电磁场第二章精品课件

1、电磁场第二章PPT第1页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五主 要 内 容库仑定律、电场强度、电位、场方程、边界条件、电场能量与能量密度2.1 库仑定律与电场强度 2.1.1 库仑定律 真空中两个点电荷之间的作用力的大小与两点电荷电量之积成正比，与距离平方成反比，力的方向沿着它们的连线， 同号电荷之间是斥力， 异号电荷之间是引力。1、 库仑定律表述：第2页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五2、表示式式中：R = r-r表示从r到r的矢量；R是r到r的距离；R是R的单位矢量；0是表征真空电性质的物理量，称为真空的介电常数，其值为 。注意：点电荷q同样受到q的

2、作用力，如为F，且F= -F，即两点电荷之间的作用力符合牛顿第三定律。点电荷q 受到q的作用力为F表示为库仑定律只能直接用于点电荷。第3页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五 对于实际的带电体， 一般应该看成是分布在一定区域内的电荷，称其为分布电荷。用电荷密度来定量描述电荷的空间分布情况。3、电荷与电荷分布： 电荷体密度：在电荷分布区域内，取体积元V，若其中的电量为q，则电荷体密度为电荷面密度：如果电荷分布在宏观尺度h很小的薄层内，则可认为电荷分布在一个几何曲面上，用面密度描述其分布。若面积元S内的电量为q，则面密度为 单位是库/米2(C/m2)单位是库/米3(C/m3)第4

3、页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五点电荷的密度：电荷集中在一个体积为零的几何点上，这个电荷为点电荷。利用函数，其体密度 电荷线密度：对于分布在一条细线上的电荷用线密度描述其分布情况。 若线元l内的电量为q，则线密度为 单位是库/米 (C/m)。以上的V、S、l趋于零，是指相对于宏观尺度而言很小的含意，以便能精确地描述电荷的空间变化情况；但是相对于微观尺度，该体积、面积、线元又是足够大，它包含了大量的带电粒子， 这样才可以将电荷分布看作空间的连续函数。 第5页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五2.1.2 电场强度 点电荷q对点电荷q的作用力，是由于q在空

4、间产生电场，电荷q在电场中受力。1、电场引入：2、电场强度： 用电场强度来描述电场，空间一点的电场强度定义为该点的单位正试验电荷所受到的力。在点r处，试验电荷q受到的电场力，则为 点电荷q在真空中产生电场第6页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五 n个点电荷在真空中产生电场（遵从叠加原理）点电荷q所在点r称为源点，试验电荷q所在点r称为场点。 对于体分布的电荷，可将其视为一系列点电荷的叠加，从而得出r点的电场强度为 第7页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五面电荷产生的电场强度为 线电荷产生的电场强度为 第8页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，

5、星期五例 2 - 1 一个半径为a的均匀带电圆环，求轴线上的电场强度。 解： 取坐标系如图 ，圆环位于xoy平面，圆环中心与坐标原点重合，设电荷线密度为l 。 第9页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五所以 第10页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五2.2 高斯定理 1、 立体角：若S是封闭曲面， 则对点电荷所在点o立体角面元dS对点电荷所在点o立体角第11页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五2、电场强度的通量： 电场强度通过任一曲面的通量称为电通，就是电场强度在曲面S上的面积分，以 表示,即 3、高斯定理：表述：真空中静电场的电场强度

6、通过任一封闭曲面的电通等于该封闭曲面所包围的电量与真空介电常数之比。即给出通过一个闭合面电场强度的通量与闭合面内电荷间的关系。积分形式第12页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五 证明：先考虑点电荷的电场穿过任意闭曲面S的通量： 若q位于S内部，上式中的立体角为4；若q位于S外部，上式中的立体角为零。对点电荷系或分布电荷，由叠加原理得出高斯定理为 证毕第13页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五微分形式表述：真空中任意一点的电场强度的散度等于该点的电荷密度与真空介电常数之比。即给出任意一点电场强度的空间变化与该点电荷分布的关系。证明：由于体积V是任意的， 所

