电与磁的相互作用

1、电与磁的相互作用第1页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四 8-1 8-2 电磁感应及其基本规律 一、电磁感应现象 (electromagnetic induction phenomenon) 1. 磁场相对于线圈或导体回路改变大小和方向 2. 线圈或导体回路相对于磁场改变面积和取向 实验表明，磁场相对于线圈或回路改变大小或方向，会在回路中产生电流，并且改变得越迅速，产生的电流越大。 实验表明，导体回路相对于磁场改变面积和取向会在回路中产生电流，并且改变得越迅速，产生的电流越大。 第2页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四 只要穿过导体回路的磁通量发生变

2、化，该导体回路中就会产生电流。 由磁通量的变化所引起的回路电流称为感应电流。在电路中有电流通过，说明这个电路中存在电动势，由磁通量的变化所产生的电动势称为感应电动势。 电流与电动势相比，电动势具有更根本的性质。 当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中必定产生感应电动势。把由于磁通量变化产生感应电动势的现象，统称为电磁感应现象。第3页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四二、电磁感应定律(electromagnetic induction law) 和 都是标量，其方向要与预先设定的标定方向比较而得；规定两个标定方向满足右螺旋关系 1. 法拉第电磁感应定律 如果回路有n匝线圈

3、，各匝为1,2,n，那么 =1 + 2 + + n 导体回路中感应电动势的大小与穿过该回路的磁通量的时间变化率成正比。如果每匝 都相等于，则 n第4页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四 2. 楞次定律(Lenz law) 闭合回路中感应电流的方向，总是使得它所激发的磁场阻碍引起感应电流的磁通量的变化的。感应电流的效果总是反抗引起感应电流的原因的。 楞次定律的后一种表述可以方便判断感应电流所引起的机械效果的问题。“阻碍”或“反抗”是能量守恒定律在电磁感应现象中的具体体现。 磁棒插入线圈回路时，线圈中感应电流产生的磁场阻碍磁棒插入，若继续插入则须克服磁场力作功。感应电流所释放

4、出焦耳热，是插入磁棒的机械能转化来的。 第5页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四三、感应电动势(induction electromotive force) 导体在磁场中运动所产生的感应电动势。 作用于自由电子的洛伦兹力f=evB是提供动 生电动势的非静电力，该力所对应 的非静电性电场就是作用于单位正 电荷的洛伦兹力。1. 动生电动势 ababf在运动导体上产生的动生电动势为 注意：不要求回路；在磁场中运动的导体；导线运动必须切割磁感应线。 第6页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四对电荷有作用力。 若有导体存在能形成电流。 感生电场电场线不是有头有尾

5、，是闭合曲线。对电荷有作用力。 若有导体存在能形成电流。静电场电场线起于正电荷止于负电荷，是有头有尾的曲线。保守力、保守场。非保守力、有旋场。 2. 感生电动势 导体不动，而由于磁场的大小或方向变化所产生的感应电动势，称为感生电动势。变化的磁场能够在空间激发一种电场，称为涡旋电场或感应电场，不是保守场，是非静性电场，产生感生电动势。 由变化的磁场激发。由静止的电荷激发。第7页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四 一般情况下空间可能同时存在静电场EC和涡旋电场EW，总电场E = EC +EW , 称为全电场。 若用EW表示涡旋电场的电场强度，W为闭合回路中产生的感生电动势 感

6、生电动势的产生同样不要求电路闭合，对于处于涡旋电场EW中的一段导线ab中产生的感生电动势可以表示为 第8页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四全电场的环路积分为 根据矢量分析的斯托克斯定理见附录(二)，应有 涡旋电场在变化磁场周围空间产生，不管是真空、电介质还是导体；但感生电动势必须在导体中才能产生，同样不要求导体是闭合电路。 电磁感应定律的微分形式第9页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四LO例 1: 长为L的导体棒在垂直于均匀磁场的平面上以角速度 沿逆时针方向作匀速转动， 求感应电动势？或者用法拉第电磁感应定律Bdl解: l 处取棒元dl,由动生电动

