微积分极限与函数讲义课件1

1、第一章分析基础 函数 极限 连续 研究对象 研究方法 研究桥梁函数、极限与连续第一章分析基础 函数 极限 连续 研究对象 研究方法1.1 函数一实数二常用的实数集三函数概念四函数的几种特性 第一章 1.1 函数一实数 第一章 实数(real number)由有理数(rational number)与无理数(irrational number)两部分组成.一. 实数二. 常用的实数集任意一个有理数均可以表示成 实数(real number)由有理数(rational n区间(interval):是指介于某两个实数之间的称为开区间,称为闭区间,全体实数.这两个实数叫做区间的端点.定义1.1.1 区

2、间(interval):是指介于某两个实数之间的称为开区间有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.称为半闭半开区间,称为半开半闭区间,有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)邻域(neighborhood):点 的去心 邻域定义1.1.2 邻域(neighborhood):点 的去心 邻把开区间称为a 的左邻域，把开区间称为a 的右邻域，把开区间称为a 的左邻域，把开区间称为a 的右邻域，定义域三、函数概念1. 函数的概念 设数集则称映射为定义在D 上的函数 ,记为称为值域 函数图形:自变量因变量定义1.1.3 定义域三、函数概念1. 函

3、数的概念 设数集则称映射为定义在D 对任何实数都没有按给定规则与之对应的函数定义域不能是空集.因此，此例不是函数.例1.1.1 对任何实数都没有按给定规则与之对应的函数定义域不能是空按这个规则，每一个有无穷多个与之对应的值. 而函数定义中的对应规则要求对每一个只有一个确定的值与之对应，因此，此例也不是函数. 例1.1.2 按这个规则，每一个有无穷多个与之对应的值. 而函数定义中的对判断下面函数是否相同, 并说明理由.(1) 与(2) 与解 (1) 虽然这两个函数的表现形式不同，但它们的定义域与对应法则均相同，其定义域和对应法则均相同，所以这两个函数相同.（2）虽表面形式不同，但其定义域和对应法

4、则均相同，所以这两个函数相同.例1.1.3 判断下面函数是否相同, 并说明理由.(1) 与(2) 与解 自变量因变量对应法则f2.函数的两要素:定义域与对应法则.约定: 定义域是使表达式有意义的自变量能取的一切实数值.自变量因变量对应法则f2.函数的两要素:定义域与对应法则.约求函数解 要使有意义，显然要满足 即 所以的定义域为的定义域.例1.1.4 求函数解 要使有意义，显然要满足 即 所以的定义域求函数解 要使有意义，显然要满足即 所以的定义域为的定义域.例1.1.5 求函数解 要使有意义，显然要满足即 所以的定义域为的3.多值函数 是多值函数对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数

5、，否则叫做多值函数如果自变量在定义域内任取一个数值时，3.多值函数 是多值函数对应的函数值总是只有一个，这种函4. 函数的常用表示法表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、公式法（解析法） 根据函数的解析式的形式的不同，函数也可分为显函数、隐函数和分段函数三种 4. 函数的常用表示法表示函数的主要方法有三种：表格法、图形（1）显函数(explicit function)例如（2）隐函数(implicit function) (3) 分段函数(piecewise function)函数在其定义域的不同范围内，具有不同的解析表达式. （1）显函数(explicit function)例如（2）绝

6、对值函数(absolute value function) 以下是几个常见的分段函数定义域 , 值域 例1.1.6 绝对值函数(absolute value function)符号函数(sign function) 1-1xyo例1.1.7 符号函数(sign function) 1-1xyo例1.1取整函数 表示不超过 的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线显然:例如.例1.1.8 取整函数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -有理数点无理数点1xyo补充例1 狄利克雷函数有理数点无理数点1xyo补充例1 狄利克雷函数补充例2

7、取最值函数yxoyxo补充例2 取最值函数yxoyxoM-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1函数的有界性(bounded):四、函数的几种特性M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1函数的有2函数的单调性(monotonicity):xyo2函数的单调性(monotonicity):xyoxyoxyo3函数的奇偶性(parity)偶函数yxox-x3函数的奇偶性(parity)偶函数yxox-x奇函数yxox-x奇函数yxox-x判断函数解 方法一 由定义知为奇函数.的奇偶性.例1.1.9 判断函数解 方法一 方法二 所以进一步可知既是奇函数，也是偶函数.为奇函数. 方法二 所以进一步可知既是奇函数，也是偶函数.为奇4函数的周期性(periodicity)（通常说周期函数的周期是指最小正周期）.4函数的周期性(periodicity)（通常说周期函数的设函数是周期为的周期函数，的周期，其中为常数，且解 因为故按周期函数的定义，的周期为特别地，的周期均为的周期均为试求函数例1.1.10 设函数是周期为的周期函数，的周期，其中为常数，且解 因为内容小结一实数二常用的实数集：区间与邻域三函数概念四函数的几种特性有界性单调性奇偶性周期性内容小结一实数作业P8 1(2) 、(4)、(6) 2. 3. 5 (3