CE=2，在将图1中的DEC绕点C逆时针旋转一周的过程中，当B、E、D三点在一条直线上时，MN的长度为1或+1【考点】RB：几何变换综合题【分析】1如图1中，只要证明PMN的等腰直角三角形，再利用三角形的中位线定理即可解决问题；2如图2中，结论仍然成立连接AD、延长BE交AD于点H由ECBDCA，推出BE=AD，DAC=EBC，即可推出BHAD，由M、N、P分别为AE、BD、AB的中点，推出PMBE，PM=BE，PNAD，PN=AD，推出PM=PN，MPN=90

37、，可得BE=2PM=2MN=MN；3有两种情形分别求解即可；【解答】解：1如图1中，AM=ME，AP=PB，PMBE，PM=BE，BN=DN，AP=PB，PNAD，PN=AD，AC=BC，CD=CE，AD=BE，PM=PN，ACB=90，ACBC，PMBC，PNAC，PMPN，PMN的等腰直角三角形，MN=PM，MN=BE，BE=MN，故答案为BE=MN2如图2中，结论仍然成立理由：连接AD、延长BE交AD于点HABC和CDE是等腰直角三角形，CD=CE，CA=CB，ACB=DCE=90，ACBACE=DCEACE，ACD=ECB，ECBDCA，BE=AD，DAC=EBC，AHB=180HAB

38、+ABH=18045+HAC+ABH=18045+HBC+ABH=18090=90，BHAD，M、N、P分别为AE、BD、AB的中点，PMBE，PM=BE，PNAD，PN=AD，PM=PN，MPN=90，BE=2PM=2MN=MN3如图3中，作CGBD于G，那么CG=GE=DG=，当D、E、B共线时，在RtBCG中，BG=，BE=BGGE=，MN=BE=1如图4中，作CGBD于G，那么CG=GE=DG=，当D、E、B共线时，在RtBCG中，BG=，BE=BG+GE=+，MN=BE=+1故答案为1或+1【点评】此题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，

39、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题82023铁岭如图，ABC中，BAC为钝角，B=45，点P是边BC延长线上一点，以点C为顶点，CP为边，在射线BP下方作PCF=B1在射线CF上取点E，连接AE交线段BC于点D如图1，假设AD=DE，请直接写出线段AB与CE的数量关系和位置关系；如图2，假设AD=DE，判断线段AB与CE的数量关系和位置关系，并说明理由；2如图3，反向延长射线CF，交射线BA于点C，将PCF沿CC方向平移，使顶点C落在点C处，记平移后的PCF为PCF，将PCF绕点C顺时针旋转角045，CF交线段BC于点M，CP交射线BP于点N，请

40、直接写出线段BM，MN与CN之间的数量关系【考点】RB：几何变换综合题【分析】1结论：AB=CE，ABCE如图1中，作EHBA交BP于H只要证明BDAHDE，EC=EH即可解决问题；结论：AB=CE，ABEC如图2中，作EHBA交BP于H由ABDEHD，可得=，推出AB=EH，再证明EC=EH，即可解决问题；2结论：MN2=BM2+CN2首先说明BCC是等腰直角三角形，将CBM绕点C逆时针旋转90得到CCG，连接GN只要证明CMNCGN，推出MN=GN，在RtGCN中，根据GN2=CG2+CN2，即可证明；【解答】解：1结论：AB=CE，ABCE理由：如图1中，作EHBA交BP于HABEH，B

41、=DHE，AD=DE，BDA=EDH，BDAHDE，AB=EH，B=EHC=45PCF=B=CHE，EC=EH，AB=CE，ECH=EHC=45，CEH=90，CEEH，ABEH，ABCE结论：AB=CE，ABEC理由：如图2中，作EHBA交BP于HBAEH，ABDEHD，=，AB=EH，PCF=B=CHE，EC=EH，AB=EC，ECH=EHC=45，B=PCF=CHE=45，CEH=90，CEPE，ABPE，ABEC2结论：MN2=BM2+CN2理由：如图3中，B=PCF=BCC=45，BCC是等腰直角三角形，将CBM绕点C逆时针旋转90得到CCG，连接GNCCG=B=45，GCB=CCG

