理论力学十四虚位移原理

1、理论力学十四虚位移原理第1页，共25页，2022年，5月20日，16点59分，星期四广义坐标与自由度yxOlA(x, y)yxOA(x1, y1)B(x2, y2)ab广义坐标 确定质点系位形的独立参变量。第2页，共25页，2022年，5月20日，16点59分，星期四广义坐标 确定质点系位形的独立参变。用 q1，q2，表示。自 由 度 在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变量的数目等于系统的自由度数。对于稳定的完整约束，各质点的坐标可以写成广义坐标的函数形式N=3ns 第3页，共25页，2022年，5月20日，16点59分，星期四做变换其中 是广义坐标。考虑如图所示不计摩擦的二自由度系统，

2、参数定义坐标 后，可得系统运动方程：可得解耦的等价系统：它有更清晰的物理意义。第4页，共25页，2022年，5月20日，16点59分，星期四约 束物体运动所受到的限制1. 几何约束与运动约束yxOAA0l几何约束在质点系中，几何约束只能限制各质点在空间的位置或质点系的位形。摆14-1 约束虚位移虚功第5页，共25页，2022年，5月20日，16点59分，星期四运动约束在质点系中，所加的约束不仅限制各质点在空间的位置，还限制它们运动的速度。OyxAxByBxAyABvA圆轮只滚动不滑动的约束导弹运动方向的约束COyxC*第6页，共25页，2022年，5月20日，16点59分，星期四2. 定常约束

3、与非定常约束定常约束约束方程中不显含时间的约束：非定常约束约束方程中显含时间的约束：yxvOM第7页，共25页，2022年，5月20日，16点59分，星期四3. 单侧约束与双侧约束双侧约束（固执约束） 约束方程可以写成等式的约束。单侧约束（非固执约束） 约束方程不能写成等式、但是可以写成不等式的约束。BByxOyxO双侧约束单侧约束第8页，共25页，2022年，5月20日，16点59分，星期四yxOyxOAAA0lA0l双侧约束单侧约束第9页，共25页，2022年，5月20日，16点59分，星期四4. 完整约束与非完整约束完整约束 约束方程不包含质点速度，或者包含质点速度但约束方程是可以积分的

4、约束。非完整约束 约束方程包含质点速度、且约束方程不可以积分的约束。第10页，共25页，2022年，5月20日，16点59分，星期四约束方程不可积分，所以导弹所受的约束为非完整约束。圆轮所受约束为完整约束。COyxC*OyxAxByBxAyABvA可以积分为：第11页，共25页，2022年，5月20日，16点59分，星期四虚位移xyOBAMF质点系在给定瞬时，为约束所允许的无限小位移虚位移（1）虚位移是假定约束不改变而设想的位移；（2）虚位移不是任何随便的位移，它必须为约束所允许；（3）虚位移是一个假想的位移，它与实位移不同；（4）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。第12页，共25页，

5、2022年，5月20日，16点59分，星期四 虚位移与实位移的区别和联系（1）在完整定常约束下，实位移是诸多虚位移中的一个；MM1drdrerdr 实位移 r 虚位移实位移质点或质点系在其真实运动中，在一定的时间间 隔内发生的位移。（2）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。第13页，共25页，2022年，5月20日，16点59分，星期四虚功 质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功虚功。 W = F r 理想约束 质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们把这种约束系统称为理想约束。 W = M FNi ri = 0第14页，共25页，2022年，5月20日，16点59分，星期

6、四FiFNim1m2mi riFi 主动力FNi约束反力 ri虚位移Fi + FNi = 0Fi ri + FNi ri = 0Fi ri + FNi ri = 0FNi ri = 0 Fi ri = 0 对于具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用于质点系的主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零虚位移原理14-2 虚位移原理第15页，共25页，2022年，5月20日，16点59分，星期四 Fi ri = 0 上式称为虚位移原理的解析表达式 应用虚位移原理解题时，主要是建立虚位移间的关系，通常采用以下方法： （1）通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系； （2）建立坐标系，选广义坐标，然

7、后仿照函数求微分的方法对坐标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。第16页，共25页，2022年，5月20日，16点59分，星期四已知：OA=r , AB=l, 不计各杆质量。求： 平衡时F与M 间的关系。BAO解： 取系统为研究对象 Fi ri = 0 由运动学关系可知：MF例14-1第17页，共25页，2022年，5月20日，16点59分，星期四CBADM已知：菱形边长为a , 求： 物体C所受到的压力。螺距为h，顶角为2 ，主动力偶为M.FNrArC解： (1) 取系统为研究对象(2) 建立虚位移间的关系例14-2第18页，共25页，2022年，5月20日，16点59分，星期四xy

8、CBADMFN解法二： 取建立图示坐标系第19页，共25页，2022年，5月20日，16点59分，星期四rCOABCDPQ图示操纵汽门的杠杆系统，已知OA/OB = 1/3，求此系统平衡时主动力P 和Q 间的关系。rBrA解： (1) 取系统为研究对象由运动学关系可知：例14-3第20页，共25页，2022年，5月20日，16点59分，星期四图示系统中除连接H点的两杆长度为l 外, 其余各杆长度均为 2l, 弹簧的弹性系数为k, 当未加水平力 P 时弹簧不受力，且 = 0 ，求平衡时水平力P 的大小。解： (1) 建立图示坐标系(2) 系统的虚功方程例14-4第21页，共25页，2022年，5月20日，16点59分，星期四(2) 系统的虚功方程第22页，共25页，2022年，5月20日，16点59分，星期四求图示连续梁的支座反力。PMqll2lABCD解： (1) 解除D处约束，代之以反力FD ，并将其视为主动力。PMqABCDFDsEsD其中解得例14-5第23页，共25页，2022年，5月20日，16点59分，星期四(2) 解除B处约束，代之以反力FB ，并将其视为主动力。FBsBsCPMqABCD其中解得sE由虚功方程