电磁场理论第十三周

1、电磁场理论第十三周课件第1页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五电磁场理论第十三周讲稿 6.1 理想介质中传播的均匀平面电磁波 6.2 媒质的频散和电磁波的相速与群速 作业1：6-1、3、4作业2： 6.5 6.6 6.7第2页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五 6.1 理想介质中传播的均匀平面电磁波 1、电磁波的波动方程及其解 2、复波动方程和均匀平面波的传播特性 例题 3、均匀平面波的能量密度和能流密度 例题 4、均匀平面波的极化 5、均匀平面波的性质第3页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五1、电磁波的波动方程及其解 第4页，共74

2、页，2022年，5月20日，6点39分，星期五1、电磁波的波动方程及其解 第5页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五1、电磁波的波动方程及其解上两式分别称为电场、磁场的波动方程。在直角坐标系内，每一标量的波动方程将只包含矢量的一个分量。 的波动方程为第6页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五1、电磁波的波动方程及其解 沿 x 方向传播的一组均匀平面波电磁波：脱离场源后在空间传播的电磁场。平面电磁波：等相位面为平面的电磁波。 均匀平面电磁波 ：等相位面是平面，等相位面上任一点的 E相同、H相同的电磁波 。 若电磁波沿 x 轴方向传播 H=H( x, t )，E

3、=E (x , t)。 第7页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五1、电磁波的波动方程及其解对于沿+z方向传播的均匀平面波，场量只在传播方向即沿z方向变化，而在xy平面内无变化，故 上式是一维波动方程。设此方程的解为达朗贝尔多项式其中 zv第8页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五1、电磁波的波动方程及其解上述解的意义在某一时刻 时, 仅为z的函数，设在某点 处其值为M。当时间由 延续到 时，即经过的时间 ，仍只是z的函数，但在 处的值不再是M；在 处才是M 。这就相当于沿z轴分布的图形向+z方向移动了 的距离，这表明 是一个以速度v沿+z方向传播的波，可用

4、 表示，速度称为波速，即 第9页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五1、电磁波的波动方程及其解同理， 则是以波速v沿-z方向传播的波，用 表示。这两种解都是行波。即在自由空间(真空)中，行波的波速为在介质中，电磁波的传播速度 第10页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五1、电磁波的波动方程及其解场分量 也都只是空间坐标变量z、 t的函数。考虑到有 令不影响平面波的传播特性。得这表明平面电磁波的电场与磁场与传播方向z垂直。第11页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五对于 均匀平面电磁波：场的方向与波的传播方向相互垂直，沿波的传播方向无分量，称

5、为横电磁波(TEM)一般的电磁波有EH、 HE 、TE 、TM、LM、LE波等yxz2、复波动方程和均匀平面波的传播特性第12页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五 综上所述，均匀平面电磁波若为沿z轴方向传播，则 坐标轴的旋转1、电磁波的波动方程及其解第13页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五2、复波动方程和均匀平面波的传播特性 称为圆波数，简称波数。波动方程更一般地表示为其中称 为传播常数。定义 相位常数第14页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五 若为沿z轴方向传播，则均匀平面波定义yxzEH2、复波动方程和均匀平面波的传播特性第15

6、页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五2、复波动方程和均匀平面波的传播特性对于沿z方向传播的均匀平面波，E 和H 都只有横向分量，且在横向无变化。例如 分量复波动方程可写为解为其它分量类似。第16页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五2、复波动方程和均匀平面波的传播特性 考虑沿z方向行进的波，并设电场沿x方向，即电场强度矢量E 只有x分量（线性极化），其瞬时值及复数形式可以写为第17页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五2、复波动方程和均匀平面波的传播特性磁场的表达式 结论：磁场与电场同相位，如下图示。上面的推导也可以通过复数的形式来进行。

7、第18页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五2、复波动方程和均匀平面波的传播特性磁场的表达式由 导出： 波阻抗用复矢量表示上述关系为第19页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五2、复波动方程和均匀平面波的传播特性第20页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五2、复波动方程和均匀平面波的传播特性第21页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五2、复波动方程和均匀平面波的传播特性 在一般情况下，若观察点取等相面上的任一点P，其位置为r。引入矢量k称为波矢量，其大小为波数，它的方向沿波的传播方向， 电场的瞬时值应该写为 复数形式为 x

8、zrky第22页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五由得因故2、复波动方程和均匀平面波的传播特性第23页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五2、复波动方程和均匀平面波的传播同理：第24页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五2、复波动方程和均匀平面波的传播特性总之：在最一般情况下，波的传播方向是其波矢量k的方向E和H也在空间某个任意方向做简谐振动 ，且E、H、K之间满足右手螺旋定则。EHK第25页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五2、复波动方程和均匀平面波的传播特性几个重要参量：自由空间中理想介质中 波阻抗Z第26页，共7