42、+CCB=90，GCN=90，MCG=90，MCN=45，NCM=NCG，CM=CG，CN=CN，CMNCGN，MN=GN，在RtGCN中，GN2=CG2+CN2，CG=BM，MN=GN，MN2=BM2+CN2【点评】此题考查几何变换综合题、平行线的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题92023河南如图1，在RtABC中，A=90，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点1观察猜测 图1中

43、，线段PM与PN的数量关系是PM=PN，位置关系是PMPN；2探究证明 把ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断PMN的形状，并说明理由；3拓展延伸 把ADE绕点A在平面内自由旋转，假设AD=4，AB=10，请直接写出PMN面积的最大值【考点】RB：几何变换综合题【专题】15 ：综合题【分析】1利用三角形的中位线得出PM=CE，PN=BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PMCE得出DPM=DCA，最后用互余即可得出结论；2先判断出ABDACE，得出BD=CE，同1的方法得出PM=BD，PN=BD，即可得出PM=PN，同1的方法即可得出结

44、论；3方法1、先判断出MN最大时，PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大=AM+AN，最后用面积公式即可得出结论方法2、先判断出BD最大时，PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD=14，即可【解答】解：1点P，N是BC，CD的中点，PNBD，PN=BD，点P，M是CD，DE的中点，PMCE，PM=CE，AB=AC，AD=AE，BD=CE，PM=PN，PNBD，DPN=ADC，PMCE，DPM=DCA，BAC=90，ADC+ACD=90，MPN=DPM+DPN=DCA+ADC=90，PMPN，故答案为：PM=PN，PMPN，2由旋转知，BAD=CAE，AB=AC，AD=AE，A

45、BDACESAS，ABD=ACE，BD=CE，同1的方法，利用三角形的中位线得，PN=BD，PM=CE，PM=PN，PMN是等腰三角形，同1的方法得，PMCE，DPM=DCE，同1的方法得，PNBD，PNC=DBC，DPN=DCB+PNC=DCB+DBC，MPN=DPM+DPN=DCE+DCB+DBC=BCE+DBC=ACB+ACE+DBC=ACB+ABD+DBC=ACB+ABC，BAC=90，ACB+ABC=90，MPN=90，PMN是等腰直角三角形，3方法1、如图2，同2的方法得，PMN是等腰直角三角形，MN最大时，PMN的面积最大，DEBC且DE在顶点A上面，MN最大=AM+AN，连接A

46、M，AN，在ADE中，AD=AE=4，DAE=90，AM=2，在RtABC中，AB=AC=10，AN=5，MN最大=2+5=7，SPMN最大=PM2=MN2=72=方法2、由2知，PMN是等腰直角三角形，PM=PN=BD，PM最大时，PMN面积最大，点D在BA的延长线上，BD=AB+AD=14，PM=7，SPMN最大=PM2=72=【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质，解1的关键是判断出PM=CE，PN=BD，解2的关键是判断出ABDACE，解3的关键是判断出BD最大时，PMN的面积最大，是一道中考常考

47、题102023春市北区期中数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC、BD是四边形ABCD的对角线，假设ACB=ACD=ABD=ADB=60，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得ABEADC，从而容易证明ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将ABC绕着点A逆时针旋转60，使AB与AD重合，从而容易证明ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD在此根底上，同学们作了进一步的研究：1小颖提出：如图4，如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=

