向量组的线性相关性课件

1、第三节 向量组的线性相关性二、关于线性组合与线性相关 的定理一、线性相关与线性无关三、小结、思考题第三节 向量组的线性相关性二、关于线性组合与线性相关一、线的向量形式为当且仅当时关系式成立存在一组不全为零的数使得关系式成立向量组的关系由上节内容知道，齐次线性方程组因此，齐次线性方程组只有零解齐次线性方程组有非零解的向量形式为当且仅当时关系式成立存在一组不全为零的数使得关系一、线性相关与线性无关成立定义3.7一、线性相关与线性无关成立定义3.7注意3. 包含零向量的任何向量组是线性相关的.线性相关，若则说线性无关. 4. 对于含有两个向量的向量组, 它线性相关的充要条件是两向量的分量对应成比例,

2、 几何意义是两向量共线; 三个向量线性相关的几何意义是三向量共面.对于任一向量组而言, 不是线性无关的就是线性相关的.2.向量组只包含一个向量时，则说2.向量组只包含一个向量时，则说2.向量组只包含一个向量时，则说2.向量组只包含一个向量时，若则说2.向量组只包含一个向量时，注意3. 包含零向量的任何向量组是线性相关的.线性相关，若则由定义3.7可知有非零解定理3.5 列向量组a1, a2, , am线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=(a1, a2, , am)的秩r(A) m (小于向量个数 ) ; 向量组线性无关的充分必要条件是r(A)=m.由定义3.7可知有非零解定理3.5 列向

3、量组a1, a2推论1（线性无关）推论2当向量组中所含向量的个数m大于向量的维数n时，此向量组线性相关 线性相关推论1（线性无关）推论2当向量组中所含向量的个数m大于向量的例1解法一例1解法一解法二较解法一简单解法二较解法一简单解法二解法二证明利用推论1例2证明利用推论1例2证法一：利用定义 例3 已知向量组a1, a2, a3线性无关, 试证向量组设有k1, k2, k3, 使 k1 b1 + k2 b2 + k3b3 =0由于此方程组的系数行列式故方程组只有零解, k1=k2=k3=0, 由此知b1, b2, b3线性无关.因向量组a1, a2, a3线性无关, 所以线性无关.亦即即证法一

4、：利用定义 例3 已知向量组a1, a2, a3线性法二：齐次方程记为B=AK, 并代入3元齐次线性方程组Bx=0, 得讨论b1, b2, b3线性相关性，只需讨论齐次方程Bx=0的解的状况 .将表示为矩阵等式AK即法二：齐次方程记为B=AK, 并代入3元齐次线性方程组Bx=由于a1,a2, a3线性无关, 即R(A)=3,从而Kx=0,又因为| K |= 2 0知, 齐次方程组Kx=0只有零解.因此, 齐次方程组Bx=0只有零解. 故R(B)=3.因此由定理3.5得, 向量组b1, b2, b3线性无关.由于a1,a2, a3线性无关, 即R(A)=3,从而Kx=法三：矩阵的秩由证二得B=A

5、K, 因为| K |= 2 0, 知K可逆,由矩阵秩的性质得: R(B)=R(AK)=R(A)=3因此由定理3.5得, 向量组b1, b2, b3线性无关.证明抽象向量组线性无关的方法.一是依据定义的证明方法, 即向量组的线性组合为零的组合系数只能都为零; 二是利用定理3.5, 证明向量组构成的矩阵的秩等于向量组向量的个数法三：矩阵的秩由证二得B=AK, 因为| K |= 2 三仍是利用定理3.5, 但过程利用了矩阵秩的性质.（小组相关，则大组相关）（大组无关，则小组无关）证明证明（见课本定理3.6）三仍是利用定理3.5, 但过程利用了矩阵秩的性质.（小组相关例4解t取何值时下列向量组线性相关

6、t=2或t=-1时线性相关例4解t取何值时下列向量组线性相关t=2或t=-1时线性相关定理3.7证明于是二、关于线性组合与线性相关的定理必要性定理3.7证明于是二、关于线性组合与线性相关的定理必要性 证毕注：此定理给出了线性相关与线性组合的关系定义 若向量组A是向量组B的一部分，则称A组是B组的部分组.的线性组合， 证毕注：此定理给出了线性相关与线性组合的关系定义 若向定理3.8证明这时定理3.8证明这时例如，任意n维向量可由初始单位向量组唯一的线性表示 证毕例如，任意n维向量可由初始单位向量组唯一的线性表示 证毕向量组的线性表示设有向量组如果向量组A中每一个向量都可由组B线性表示，则称向量组

7、A可由向量组B线性表示.定理3.9（大组被小组表示，则大组相关）向量组的线性表示设有向量组如果向量组A中每一个向量都可由组B证明：只需证明不全为零设（1）由已知（2）将（2）代入（1）得（3）证明：只需证明不全为零设（1）由已知（2）将（2）代入（1）整理为令因为st,故该齐次线性方程组有非零解（4）整理为令因为st,故该齐次线性方程组有非零解（4）从而使（4）成立，（3）也成立，(1)必成立，故向量组（B）线性相关即存在不全为零的使方程组成立推论证毕定理3.9又可叙述为：若B可由A线性表示，且B线性无关，则从而使（4）成立，（3）也成立，(1)必成立，故向量组（B）证(2)反证法与题设矛盾.

8、例5向量组线性无关，证明：已知向量组线性相关，大组无关，则小组无关定理3.8证(2)反证法与题设矛盾.例5向量组线性无关，证明：已知向量1. 线性相关与线性无关的概念3. 线性相关与线性无关的判定三、小结2.线性相关性在线性方程组中的应用3. 线性相关与线性无关的判定总结各种充要条件1. 线性相关与线性无关的概念3. 线性相关与线性无关的判定思考题下列命题是否正确？思考题下列命题是否正确？向量组的线性相关性课件向量组的线性相关性课件 P160 10.（1） 11. （2） 12. 13. 14. 15作业 P160作业证明证毕证明证毕证毕证毕向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组 A：a1

9、, a2, , am 线性相关存在不全为零的实数 k1, k2, , km ，使得k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量） m 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解矩阵A = (a1, a2, , am ) 的秩小于向量的个数 m 向量组 A 中至少有一个向量能由其余 m1 个向量线性表示向量组线性无关性的判定（重点、难点）向量组 A：a1, a2, , am 线性无关如果 k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量），则必有k1 = k2 = = km =0 m 元齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解矩阵A = (a1, a2, , am ) 的秩等于向量的个数 m 向量组 A 中任何一个向量都不能由其余 m1 个向量线性表示向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组线性无关性的判定（向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组 A：a1, a2, , am 线性相关存在不全为零的实数