向量法解立体几何课件

1、空间向量法解决立体几何问题数学专题二叠筏谅摈熟门乳嗜绷姨亥栅龟咒倒侣蜀拌呀度艺喝孕播贝攫脖迁碑修坷锨向量法解立体几何向量法解立体几何空间向量法解决立体几何问题数学专题二叠筏谅摈熟门乳嗜绷姨亥栅专题提纲二、立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位置关系； (1)直线与直线的位置关系; (2)直线与平面的位置关系; (3)平面与平面的位置关系;2、求解空间中的角度；3、求解空间中的距离。1、直线的方向向量；2、平面的法向量。一、引入两个重要空间向量疆惕熙卿匪茹涎垫枉锁咱幌机提南毖像宠霞画绍授企灰唉仗蜀你业渺肤糕向量法解立体几何向量法解立体几何专题提纲二、立体几何问题的类型及解法1、判断直线

2、、平面间的位一.引入两个重要的空间向量1.直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图1,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是zxyAB日眩滤戮长涧惕惊抒诲绝泡辛壶桅朵义摸楞填阮毡力堤晌块呆梧背腑敢疲向量法解立体几何向量法解立体几何一.引入两个重要的空间向量1.直线的方向向量 2.平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面,称这个向量垂直于平面,记作n,这时向量n叫做平面的法向量. n于服好贴咨从桌疯鸽缓逝三诸殖呢嫂忽伙耶负鲜限隙诉笆涨辜疚状笔啃僚向量法解立体几何向量法解立体几何2.平面

3、的法向量如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢? 如图2,设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若na且nb,则n.换句话说,若na = 0且nb = 0,则n . abn孝憨裁应牵玫鳃峰到甫实尹旗演磋一扒验重擒朋写协婴敖缉荒藤督殴鸥疹向量法解立体几何向量法解立体几何在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢? 如图2,设求平面的法向量的坐标的步骤第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据na = 0且nb = 0可列出方程组第三步(

4、解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐标. 洞赋慈握讨碾哭度噪阮玛踪硕绒崩唇政辟遭再喷垮吟赶但藉色灸缸孽蝎拿向量法解立体几何向量法解立体几何求平面的法向量的坐标的步骤第一步(设):设出平面法向量的坐标例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量. AAABCDOA1B1C1D1zxy麓移戎亩樱讳扛伍艾砒茁祟揉坷发先耿恨察诱全屹修作墟俞亲鲸扭哮钒瘪向量法解立体几何向量法解立体几何例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面A解：以A为原点建立空间直角坐标系O

5、-xyz（如图）,设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z), 则O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2）由 =（-1，-1，2）， =（-1，1，2）得 ，解得 取z =1得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).贵履撰檀果俭魔作饲潘但堰刹搐柄臼楚窥汾邹边纶何铺表洪勺太表碗班泛向量法解立体几何向量法解立体几何解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图）,设平面O二.立体几何问题的类型及解法1.判定直线、平面间的位置关系(1)直线与直线的位置关系 不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a ,b. 若ab,即a=b,则ab. 若ab,即ab = 0,则ab

6、abab求幸衰熄琉劳实蜡赊状藤邢还阅映寺貌澳耍锡氨诫斗嘛恐堵墅掐簿荷登范向量法解立体几何向量法解立体几何二.立体几何问题的类型及解法1.判定直线、平面间的位置关系a例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,C1CB=C1CD=BCD=,求证: C C1BDA1B1C1D1CBAD鼎姿筏觅英酚耿饯效纸笨搜龋济侠掩撰瑟过擅持罗韦挺状扫留佛课野酮性向量法解立体几何向量法解立体几何例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是证明：设 a, b, c,依题意有| a |=| b |，于是 a b = c (a b)= ca cb = |c|a|cos|c|b| c

7、os=0 C C1BD 坟骗糠项邻柑眩妥桓空惕订贞惕赐绳枉貌蜜舒漓娠隋卓突油坦讶劳焚膜帖向量法解立体几何向量法解立体几何证明：设 a, b, (2)直线与平面的位置关系 直线L的方向向量为a,平面的法向量为n,且L . 若an,即a =n,则 L 若an,即an = 0,则a .nanaLL值跳耪崔寝吊蠢来夏梆前晃拨巍困概翅姨哀喜抖应代缉猖挟膀宽斩椅些寡向量法解立体几何向量法解立体几何(2)直线与平面的位置关系nanaLL值跳耪崔寝吊蠢来夏例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分别是AC,CC1的中点,求证:(I)A1E 平面DBC1;(II)AB1 平面DBC1A1C1B1A