48、60改为ACB=ACD=ABD=ADB=45，其他条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明2小华提出：如图5，如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60改为“ACB=ACD=ABD=ADB=30，其他条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，并给出证明【考点】RB：几何变换综合题【专题】35 ：转化思想【分析】1先判断出ADE=ABC，即可得出ACE是等腰三角形，再得出AEC=45，即可得出等腰直角三角形，即可；判断ADE=ABC也可以先判断出点A，B，C，D四点共圆2先判断出ADE=

49、ABC，即可得出ACE是等腰三角形，再用三角函数即可得出结论【解答】解：1BC+CD=AC；理由：如图1，延长CD至E，使DE=BC，连接AE，ABD=ADB=45，AB=AD，BAD=180ABDADB=90，ACB=ACD=45，ACB+ACD=90，BAD+BCD=180，ABC+ADC=180，ADC+ADE=180，ABC=ADE，在ABC和ADE中，ABCADESAS，ACB=AED=45，AC=AE，ACE是等腰直角三角形，CE=AC，CE=CD+DE=CD+BC，BC+CD=AC；2BC+CD=AC理由：如图2，延长CD至E，使DE=BC，ABD=ADB=30，AB=AD，BA

50、D=180ABDADB=180230，ACB=ACD=30，ACB+ACD=60，BAD+BCD=180，ABC+ADC=180，ADC+ADE=180，ABC=ADE，在ABC和ADE中，ABCADESAS，ACB=AED=30，AC=AE，AEC=30，过点A作AFCE于F，CE=2CF，在RtACF中，ACD=30，CF=ACcosACD=ACcos30，CE=2CF=2ACcos30=AC，CE=CD+DE=CD+BC，BC+CD=2ACcos30=AC【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，四边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，解此题的关键是构造全等三角形，是一道

51、综合性较强的题目112023秋历城区期末【操作发现】1如图1，ABC为等腰直角三角形，ACB=90，先将三角板的90角与ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转旋转角大于0且小于45旋转后三角板的一直角边与AB交于点D在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使DCE=45，连接AF，EF请探究结果：直接写出EAF的度数=90度；假设旋转角BCD=，那么AEF=2度可以用含的代数式表示；DE与EF相等吗？请说明理由；【类比探究】2如图2，ABC为等边三角形，先将三角板中的60角与ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转旋转角大于0且小于30旋转后三角板的一直角边与A

52、B交于点D在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使DCE=30，连接AF，EF直接写出EAF的度数=120度；假设AE=1，BD=2，求线段DE的长度【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形【专题】55：几何图形【分析】1由等腰直角三角形的性质得出AC=BC，BAC=B=45，证出ACF=BCD，由SAS证明ACFBCD，得出CAF=B=45，AF=DB，求出EAF=BAC+CAF=90；证出DCE=FCE，由SAS证明DCEFCE，得出DE=EF即可；2由等边三角形的性质得出AC=BC，BAC=B=60，求出ACF=BCD，证明ACFBCD，得出CAF=B

53、=60，求出EAF=BAC+CAF=120；证出DCE=FCE，由SAS证明DCEFCE，得出DE=EF；在RtAEF中，由勾股定理得出AE2+AF2=EF2，即可得出结论【解答】解：1ABC是等腰直角三角形，ACB=90，AC=BC，BAC=B=45，DCF=90，ACF=BCD，在ACF和BCD中，ACFBCDSAS，CAF=B=45，AF=DB，EAF=BAC+CAF=90；DE=EF；理由如下：DCF=60，DCE=30，FCE=6030=30，DCE=FCE，在DCE和FCE中，DCEFCESAS，DE=EF；2ABC是等边三角形，AC=BC，BAC=B=60，DCF=60，ACF=

54、BCD，在ACF和BCD中，ACFBCDSAS，CAF=B=60，EAF=BAC+CAF=120；AE2+DB2=DE2，理由如下：DCF=90，DCE=45，FCE=9045=45，DCE=FCE，在DCE和FCE中，DCEFCESAS，DE=EF，在RtAEF中，AE2+AF2=EF2，又AF=DB，AE2+DB2=DE2AE=1，BD=2，DE=故答案为：190；2；2120【点评】此题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；此题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键122023秋和平区期末

