2023届高考数学一轮练-专题19 一元函数的导数及其应用（填空题）（一）（解析版）

1、专题19 一元函数的导数及其应用（填空题）一、填空题1曲线在点处的切线的方程为_【答案】【解析】，所以切线斜率为，切线方程为2函数在点处的切线方程为_【答案】【解析】因为函数，可得，则且，所以在点处切线方程是3已知函数，若曲线与在公共点处有公切线，则_【答案】2【解析】由已知，所以曲线在处的切线方程为，所以曲线在处的切线方程为，即，所以，4若函数，则曲线在点处的切线的倾斜角是_【答案】【解析】由，则，所以，设切线的倾斜角为，所以，因为，所以5已知幂函数y= f(x)的图象过点，则曲线y= f(x)在点处的切线方程为_【答案】【解析】设，将代入，解得，则，则切线方程为，即6已知函数是偶函数，当时

2、，则函数在处的切线方程为_【答案】【解析】因为函数为偶函数，且当时，所以，当时，则，即当时，当时，又，所以函数在处的切线方程为，整理得故答案为【名师点睛】本题考查根据奇偶性求解函数的解析式，考查曲线切线方程的求解，较简单 一般地，函数图象在处的切线方程为7函数的图象在点处的切线方程为_【答案】【解析】由题意，所以，又，所以切线方程为，即8已知直线与曲线相切，则_【答案】【解析】设切点为，所以，又，解得9已知为正实数，若函数的极小值为0，则的值为_【答案】【解析】由题意，因为，所以或时，时，所以在和上递增，在上递减，的极小值是，解得（舍去）10函数的单调递减区间为_【答案】【分析】对函数求导，由

3、，即可求出单调递减区间【解析】由得，由解得，所以函数的单调递减区间为【名师点睛】利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数的定义域；求导函数，由（或）解出相应的的范围，对应的区间为的增区间（或减区间）；（2）确定函数的定义域；求导函数，解方程，利用的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论的正负，由符号确定在子区间上的单调性11若在上恒成立，则实数的取值范围为_【答案】【解析】 （1），令，因为，所以，则不等式化为，设，当时，单调递减，当时，单调递增，因此当时，而，因此当时，因此，设，因此要想在上恒成立，只需，因为，所以，因此在时单调递减，所以，因此12若函数在区间有两个不同的零

4、点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】，令，得；令，得，故函数在上单调递增，在上单调递减，函数在处得最大值若函数在区间有两个不同的零点，等价于，解得，即，故实数的取值范围是13已知直线是曲线的切线，则_【答案】2【解析】设切点为，则，由得，所以，解得，所以【名师点睛】已知曲线的切线方程求解参数值的步骤：（1）设出切点坐标，根据切点的纵坐标的值等于曲线在处的函数值，得到第一个方程；（2）再根据导数的几何意义，即有切线斜率，得到第二个方程；（3）两个方程联立求解出其中参数的值14已知均为实数，函数在时取得最小值，曲线在点处的切线与直线平行，则_【答案】5【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时等

5、号成立，所以，由得，时，由平行线的性质得，所以15已知函数，则在处的切线方程_【答案】【解析】由已知，所以，又，所以切线方程为，即【名师点睛】本题考查导数的几何意义，求出导函数，得出切线斜率后直接写出切线方程解题时要注意所给点是不是切点，问题是求函数在某点处的切线方程还是过某点的切线方程，如果是求过点，则设切点为，由此点求出切线方程，代入后求得切点坐标，从而得切线方程16若函数（为常数）存在两条均过原点的切线，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】由题意得的定义域为，且，设切点坐标为，则过原点的切线斜率，整理得存在两条过原点的切线，存在两个不同的解设，则问题等价于于存在两个不同的交点，又当时，

6、单调递增，当 时，单调递减，又当时，；当时，若于存在两个不同的交点，则解得【名师点睛】一般涉及方程根的个数，或零点个数求参数的取值范围，可通过一些方法求解：（1）直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的取值范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻求找“临界”情况，特别注意边界值的取舍；17若函数的图象在点处的切线垂直于直线，则函数的最小值是_【答案】【解析】因为且切线垂直于