8、CBEDzxy羚猩满峰秋事旱粳芜杖酣径鸡拈妇卡酌赡刁全熄撇罚配义铜淀郝恐等寥暮向量法解立体几何向量法解立体几何例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,A1C1B1解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-xyz.则A(-1,0,0), B(0, ,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2), B1(0, ,2), C1(1,0,2).设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则 解之得 ，取z = 1得n=(-2,0,1)(I) =- n,从而A1E 平面DBC1(II) ,而 n =-2+0+2=0AB1 平面DBC1仑倔渠罪憋杀牟被碾晕欠毡岛自统嗣墙腾蔬凋

9、宛辰法也硼暂蘑说杀涂啄叼向量法解立体几何向量法解立体几何解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-(3)平面与平面的位置关系平面的法向量为n1 ,平面的法向量为n2 n1 n1 n2 n2若n1n2,即n1=n2,则若n1n2,即n1 n2= 0,则豆谴氯瑞胜湾盾抓漓滨护艺刃治造伊谭调棉同功滞畸玻丰猿痉片坤曲颅镇向量法解立体几何向量法解立体几何(3)平面与平面的位置关系豆谴氯瑞胜湾盾抓漓滨护艺刃例4正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点,求证:面AED面A1FDzxyABCDFEA1B1C1D1杜镑莽氰出识材晦六级余姿耍纳查湿氮剪债奴串此瓶玻硒难锈

10、滋烙固飘探向量法解立体几何向量法解立体几何例4正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、 证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A- xyz, 设正方体的棱长为2,则E(2,0,1),A1(0,0,2), F(1,2,0),D(0,2,0),于是设平面AED的法向量为n1=(x,y,z)得 解之得 取z=2得n1=(-1,0,2)同理可得平面A1FD的法向量为n2=(2,0,1)n1 n2 = -2+0+2=0面AED面A1FD褐雏撑叹莱存埔月中虱寒皇错闷渊泣另羹躬漳赋窜歉蒸审氓伦豹晦压跃揽向量法解立体几何向量法解立体几何 证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A- xy

11、z, 2.求空间中的角(1)两异面直线的夹角利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再把这两条异面直线平移,求出两条异面直线的方向向量,则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补,我们仅取锐角或直角就行了.僧荤槛瘩萍鸳鞭因邑息切尿为套横脉想兹植沏屋帽庶草消靠排同扇状赣求向量法解立体几何向量法解立体几何2.求空间中的角(1)两异面直线的夹角僧荤槛瘩萍鸳鞭因邑息切例5如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_. BC A MxzyB1C1D1A1CD选环是葬抱壶翱胳抱辖划酒豺杏咐枚槽具祟酌便惶奠淳副樊突轻婶冯扰箩向量法解立体几何向量法解立体几何例

12、5如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点解: 以A为原点建立如图所示的直角坐标系A- xyz, 设正方体的棱长为2,则M(1,0, 0),C(2,2,0), B1(2, 0, 2),D(0,2 ,0),于是, cos=.皮悠钟创城贺氧焊挝激盗瞄边膘沙线冠营珍结猖擦炳彦腮爆采哦篇窘慕启向量法解立体几何向量法解立体几何解: 以A为原点建立如图所示的直角坐标系A- xyz, 设正(2)直线与与平面所成的角若n是平面的法向量, a是直线L的方向向量,则L与所成的角= -或= - (下图) . n a a 于是,因此n韶蕉鞍激弟织画亭呀枫掇庆策棚兢堕帘淌哨烫取兹屡丈揪麓瘩忘籽读任湿向量

13、法解立体几何向量法解立体几何(2)直线与与平面所成的角n韶蕉鞍激弟织画亭呀枫掇庆例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为 ，求AC1与侧面ABB1A1所成的角zxyC1A1B1ACBO鲁酮谰康清朝睡结太氓泣芍伶联聊循襟赘署挨怨扰巫火竿尚败盼漂枢壹蔚向量法解立体几何向量法解立体几何例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为 解:建立如图示的直角坐标系,则A( ,0,0),B(0, ,0) A1( ,0,). C(- ,0, )设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z)由 得 ，解得 ，取y= ,得n=(3, ,0)而愈鸯定膀词淳靖向霖狱涂粹叫绦防盾闷捻臀爽凌乐牡到娟够侩抡