7、以有 第14页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五 例 2 - 2 假设在半径为a的球体内均匀分布着密度为0的电荷，试求任意点的电场强度。 解： 当ra时， 故 第15页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五当ra) (ra) (ra) 积分路径与电场分量方向一致，由此可求出电位当ra时第28页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五 例 2-6 若半径为a的导体球面的电位为U0, 球外无电荷，求空间的电位。 解： 即 采用球坐标由 得 第29页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五再对其积分， 得 由已知条件确定常数。在导体球面

8、上，电位为U0，无穷远处电位为零。分别将r=a、 r=代入上式，得 这样解出两个常数为 所以 第30页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五（1）高斯定律中的电量 q 应理解为封闭面 S 所包围的全部正负电荷的总和。 静电场特性的进一步认识：（2）静电场的电场线是不可能闭合的 ，而且也不可能相交。（3）任意两点之间电场强度 E 的线积分与路径无关。真空中的静电场和重力场一样，它是一种保守场。 （4）已知电荷分布的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度，或者可以通过电位求出电场强度，或者直接根据电荷分布计算电场强度等三种计算静电场的方法。 第31页，共93页，2022年，5月20日

9、，6点42分，星期五2.4 电偶极子 1、电偶极子 由间距很小的两个等量异号点电荷电荷组成的系统。2、电偶极矩 用电偶极矩表示电偶极子的大小和空间取向，它定义为电荷q乘以有向距离l， 即 电偶极矩是一个矢量。第32页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五3、电偶极子在空间任意点P的电位为 其中，r1和r2分别表示场点P与q和-q的距离。P4、电偶极子在空间任意点P的电场计算 条件： l r 时，r表示坐标原点到P点的距离。第33页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五P由余弦定理由得第34页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五从而有 则电场强度

10、在球坐标中的表示式为 或电偶极子在空间任意点P的电位与r2成反比。电偶极子在空间任意点P的电场与r3成反比。第35页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五电偶极子的电场分布具有轴对称性。 5、电偶极子的电场分布图第36页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五2.5 电介质中的场方程2.5.1 介质的极化 表述为单位体积中电矩的矢量和，极化强度的单位是C/m2。 1、介质的极化 在外电场的作用下，或者电介质的分子产生附加电矩，或者固有偶极矩沿外电场取向。电介质的极化分为非极性分子的极化（位移极化）和极性分子的极化（取向极化）两种。2、极化强度 极化强度P是一个矢量

11、，用来表征电介质的极化性质。其表达式第37页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五2.5.2 极化介质产生的电位 设极化介质的体积为V，表面积是S，极化强度是P，现在计算介质外部任一点的电位。在介质中r处取一个体积元V， 因| r- r|远大于V的线度，故可将V中介质当成一偶极子，其偶极矩为p=PV，它在r处产生的电位是 1、极化介质在空间任意点的电位第38页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五整个极化介质产生的电位是上式的积分： 对上式进行变换，利用 变换为 第39页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五再利用矢量恒等式： 令 体电荷密度面电

12、荷密度极化电荷第40页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五 例2-7 一个半径为a的均匀极化介质球，极化强度是P0ez，求极化电荷分布及介质球的电偶极矩。 解：取球坐标系，让球心位于坐标原点。极化电荷面密度为 xyz-+a极化电荷体密度为第41页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五分布电荷对于原点的偶极矩由下式计算： 积分区域S是极化电荷分布的介质球面区域。 因此 则 由 第42页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五 2.5.3 介质中的场方程将P= - P代入，得 这表明，矢量（0E + P）的散度为自由电荷密度。 1、高斯定理的微分形式

13、在真空中在电介质中自由电荷密度， P极化电荷密度2、电位移矢量第43页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五 称此矢量为电位移矢量(或电感应强度矢量)， 并记为D，即 于是，介质中高斯定理的微分形式变为 微分形式： 3、介质中静电场的方程积分形式：第44页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五2.5.4 介质的介电常数 式中e为极化率，是一个无量纲常数。称r为介质的相对介电常数，称为介质的介电常数。 1、极化强度P与电场强度E的关系2、介质的介电常数由3、均匀介质中电位的泊松方程第45页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五 例 2 - 8 一个