7、，所以，所以，所以因为，令，所以，当，所以在上单调递减，在上单调递增，故函数的最小值是，故答案为18已知函数，若，使得，则实数的取值范围是_【答案】【解析】因为，所以，当，所以单调递减，因为，所以， 当，所以单调递增，因为，使得，所以所以故答案为19命题对于任意，恒成立；命题函数在上单调递增若命题为真命题，命题为假命题，则实数的取值范围是_【答案】或【解析】令，若命题为真命题，则，即，解得；若命题为真命题，则对于任意恒成立，即恒成立，而，所以因为命题为真命题，命题为假命题，所以真假或假真，所以或，所以或故答案为或【名师点睛】已知不等式恒成立，求参数范围的常用方法：（1） 含参求最值法：参数不分

8、离，直接含参求函数的最值加以解决；（2） 分离参数求最值法：先将参数分离，转化成求函数的最值问题加以解决；（3） 数形结合法： 确定主元，数形结合20定义在上的函数满足，且，则的解集为_【答案】【解析】令，则，因为定义在上的可导函数满足，所以在上恒成立，所以函数在上单调递增；又，所以，因此，当时，所以，当时，所以，故答案为【名师点睛】该题主要考查导数的方法解不等式，在解题的过程中，思路如下：（1）构造函数，利用导数，结合题中所给的条件，判断函数的单调性；（2）根据题中所给的函数的零点，判断函数值的符号，得到结果21已知函数是定义在R上的奇函数，当时，则下列结论中正确的序号是_当时，； 函数有3

9、个零点；的解集为；，都有【答案】【解析】对于，当时，则由题意得，因为函数是奇函数，所以，且时，错；所以 ，对于，当时，由得，当时，由得，所以 函数有3个零点，对；对于，当时，由得，当时，由得，所以 的解集为，对；对于，当时，由得，由得，由得，所以 函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在上有最小值，且，因为 当时，时，函数在上只有一个零点，所以当时，函数的值域为，由奇函数的图象关于原点对称得函数在的值域为，所以 对，都有，对【名师点睛】本题考查导数在函数中的应用，考查函数的性质，根据函数的奇偶性求出解析式是关键，然后利用性质求函数的零点、解不等式和证明不等式 ，对于 的证明，只须求出最大值与

10、最小值的差的绝对值小于即可22已知是定义在上的函数的导函数，且，则，的大小关系为_【答案】【解析】令，则，因为对于恒成立，所以，所以在上单调递增，因为，所以，所以23已知函数是定义在R上的偶函数，其导函数为，若对任意的正实数，则不等式的解集为_【答案】【解析】当时，且为偶函数，在单调递减，解得，故答案为24已知向量，设函数，则下列对函数和的描述正确的命题有_（请写出全部正确命题的序号）的最大值为3在上是增函数的图象关于点对称 在上存在唯一极小值点，且【答案】【解析】因为向量，所以，所以当时，取最大值3，所以正确；由，得，当时，的递增区间为，因为，所以在上是增函数，所以正确；由，得，所以图象的对

11、称中心为，所以错误；因为，所以，则，恒成立，所以 在上单调递增，因为，所以在存在唯一的极值点，则使，即，所以，因为，所以，所以，所以，即，所以正确25定义在上的奇函数的导函数为，且当时，则不等式的解集为_【答案】【解析】设，是奇函数，则是偶函数，时，单调递增，所以时，单调递减，又，时，则，时，则，综上，原不等式的解集为26已知定义在上的函数的导函数为，满足，若函数的图象关于直线对称，且，则不等式的解集为_【答案】【解析】令，则，所以函数为定义域内的减函数，又函数的图象关于直线对称，且，则，而当时，不等式，即，解得，所以不等式的解集为【名师点睛】解决此类问题，关键构造恰当的函数，本题根据所给条件

12、，及要解决的问题，构造函数，利用导数研究其单调性，即可求解不等式，考查了运算能力，属于中档题27已知是定义在上的奇函数，当时，若，则不等式的解集为_【答案】【解析】由题意，令，则，因为时，则，故在上单调递减，又是定义在上的奇函数，所以，所以，即是上的偶函数，根据偶函数的对称性，可知在上单调递增，且，所以时，故答案为【名师点睛】本题考查不等式的解集，解题关键是求出函数的单调性本题通过构造函数，求导并结合当时，可求出函数在上的单调性，再结合函数的奇偶性，可求出在定义域上的单调性考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题28已知函数，则使得成立的范围是_【答案】【解析】函数的定义域为，所以，