55、ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将ACD绕点C逆时针方向旋转60得到BCE，连接DE1如图1，求证：CDE是等边三角形2设OD=t，当6t10时，BDE的周长是否存在最小值？假设存在，求出BDE周长的最小值；假设不存在，请说明理由求t为何值时，DEB是直角三角形直接写出结果即可【考点】RB：几何变换综合题【专题】15 ：综合题【分析】1由旋转的性质得到DCE=60，DC=EC，即可得到结论；2当6t10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到CDBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE

56、=CD，由垂线段最短得到当CDAB时，BDE的周长最小，于是得到结论；3存在，当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，当0t6时，由旋转的性质得到ABE=60，BDE60，求得BED=90，根据等边三角形的性质得到DEB=60，求得CEB=30，求得OD=OADA=64=2=t当6t10时，此时不存在；当t10时，由旋转的性质得到DBE=60，求得BDE60，于是得到t=14【解答】解：1证明：将ACD绕点C逆时针方向旋转60得到BCE，DCE=60，DC=EC，CDE是等边三角形；2存在，当6t10时，由旋转的性质得，BE=AD，CDBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由1知

57、，CDE是等边三角形，DE=CD，CDBE=CD+4，由垂线段最短可知，当CDAB时，BDE的周长最小，此时，CD=2，BDE的最小周长=CD+4=2+4；3存在，当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，当点D与点B重合时，不符合题意，当0t6时，由旋转可知，ABE=60，BDE60，BED=90，由1可知，CDE是等边三角形，DEB=60，CEB=30，CEB=CDA，CDA=30，CAB=60，ACD=ADC=30，DA=CA=4，OD=OADA=64=2，t=2；当6t10时，由DBE=12090，此时不存在；当t10时，由旋转的性质可知，DBE=60，又由1知CDE=60，BDE

58、=CDE+BDC=60+BDC，而BDC0，BDE60，只能BDE=90，从而BCD=30，BD=BC=4，OD=14，t=14，综上所述：当t=2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形【点评】此题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键132023秋怀柔区期末老师布置了这样一道作业题：在ABC中，AB=ACBC，点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC，BAC=，DBC=，+=120，连接AD，求ADB的度数小聪提供了研究这个问题的过程和思路：先从特殊问题开始研究，当=90，=30时如图1，利用轴对称知识，以AB为对

59、称轴构造ABD的轴对称图形ABD，连接CD如图2，然后利用=90，=30以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题1请结合小聪研究问题的过程和思路，求出这种特殊情况下ADB的度数；2结合小聪研究特殊问题的启发，请解决老师布置的这道作业题【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KH：等腰三角形的性质；KK：等边三角形的性质【分析】1如图2中，作ABD=ABD，BD=BD，连接CD，AD，由ABDABD，推出DBC是等边三角形，再证明ADBADC，得ADB=ADC，由此即可解决问题2第种情况：当60120时，如图3中，作AB D=ABD，B D=BD，连接CD，AD，证明方法类似1第种情况：当060时

60、，如图4中，作ABD=ABD，BD=BD，连接CD，AD证明方法类似1【解答】解：1如图2中，作ABD=ABD，BD=BD，连接CD，AD，AB=AC，BAC=90，ABC=45，1分DBC=30，ABD=ABCDBC=15，在ABD和ABD中，ABDABD，ABD=ABD=15，ADB=ADB，DBC=ABD+ABC=60，BD=BD，BD=BC，BD=BC，DBC是等边三角形，DB=DC，BDC=60，在ADB和ADC中，ADBADC，ADB=ADC，ADB=BDC=30，ADB=302解：第种情况：当60120时，如图3中，作AB D=ABD，B D=BD，连接CD，AD，AB=AC，A