7、势公式动生电动势的方向由端点指向圆心, O点带正电。l第10页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四例2：半径为R的柱形区域匀强磁场，方向如图。 磁感应强度B的大小正以速率(=dB/dt)在增加，求空间涡旋电场的分布。 解: 取沿顺时针方向作为感生电动势和涡旋电场的标定方向，磁通量的标定方向则垂直于纸面向里。回路各点上EW的大小都相等，方向沿圆周的切线。解得: EW =负号表示涡旋电场实际方向与标定方向相反，即沿逆时针方向。 2rEW = r2BROr在rR区域作圆形回路，磁通量为=R2B 可见，虽然磁场只局限于半径为R的柱形区域，但所激发的涡旋电场却存在于整个空间。积分得

8、方向也沿逆时针方向。BROrr代入第12页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四例3：金属杆以速度v平行于长直导线移动，求杆中的感应电流多大，哪端电势高？解:建立坐标系如图，取积分元dx , 由安培环路定理知在dx处磁感应强度为：x因为： dx处动生电动势为金属杆电动势式中负号表明左端电势高。vdLIdx第13页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四例4：求在均匀变化的磁场中铝圆盘内的感应电流。drrB 与盘面垂直且dB/dt=kr 圆环电阻和感应电流为：整个圆盘上的感应电流为：解:取半径为r ，宽度为dr,高度为b 的圆环：bdrbadB/dt第14页，共

9、48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四例5：在半径为R 的圆柱形空间存在均匀磁场 B, 其随时间的变化率dB/dt 为常数， 求磁场中静止金属棒上的感应电动势。解：自圆心作辅助线，与金属棒构成三角形， 其面积为 S：过S的磁通量为该回路感应电动势所以以上结果就是金属棒的感应电动势。由于BRdB/dtoALS而辅助线上 的积分第15页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四 例6：电流为I=I0cos wt 的长直导线附近有一与其共面的矩形线框,其ab边可以速度v 无摩擦地匀速平动,设t=0时ab与dc重合,求线框的总感应电动势。解：设t 时刻I 0 , 空间磁场为

10、方向指向纸面，cb 边长为 l2= vt穿过线框的磁通量为：l2drIabcdl0l1v第16页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四 本题是既有感生电动势又有动生电动势的例子，上式中第一项为感生电动势，第二项为动生电动势。若令t 0，则仅有动生电动势一项。t 时刻的感应电动势为：第17页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四点击深色键返回原处(M.Faraday , 17911867)第18页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四19 8-3 互感和自感 一、互感现象 (mutual induction phenomenon) 互感现象：

11、一个线圈中电流发生变化会在周围空间会产生变化的磁场，使处于此空间的另一个线圈中会产生感应电动势。线圈2中产生感应电动势 12=M12I1；M12是线圈1对线圈2的互感系数，简称互感。 212I2I1B1B2第19页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四2012I2I1B1B2 在线圈的形状、大小和相对位置保持不变，且周围不存在铁磁质的情况下，互感M12为常量，上式化为2 = 同样通有电流I2的线圈2在空间产生磁场B2，B2在线圈1中产生的磁通量为21，并且21正比于I2，21 = M21 I2 , 电流I2变化，1中产生感应电动势1 = 2和1称为互感电动势，方向可按照楞次定

12、律确定。第20页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四21 互感单位是H(亨利)：1H=1WbA-1=1VsA-1, 多采用mH(毫亨)或H(微亨)：1H=103mH=106 H。 当线圈内或周围空间没有铁磁质时，互感M由线圈的几何形状、大小、匝数和相对位置所决定，若存在非铁磁质，还与磁介质的磁导率有关，但与线圈中电流无关；当线圈内或周围空间存在铁磁质时，互感除与以上因素有关外，还决定于线圈中的电流。 互感应用：无线电和电磁测量。电源变压器,中周变压器,输入输出变压器,电压互感器,电流互感器。 互感危害：电路间互感干扰。 理论和实验都可以证明 M21 = M12。第21页，共