13、函数为偶函数，当时，则，所以，函数在区间为增函数，由可得，所以，则有，可得，解得因此，使得成立的范围是故答案为【名师点睛】利用偶函数的基本性质解不等式，可充分利用性质，同时注意分析出函数在区间上的单调性29已知函数在上有增区间，则a的取值范围是_【答案】【解析】由题得，因为函数在上有增区间，所以存在使得成立，即成立，因为时，所以故答案为【名师点睛】本题是一个存在性的问题，存在使得成立，不是一个恒成立的问题，所以成立时，即，不是遇到这样的题目，要注意区分存在性问题和恒成立问题30函数在上的最大值为_【答案】【解析】因为，当时，函数递增，当时，函数递减，所以故答案为31若函数在上存在两个极值点，则

14、的取值范围是_【答案】【解析】因为，所以，设，因为函数在上存在两个极值点，所以在上存在两个零点，所以在上存在两个零点，设为且，所以根据根与系数关系有：，故，因为，所以，由于，所以故答案为32函数与（为常数）图象有两个不同的交点，则的取值范围为_【答案】【分析】可得有两个不等实根，分离参数可得，求出的导数，判断其单调性，即可求出的范围【解析】由已知，可得有两个不等实根，即有两个不等实根设（），则，易知当时，故在上单调递减；当时，故在上单调递增，所以，所以故答案为【名师点睛】本题考查根据函数的交点个数求参数范围，解题的关键是将题目转化为与有2个交点，利用导数判断单调性得以解决33若函数有3个零点，

15、则实数的取值范围是_【答案】【解析】将的图象向左平移1个单位，得到函数的图象，即研究直线与函数的图象交点的个数，而函数在定义域上为奇函数；又，所以曲线在定义域上单调递增，且在处的切线方程为，如图，当时，；当时，综上，实数的取值范围是故答案为【名师点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解；有时需要借助导数的方法判定函数单调性，根

16、据导数的几何意义求切线的斜率34已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为 当时， 若对任意，不等式恒成立，则正整数的最大值为_【答案】2【解析】因为定义在上的函数关于轴对称，所以函数为上的偶函数，令，则，因为当时，即，所以在单调递增，不等式恒成立，即，即，所以，当时，则，可得在单调递减，在单调递增，所以，所以，此时最大的正整数为2，对于时，恒成立，综上所述：正整数的最大值为2，故答案为2【名师点睛】本题的关键点是构造函数，利用导数判断出在单调递增，不等式恒成立即，利用单调性可得，再分类参数求最值35已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】由题意，不等式可化为，当时

17、，恒成立；当时，不等式可化为，令，则，求导得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则，综上所述，实数a的取值范围是【名师点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为，通过构造函数，令，可求出a的取值范围考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题36函数与（，为常数）的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围为_【答案】【解析】由已知，可得有两个不等实根，即有两个不等实根设，则，当时， ，故在上单调递减；当时， ，故在上单调递增，所以，函数的图象，如图所示：由图象可得故答案为【名师点睛】函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象

18、，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一37已知函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则实数的取值范围是_【答案】【解析】设，则，由，解得，当时，函数为增函数，当时，函数为减函数当时，函数取得极大值也是最大值为（）方程化为解得或如图画出函数图象：可得的取值范围是38设函数若关于的不等式有且仅有一个整数解，则正数的取值范围是_【答案】【分析】求导并判断函数的单调性，可画出的图象，由过定点，要使不等式有且仅有一个整数解，只需，求解即可【解析】由题意，当时，此时单调递减；当时，此时单调递增，当时，当时，且时，作出函数的图象，如下图所示，直线过定点，要使不等

19、式有且仅有一个整数解，只需，解得故答案为【名师点睛】本题考查根据不等式整数解的个数，求参数取值范围，解题的关键在于构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题39已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】当时，显然恒成立，此时；当时，等价于；当，等价于构造函数，求导得，当时，此时函数单调递减，且，只需，即可满足恒成立；当时，此时函数单调递减；当时，函数单调递增，所以在上的最小值为，只需，即可满足恒成立综上，实数需满足，即故答案为40已知一个圆柱的轴截面是周长为12米的长方形，则满足这个条件的圆柱的最大

20、体积是_立方米【答案】【分析】设圆柱的高为，底面圆的半径为，可得，圆柱的体积，构造函数，求导并判断单调性，可求出最大值，即可求出答案【解析】设圆柱的高为，底面圆的半径为，则，即，由，可得，圆柱的体积，将代入，可得，构造函数，求导得，则时，函数单调递增；时，函数单调递减，所以的最大值为即时，该圆柱的体积最大，最大体积是立方米故答案为41已知函数，若任意，存在，使，则实数的取值范围是_【答案】【分析】根据题意得存在，使得成立，即存在能成立，令，则只需使，最后根据函数单调性求函数最值即可得答案【解析】因为 ，所以在上单调递增，；根据题意可知存在，使得即能成立，令，则要使在能成立，只需使，又在上恒成立