14、半径为a的导体球，带电量为Q，在导体球外套有外半径为b的同心介质球壳， 壳外是空气，如图所示。求空间任一点的D、 E、 P以及束缚电荷密度。第46页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五 解： 导体球外(ra) 介质内(arb)： 第47页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五介质外(ba，求两个导体球之间的电容。解：先设一个导体球带电荷为q1，另一个带电荷为零，可得则 同理得所以 q1第68页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五 例 2 - 12 一同轴线内导体的半径为a， 外导体的内半径为b, 内、外导体之间填充两种绝缘材料，arr0的介电

15、常数为1，r0rb的介电常数为2， 如图 所示， 求单位长度的电容。 例 2 - 12 用图 第69页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五 解：设内、外导体单位长度带电分别为l、-l，内、外导体间的场分布具有轴对称性。由高斯定理可求出内、外导体间的电位移为 各区域的电场强度为第70页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五内、外导体间的电压为 因此，单位长度的电容为 第71页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五2.8 电场能量与能量密度 2.8.1 电场能量 设每个带电体的最终电位为1、2、n，最终电荷为q1、 q2、qn。带电系统的能量与建立

16、系统的过程无关，仅仅与系统的最终状态有关。假设在建立系统过程中的任一时刻，各个带电体的电量均是各自终值的倍(1)，即带电量为qi，电位为i，经过一段时间，带电体i的电量增量为d(qi)，外源对它所作的功为id(qi)。外源对n个带电体作功为 1、n个带电体组成的系统的电场能量第72页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五因而，电场能量的增量为 在整个过程中，电场的储能为 用电容系数表示用电位系数表示第73页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五3、面电荷分布的电场能量4、线电荷分布的电场能量2、体电荷分布的电场能量5、电容器的电量为q的电场能量第74页，共93页

17、，2022年，5月20日，6点42分，星期五2.8.2 能量密度 1、电场能量的分析将D =和Dn =S代入上式，有 利用矢量恒等式 第75页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五则 并且注意在导体表面S上 n = -n，得 第76页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五将式中V扩展到无穷大，故S在无穷远处。对于分布在有限区域的电荷，1/R，D1/R2, SR2, 因此当R时，上式中的面积分为零，于是 对于各向同性介质： 2、能量密度的定义 第77页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五 例2-13 若真空中电荷q均匀分布在半径为a的球体内，计算

18、电场能量。(ra) 所以 解： 用高斯定理可以得到电场为 第78页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五 例2-14 若一同轴线内导体的半径为a，外导体的内半径为b，之间填充介电常数为的介质，当内、外导体间的电压为U(外导体的单位为零)时，求单位长度的电场能量。 解：设内、外导体间电压为U时，内导体单位长度带电量为l， 则导体间的电场强度为 两导体间的电压为 第79页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五即 单位长度的电场能量为 第80页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五2.9 电 场 力的计算 虚位移法求带电导体所受电场力的思路是：假设在电

19、场力F的作用下，受力导体有一个位移dr，从而电场力作功Fdr；因这个位移会引起电场强度的改变，这样电场能量就要产生一个增量dWe； 再根据能量守恒定律，电场力作功及场能增量之和应该等于外源供给带电系统的能量dWb，即 1、虚位移法第81页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五 （1） 在电荷不变的条件下 如果虚位移过程中，各个导体的电荷量不变，就意味着各导体都不连接外源，此时外源对系统作功dWb为零，即 因此，在位移的方向上，电场力为 第82页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五 （2）在电位不变的条件下 如果在虚位移的过程中，各个导体的电位不变， 就意味着每个导体都和恒压电源相连接。此时，当导体的相对位置改变时， 每个电源因要向导体输送电荷而作功。设各导体的电位分别为1、2、n，各导体的电荷增量分别为dq1、dq2、dqn， 则电源作功为系统的电场能量为 第83页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五系统能量的增量为 第84页，共93页，2022年，5月20日，6点42分，星期五 例 2-15