9、4页，2022年，5月20日，6点39分，星期五2、复波动方程和均匀平面波的传播特性波数周期 频率波速波长第27页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五例 题设正弦均匀平面波沿+z方向传播，空中置一长为a、宽为b的矩形线圈，且电平面与y=0的平面重合。试求此线圈中的感应电动势。abyzxEH第28页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五例 题解：取E沿+x方向，即 H沿+y方向.因为线圈的两长边与E垂直，故在两长边上处处有 ，则矩形线圈中的感应电动势为此题也可以用求磁通的方法去做.第29页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五例 题设自由空间中均

10、匀平面波的电场强度为 ，求:(1)传播速度；(2)波的频率；(3)波长；(4)磁场强度.解:(1)自由空间中波以光速传播沿-z方向,大小为 (2) ，因此角频率为 (3)自由空间的波长为 (4) 电场强度的复数形式为直接除以波阻抗第30页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五电场的能量密度为 (瞬时值)磁场的能量密度为 (瞬时值)由于 所以3、均匀平面波的能量密度和能流密度第31页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五对于它的时间平均值为有效值表示为能流密度的瞬时值为3、均匀平面波的能量密度和能流密度第32页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五

11、3、均匀平面波的能量密度和能流密度利用 得理想介质或真空中，电磁波的能流密度等于其能量密度与波速的乘积；电磁波的传播伴随着电磁能量的流动。能流密度的时间平均值为能量密度或能流密度的平均值 或 ，当场量用有效值表示时，在形式上分别与它们的瞬时值w或S相同，但 与时间无关， S、w是时间的函数。第33页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五例 题例1、真空中均匀平面波的电场强度为E=(4i+4j+2k) V/m。试求该电磁波的频率f、波长、波矢量k、磁场强度H、能量密度和坡印亭矢量S。解：均匀平面波的频率与波长分别为由得所以第34页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星

12、期五例 题磁场强度为其大小为 第35页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五例 题电磁场的能量密度和坡印亭矢量分别为 第36页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五例 题例题2：非磁性介质中均匀平面波电场矢量 V/m求 f 、 、k、H、 、 及 Hz =175 MHz由k=6ex+7ey -Cez, 得C6再由得波矢量的各分量第37页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五故 m-1 m-1 m-1 介质中波长 m由 得介质中波阻抗例题第38页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五例 题 A/m J/m3能流密度的时间平均值为 W

13、/m2第39页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五 所谓波的极化是指电场强度矢量E末端的取向。光学中这种现象叫做偏振。例如，TEM波只有横向分量。若E仅有x分量，我们便说波在x方向极化；若E仅有y分量，波在y方向极化。一般情形下， 和 两分量都可能存在。例如，由天线发射的电磁波或在收讯点接收到的电磁波，E和H都可能有两个横向分量，且这两个分最的振幅和相位不一定相同。通常用总场矢量的顶点，在垂直于传播方向的一个平面上一个周期内所画出的轨迹的形状表示该波的极化。 4、均匀平面波的极化第40页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五设电场强度沿x、y方向分量的瞬时值分

14、别为在z=0的等相面上，有 4、均匀平面波的极化第41页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五 4、均匀平面波的极化由此可得这是一个椭圆方程。合成场强矢量E的末端在一个椭圆上旋转。接下来，根据取值的不同，分三种情况来具体进行讨论。可得所谓的线性极化波、圆极化波和椭圆极化波。?第42页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五 4、均匀平面波的极化（1）线性极化波 ，在z=0的等相面上，则有它们的合成电场强度的量值为合成场强与x轴的夹角则为合成场强的大小随时间按正弦规律变化，但其方向始终保持在一条直线上，即E矢量末端的轨迹是一条直线， 第43页，共74页，2022年，

15、5月20日，6点39分，星期五 4、均匀平面波的极化第44页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五(2). 圆极化波若 ，且 ，在z=0 的等相面上，则有它们的合成场强的大小为 4、均匀平面波的极化第45页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五这表明合成场强矢量E的大小不随时间而变，但E矢量末端却在一个圆上以角速度旋转。因此，称这种波为圆极化波。如果我们迎着波的传播方向看去，当 较 滞后 时，E矢量沿反时针方向旋转，这种圆极化波称为右旋圆极化波；反之，E矢量顺时针方向旋转，则称之为左旋圆极化波。 4、均匀平面波的极化第46页，共74页，2022年，5月20日，6