13、48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四22二、自感现象 (self-induction phenomenon) 自感现象：当一个线圈中的电流变化时，激发的变化磁场引起了线圈自身的磁通量变化，从而在线圈自身产生感应电动势。 所产生的感应电动势称为自感电动势。 线圈中电流I发生变化，自身磁通量也相应变化，在线圈中将产生自感电动势。根据法拉第电磁感应定律，自感电动势 I1 过线圈的磁通量与线圈自身电流成正比：=LI ,L为自感系数，简称自感。第22页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四23 当线圈的大小和形状保持不变，且附近不存在铁磁质时，自感L为常量 自感应用：日

14、光灯镇流器；高频扼流圈；自感线圈与电容器组合构成振荡电路或滤波电路。 = 自感单位也是H (亨利)与互感相同。自感危害：电路断开时，产生自感电弧。 通电后，启辉器辉光放电，金属片受热形变互相接触，形成闭合回路，电流流过，日光灯灯丝加热释放电子。 同时，启辉器接通辉光熄灭，金属片冷却断开，电路切断，镇流器线圈中产生比电源电压高得多的自感电动势，使灯管内气体电离发光。 第23页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四24MDAB感应圈： 在实际应用中常用两个同轴长直螺线管之间的互感来获得高压。 如图中所示：在硅钢铁芯上绕有N1、N2 的两个线圈，且N2N1, 由断续器（MD) 将N

15、1与低压电源连接，接通电源后，断续器使N1中的电流反复通断，通过互感获得感应电动势，从而在次极线圈N2中获得达几万伏的高压。 例如：汽车和煤气炉的点火器、电警棍等都是感应圈的应用。第24页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四25 例1：如图所示，一长度为l的直螺线管横截面积为S，匝数为N1 。在此螺线管的中部，密绕一匝数为N2 的短线圈，假设两组线圈中每一匝线圈的磁通量都相同。求两线圈的互感。 解:如果在线圈1中通以电流I1，则在线圈中部产生的磁感应强度为磁场在线圈2中产生的磁通量为 所以两线圈的互感为 第25页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四26例

16、2：一长度为l、截面积为S的长直螺线管，密绕 线圈的总匝数为N，管内充满磁导率为的磁介质。求此螺线管的自感。 解：在长直螺线圈管内部的磁场可以认为是均匀的，并无限长螺线管内磁感应强度的公式通过每匝磁通量相等第26页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四27 单位长度上的匝数表示为n=N/l，将螺线管的体积表示V=Sl，则=n2I V所以螺线管的自感为 自感与线圈的体积成正比，与单位长度上匝数的平方成正比，还与介质的磁导率成正比。 总磁通量为 第27页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四28例3：求无限长直导线和矩形线框的互感系数。由互感系数的定义：对图（2

17、）：由于长直导线磁场的对称性，通过矩形线框的磁通量为零，所以它们的互感系数为零。（2） IbaLI （1）解：对图（1）有：第28页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四29K1BXK2 8-3B 磁场的能量 电容器充电以后储存了能量，当极板电压为U 时储能为：电场能量密度的一般表示式 从螺绕环磁场能量特例中导出磁场能量的一般表示式。 与此相似，磁场也具有能量。tiIOt0t1t2i(t)i (t)第29页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四30在从0到t0这段时间可以列出方程 +L=iR 上式两边同乘以idt得左边电源作的功，右边第二项回路中的焦耳热。右

18、边第一项是电源提供给螺绕环的磁场能量 。 dt时间内电源提供给螺绕环磁场能量为inlSdB，供给单位体积的磁场能量则为indB，根据安培环路定理即可求得环内的磁场强度为H=ni， 所以磁场能量密度为：自感电动势写为一般形式L = = idt=inlSdB+i2Rdt第30页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四31整个磁场的能量为 : 磁场能量密度的一般表达式，适用于真空和任何各向同性的磁介质。 对于各向同性的顺磁质和抗磁质，B=0rH 第31页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四32因为螺绕环的自感可表示为 L = n 2 l S , 磁场能量与电路自感