21、，则函数在上单调递减，即实数的取值范围是42已知函数，总存在使得成立，则实数a的取值范围是_【答案】【分析】分离参数得，构造函数，利用导数讨论其单调性，求出其最大值即可【解析】由，则，分离参数得，令，则总存在使得成立等价于，令，则，单调递减，单调递减，故答案为43若方程有实数解，则实数的取值范围是_【答案】【分析】先将方程可化为；再令 ，用导数的方法研究其最值，即可得出结果【解析】方程可化为；令，则 ，所以，（1）当时，恒成立，即在上单调递减，因此，当时，；（2）当时，由得，；由得，；所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又，因此，当时，综上可得，实数的取值范围是44若函数存在唯一的零点，

22、且，则实数的取值范围是_【答案】【分析】分类讨论、，结合的导函数研究单调性，确定存在唯一的零点且时的取值范围【解析】当时，有两个零点，不合题意；当时，由解析式知，所以时，则在、上单调递增；则在上单调递减；而，则此时在上存在零点，不合题意；时，则在上单调递增；则在、上单调递减；要使存在唯一的零点且，则有，解得，综上有：，故答案为45设点在曲线上，在直线上，则的最小值_【答案】【分析】当曲线在点处的切线与直线平行时，最小，最小值为切线与直线之间的距离，即切点到直线的距离，先根据导数的几何意义求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式进行求值【解析】函数的定义域为，求导得，当曲线在点处的切线与直线平行时

23、，最小，最小值为切线与直线之间的距离，即切点到直线的距离设，由导数的几何意义，可得，解得（舍去），故切点为，点到直线的距离所以的最小值为【名师点睛】本题考查利用导数的几何意义研究曲线上某点的切线方程，需要注意：（1）已知切点求斜率，即求该点处的导数值：；（2）已知斜率，求切点，即解方程；（3）已知过某点(不是切点)的切线斜率为时，常需设出切点，利用求解46设直线，分别是函数，图象上点，处的线，与垂直相交于点，且，分别与轴相交于点，的面积的取值范围是_【答案】【解析】由题意可知，且明显地，分别在分段函数的两段上，设，且， ，即，方程为；方程为， ，联立可得点横坐标为，且在上单调递减， ，即的面积

24、的取值范围为47设a，b为实数，对于任意的a2，关于x的不等式x(e为自然对数的底数)在实数域R上恒成立，则b的取值范围为_【答案】【解析】由已知得，当时，x显然成立，当时，对于任意的a2，关于x的不等式x在实数域R上恒成立，由x，令，则，易知，当时，单调递增；当时，单调递减；，又由a2得，所以，b的取值范围为48已知函数，若不等式有且仅有一个整数解，则实数a的取值范围为_【答案】【分析】由题意可变形转化为，有且仅有一个整数解，令可知函数在处取得最大值，由，及函数图象可知， ，进而得到答案【解析】由不等式，可得，即有且仅有一个整数解，令，则，显然，则时，所以单调递增，当时，故单调递减，所以函数

25、在时取得最大值，作函数的大致图象如下，由及函数图象可知，要使，有且仅有一个整数解，则需，即，故答案为【名师点睛】通过转化思想，变为有且仅有一个整数解，利用导数研究函数增减性，可得大致图象，结合图象，理解满足时，不等式有且只有一解，培养了学生的转化思想、数形结合思想及推理能力与计算能力，属于难题49已知函数，若在上恒成立，则正实数的取值范围为_【答案】【分析】先分析的单调性，然后将问题转化为在上恒成立，再利用导数采用分类讨论的方法求解出的取值范围【解析】，令，所以，所以在上单调递增，因为在上单调递减，所以在上单调递增，因为，所以在上恒成立在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上恒成立，设，所以，且，

26、当时，所以在上递增，所以，满足；当时，令，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，这与矛盾，所以不满足，综上可知，故答案为【名师点睛】利用导数求解参数范围的两种常用方法：（1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围；（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范围最后取并集50已知与的图象有且只有两个不同的公共点，其中为自然对数的底数，则的取值范围是_【答案】【解析】由题意得，问题转化为有两个不同的实根，因为由函数与的图象可知，它们有一个交点，其横坐标满足，且当，即时，方程无解