16、点39分，星期五 4、均匀平面波的极化第47页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五 4、均匀平面波的极化第48页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五 4、均匀平面波的极化 (3). 椭圆极化波一般情况下，极化的方式将会是椭圆极化：椭圆的长轴并不一定与x轴重合，它们之间的夹角可以证明决定于下式第49页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五 4、均匀平面波的极化当 (即 滞后于 )时，如果我们迎着波的传播方向看去,矢量沿反时针方向旋转，称为右旋椭圆极化波；反之，矢量顺时针方向旋转，则称为左旋椭圆极化波。第50页，共74页，2022年，5月20日，

17、6点39分，星期五 4、均匀平面波的极化第51页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五5、均匀平面波的性质均匀平面波的性质可以归纳如下 ：(1)横电磁(TEM)波；(2) E 和H 在空间上互相垂直，并且ExH 沿传播方向，在该方向上的波速为(3) E 和H 在时间上同相位，其大小之比为波阻抗。其中真空中的波阻抗 。第52页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五5、均匀平面波的性质(4) 均匀平面波的电场与磁场的能量密度总相等，而电磁波的能量密度的瞬时值为 其时间平均值(5)均匀平面波的能流密度即坡印亭矢沿传播方向，瞬时值为 其时间平均值为(6)均匀平面波一般是

18、椭圆极化，线性极化波和圆极化波只是它的特例且常用。第53页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五 6.2 媒质的频散和电磁波的相速与群速 1、介质的频散及其复介电常数 2、导电媒质的频散及其等效复介电常数 3、电磁波的相速度和群速度第54页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五 1、介质的频散及其复介电常数 理想介质内， 是实数；严格地说，介质都有损耗。在低频的情况下，损耗可以忽略。频率较高时，损耗比较明显，不可忽略。理论解释：以电介质为例，频率很高时，电介质的极化与外加电场不同步，极化强度P的变化在相位上滞后电场强度E，设相差为 。第55页，共74页，2022

19、年，5月20日，6点39分，星期五 1、介质的频散及其复介电常数 因 与 有关，故上式中实部表示介质原介电常数的含义，虚部表示介质的损耗。电损耗角 。第56页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五 1、介质的频散及其复介电常数据洛仑兹的介质频散模型，正常情况下，介质中的每个原子，其原子核与核外电子的电荷中心重合，故对外不呈现偶极矩。在外电场中，由于受电场力的作用，原子正负电荷位移呈现电偶极矩。（仅考虑电子相对原子核的运动）对电子做受力分析，设其质量为m，电量为e，其离开平衡位置的距离为r。则每个原子所对应的偶极矩为：第57页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五

20、 1、介质的频散及其复介电常数弹性恢复力阻尼力考虑正弦场的作用，则第58页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五 1、介质的频散及其复介电常数电极化强度因 电极化率相对介电常数为可表示为第59页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五 所以： 的实部与虚部之间有如下频散关系同理，磁介质有 及 1、介质的频散及其复介电常数 第60页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五 1、介质的频散及其复介电常数 损耗角正切只有理想介质的介电常数是实数，高频下是复数，其实部表示介电性，虚部表示损耗，只用聚四氟乙烯、聚苯乙烯等损耗较小的介质。第61页，共74页，20

21、22年，5月20日，6点39分，星期五 无界的理想介质中麦克斯韦方程组的复数形式 电滋波在无界的导电媒质中传播时，麦克斯韦方程组的形式为 等效为一复介电常数，即 2、导电媒质的频散及其等效复介电常数第62页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五 2、导电媒质的频散及其等效复介电常数导体晶格中的自由电子在外电场下受到阻尼力，有同理可得电流密度电导率为： 也是复数。第63页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五 2、导电媒质的频散及其等效复介电常数损耗角正切值它是传导电流与位移电流密度的比值。 是理想导体 是良导体； 是不良导体或半导电媒质， 是介质， 是理想介质。

22、第64页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五 2、导电媒质的频散及其等效复介电常数可见介质和导体是媒质在不同频率下的表现形式，例如低频下的铜在X射线范围便是介质了。第65页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五3、电磁波的相速度和群速度相速度 ：电磁波沿某一参考方向上等相面的推进速度。 设 考察该均匀平面波中的某个等相面(例如波峰)的推进速度。t=0，波峰位于z=0处，其相位：时间变化dt，波峰推进了dz的距离，但其相位不变，仍有，由此可以求得相速度 zt第66页，共74页，2022年，5月20日，6点39分，星期五3、电磁波的相速度和群速度在一般情况下，欲求相速可固定波的某一等相面，即令 ，对时间求导，得 相