19、相联系称为自感磁能。 如果磁芯是用各向同性的顺磁质或抗磁质做成的，当电流达到稳定值I时，磁场能量为 电磁场的能量密度 电磁场的总能量:第32页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四33例1：同轴电缆两半径分为R1和R2，充满磁导率为的磁介质，内、外圆筒通有反向电流I。求单位长度电缆的磁场能量和自感系数。磁场能量也只储存在两圆筒导体之间的磁介质中。 解: 对于这样的同轴电缆，磁场只存在于两圆筒状导体之间的磁介质内，由安培环路定理可求得磁场强度的大小为 第33页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四34电缆自感只决定于自身结构和所充磁介质磁导率。 磁场能量密度为

20、 单位长度电缆自感 长度为l的一段电缆所储存的磁场能量为 第34页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四35一、位移电流(displacement current) 8-4 麦克斯韦电磁理论麦克斯韦认为高斯定理适用恒静和非恒静情况。 四个方程存在不对称性：变化磁场可以激发电场，变化的电场不具有与变化的磁场相当的地位。 不对称性与安培环路定理的局限性是同一个问题。 电场环路定理磁场的高斯定理安培环路定理 高斯定理第35页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四36 判断环路是否包围电流的标准，看电流与以该环路为边界的任一曲面是否有奇数个截点，若有，就认为环路包围

21、该电流，否则就不包围该电流。 电流恒定条件(即传导电流的连续性方程)保证穿过任意以L为边界的曲面的电流都等于传导电流I0 。 传导电流的连续性保证了安培环路定理在恒静情况下的正确性。 环路L包围电流I0(电流密度为j0)，对于以同一环路L为边界的任意两个曲面S1和S2必有 第36页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四37在非恒静情况下出现矛盾。电容器充电的情形。 在非恒静情况下，对于同一环路L得到了两个不同的结果。安培环路定律不适用。由于传导电流不连续导致非恒静条件下出现矛盾。 ABI 在电容器构成放电回路中由安培环路定理:S2 S1IL对曲面S1：对曲面S2：第37页，共

22、48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四38电流连续性方程 将高斯定理代入，得 整理改写为 麦克斯韦把 称为位移电流密度，把 称为全电流密度，分别用 jd和 j 表示，即 全电流的连续性，传导I与位移I 之和连续，传导I中断有等量位移电流接续。 第38页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四39传导电流要激发磁场，位移电流也要激发磁场。 适用于一般情况的安培环路定理 微分形式 右边第二项是极化电荷的变化引起的位移电流。第一项是电场变化贡献的位移电流，是位移电流的基本组成部分。真空中为位移电流的惟一成分。位移电流位移电流并不一定与电荷的移动相对应。 第39页，共48

23、页，2022年，5月20日，17点31分，星期四40例1：半径为R 的圆形平板电容器，充电时的传导电流为Ic ,求：1两极板间的位移电流。2极板间距离轴线为r 处的磁感强度。rRIcIc+Q-Q解: 以半径r 作平行于极板的圆形回路，两极板间电位移为D=，电位移通量：因为：所以：第40页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四41由全电流安培环路定理： 由于电容器极板间为空气，两板间距轴线为 r 的 p 点处磁感应强度：联立前两式得到：第41页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四42二、麦克斯韦方程组(Maxwells equations) 以上四个方程式是

24、普遍情况下电磁场所满足的基本方程式，称为麦克斯韦方程组。 电场环路定理磁场的高斯定理高斯定理安培环路定理 第42页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四43麦克斯韦方程组的微分形式是 麦克斯韦方程组是研究电磁场问题的可靠理论工具。 麦克斯韦方程组不仅适用于恒静的和缓变的电磁场，电磁波的实验事实表明，它对于快速变化的电磁场也是适用的。第43页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四44 处理具体问题时，会遇到电磁场与物质的相互作用，必须补充描述物质电磁性质的方程式 只适用于真空和各向同性的介质, 在各向异性的介质中不成立。麦克斯韦方程组边界条件D1n=D2n, E1t=E2t , B1n=B2t , H1t=H2t 。如果还存在非静电性电场K，则第44页，共48页，2022年，5月20日，17点31分，星期四45 麦克斯韦