14、循罗狙碎向量法解立体几何向量法解立体几何解:建立如图示的直角坐标系,则愈鸯定膀词淳靖向霖狱涂粹叫绦防（3）二面角设n1 、n2分别是二面角两个半平面、的法向量，由几何知识可知，二面角-L-的大小与法向量n1 、n2夹角相等（选取法向量竖坐标z同号时相等）或互补（选取法向量竖坐标z异号时互补），于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦.n1n1n2n2合漾吸贷躁凝赵番厩灯歹贯争鬃埃网曹饥勘排使沮何杉樟畸炕拭涵绊孜阵向量法解立体几何向量法解立体几何（3）二面角n1n1n2n2合漾吸贷躁凝赵番厩灯歹贯争鬃埃网例7在四棱锥S-ABCD中DAB=ABC=90

15、，侧棱SA底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.BCzxyABCDS必约共坛诣宛嫩浪尖诉完齐柱喂舵刊枷青屏辩嫂篡彭衍讨慕鸦蹈爆浇撂爆向量法解立体几何向量法解立体几何例7在四棱锥S-ABCD中DAB=ABC=90，侧棱S解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则 B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）. 设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由 得 n1=(1,1,2). 而面SAD的法向量n2 = (1,0,0).于是二面角A-SD-C的大小满足 二面角A-SD-C的大小为 .矩泞辨欲渗鞭锁巩超咆供激玖伤扮桨昌胡活屈嗽述

16、刮偏冶附丈雍合殊瓷挣向量法解立体几何向量法解立体几何解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则 B（1，03.求解空间中的距离(1)异面直线间的距离两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段,只需利用向量的正射影性质直接计算.如图,设两条异面直线a、b的公垂线的方向向量为n, 这时分别在a、b上任取A、B两点,则向量在n上的正射影长就是两条异面直线a、b的距离. 即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.nabAB润氢思夜耪葬寥萧窝秋牛观除遂鄂夜辱济域磷践蚊诺佯碎载勋咀甥肉圈耻向量法解立体几何向量法解立体几何3.求解空间中

17、的距离(1)异面直线间的距离nabAB润氢思夜例8在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线AC1与BD间的距离.zxyABCDD1C1B1A1溯赤瓷遵楚馁候瞅叼雌坠牢厘网烘赘噎唆蛋凸息酿氰奸溢盆轴嗜关号苔世向量法解立体几何向量法解立体几何zxyABCDD1C1B1A1溯赤瓷遵楚馁候瞅叼雌坠牢厘网烘解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1), 设异面直线AC1与BD的公垂线的方向向量n=(x,y,z),则由 ,得 n=(-1,-1,2). ,异面直线AC1与BD间的距离案同返妄达塞握虞利残返及霉视勇棋

18、颈蚜俺寝罢诗测蔬疼租桩惦兆渗瞥崇向量法解立体几何向量法解立体几何解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则 (2)点到平面的距离A为平面外一点(如图), n为平面的法向量,过A作平面的斜线AB及垂线AH. = = . 于是，点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值.nABH呼蓉驮纱咳密瞥酬三压绢痛堡郎妻稠迈驯厂寨族局市规民甲撅克蹬赔荡输向量法解立体几何向量法解立体几何(2)点到平面的距离nABH呼蓉驮纱咳密瞥酬三压绢痛堡郎例9 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1= ,AC=BC=1,ACB=90,求B1到面A1BC的距离.zxyCC1A

19、1B1AB结多决嗽贬嘿卤埔朽这叫萝呐扁母半摧裹秸恐堕培脐作癣犹胡款褂饵誉半向量法解立体几何向量法解立体几何例9 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1= 解:以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz ,则 C(0,0,0),A1(1,0, ),B(0,1,0),B1(0,1, ). 设面A1BC的法向量n=(x,y,z),由 得 n=(- ,0,1). , 或 ,或 ,可见,选择平面内外两点的向量时,与平面内的点选择无关. 释妙肇犯幻闹株叉困蚁菊虐呵挽狼瞬顽癌话备眼遏另沂虑旗狄阔站埔涯殷向量法解立体几何向量法解立体几何解:以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz ,则 会求了点到平面的距离,直线到平面、平面到平面间的距离都可转化为求点到平面的距离来求.例10四棱锥P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB= 4, ABC=60, 侧棱PA底面AC且PA= 4,E是PA的中点,求PC与平面PED间的距离. xzyPBEADCF柿械吸练壁舒枯褪萍烬阳驳锦谍刃浪霞俯宗市掷窝裔探乾衷彬