27、，不满足题意，所以当时，方程等价于，令，则，所以由，得，函数的单调递增区间为；由得或，即函数的单调递减区间为和，所以当时，函数取得极小值，又当从左到右无限趋近于时，当从右到左无限趋近于时，且当时，由此可作出函数的大致图象，如图所示，则由图易知，当函数与函数有两个交点，即方程有两个不同的实数根时，的取值范围为【名师点睛】解题的关键在于，利用参变分离法，把问题转变为，然后，令，最后利用导数讨论其图象，本题的难度比较大，考查学生的转化化归思想和数形结合的运用51已知函数，若恒成立，则a的取值范围是_【答案】【解析】若，则，当时，显然成立；当时，则，因为当时，所以只需满足即可，令（），则，则时，所以在

28、上递减，当时，则在上递增，所以，所以，令（），则，令，得（舍）或，则当时，；当时，所以函数在上递增，在上递减，所以，故，综上所述：故答案为【名师点睛】本题考查根据不等式恒成立问题求参数的取值范围问题，考查学生分析问题、转化问题的能力，考查参变分离思想的运用，考查利用导数求解函数的最值，属于难题解决此类问题的方法一般有以下几种：（1）作出函数的图象，利用数形结合思想加以研究；（2）先进行参变分离，然后利用导数研究函数的最值，即可解决问题，必要时可以构造新函数进行研究52已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】当时，单调递减，；当时，成立，单调递增，所以的值域为设的值域为，

29、因为存在，使得成立，所以，任意，成立，在单调递增，所以，因为，所以，；，任意，成立，在单调递减，所以，则，不合题意；，令，在递减，递增，所以，又，则，不合题意综上所述，53已知函数，若函数有3个不同的零点，且，则的取值范围是_【答案】【分析】根据导数可求得的极小值为，由题可得函数的零点即方程和的根，讨论和时可求得结果【解析】，时，时，的极小值为令，即，解得方程两根为和，函数的零点即方程和的根函数有3个不同的零点需满足：当时，且，；当时，且，综上：的范围为54函数，当时，恒成立，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】，由题意得，令，则当时，单调递减；当时，单调递增，的最小值为又，即，在区间为减函

30、数，当时，又当，时，故恒成立，因此a的取值范围是55若对任意的正实数，均有恒成立，则是实数的最小值为_【答案】【解析】由，可知当时，且，令，在单调递减，在单调递增，所以在上单调递增，时，而，所以，设，当，单调递增，当，单调递减，所以，故答案为二、双空题56过原点作曲线的切线，则切点坐标为_，切线方程为_【答案】（e，1） x-ey=0 【解析】设切点坐标为，因为，所以，因为切线过原点，所以切线的斜率为，解得， ，所以切点坐标为，切线方程为，即x-ey=0，故答案为； x-ey=057已知函数和点，则导数_；的图象在点处的切线的方程是_【答案】 【解析】因为，所以，因为，所以的图象在点处的切线的

31、方程是，即，故答案为；58已知函数，函数的图象在点处的切线方程为_；若关于的不等式有正整数解，则实数的取值范围是_【答案】 【解析】因为，所以，所以函数的图象在点处的切线斜率为，所以函数的图象在点处的切线方程为；由两边取以为底的对数，则，即，因为关于的不等式有正整数解，即有正整数解，所以，则，又由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减，又，所以，因此为正整数时，即是最大值；为使关于的不等式有正整数解，只需，解得故答案为；【名师点睛】由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，

32、直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，可得出结果59已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则与的关系为_(用表示)，若函数在区间上单调递增，则的最大值等于_【答案】 【解析】由题意，函数，可得，所以，即函数的图象在点处的切线的斜率为又由函数的图象在点处的切线与直线垂直，所以，可得，即与的关系为；又由函数在区间上单调递增，可得在区间上恒成立，即在区间上恒成立，整理得在区间上恒成立，又由，所以，解得，所以的最大值等于故答案为，【名师点睛】对于已知函数的单调性求参数问题：（1）已知可导函数在区间上单调递增，转化为区间上恒成立；（2）已知可导函数在区间上单调递减，转化为区间上恒成立；（3）已知可导函数在区间上存在增区间，转化为在区间上有解；（4）已知可导函数在区间上存在减区间，转化为在区间上有解60已知函数（1）的零点是_；（2）若的图象与直线有且只有三个公共点，则实数的取值范围是_【答案】1和 【解析】（1）由，当时，当时，令有（2）画出的图象有因为过定点(0，1)，要使的图象与直线有且只有三个公共点，则，当时，函数的导数，函数在点(0，1)处的切线斜率，此时直线和只有一个交点当时