7-1基于数值积分的数值方法第章

1、 a,中的离散点（称为节点）a a,中的离散点（称为节点）at1 t2 n1,N t0（通常取成等距，即 h0称为步长u(t1u(t2u(tN) 。通常称为初值问题的数值解u1,u2,u1,u2,h baNn0,1,2,h baNn0,1,2,anhn)f(t,nntnu(tn的近似值 un 项的数值积分可求出 u(tn1) 的近似值 一、Euler)一、Euler)f (t,u(t)dt u(tn)h f(tn,u(tnn1ntn令un hf(tn,unn0,1,2,N 例用Euleru(t)例用Euleru(t)u(0) 在 t 0.3处的数值解 u3（取步长 h的，小数点后保留4位）解h

2、 22nunnnnn由初值u解h 22nunnnnn由初值u(0) u 2u(0.1) 000 0.00.10.01000.0100u2 u(0.2) u 2111 100u2 u(0.3)u 22220.2 1002 u ft0 u ft0,u0u1 utu ft ,u ut0u021ft1,u1u(t )h ut ut 112tottt21NEuler法（）隐Eulert)u(t )f(t,u(隐Eulert)u(t )f(t,u(t)dt u(t )h fn1,nn令un h fn0,1,2,N f(t,u(t)dt hf(t ,u(t )f(t,u(t)dt hf(t ,u(t ) f

3、tn1,nnnn2thu(tn1) u(tn) f (tn,u(tn)f(tn1,u(tn12令hun f (tn,un) f (tn1,un1n0,1,2,un2式的计算量要大一些。每步计算要解一个关于 un1 的非u hf (t ,u ) fk式的计算量要大一些。每步计算要解一个关于 un1 的非u hf (t ,u ) fkkk 0,1,2,u,nnn2nhf)2u ) f ,nnn2k201u，u，u，ukkk*uu hf )k201u，u，u，ukkk*uu hf ) f*unnnn2为第n1un1knk1uunk的近似值 1u。校正系统u(t0) un hf(tn,unu h校正系

4、统u(t0) un hf(tn,unu hf,u ) fu,n2unu0u1 u1 u2 u2 uN u hf,u h f(t ,u ,u ) fun2f(tu(t) 关于uu(t)tuf(tu(t) 关于uu(t)tu un u，n0,1,2,n1nh21hun1 tn1unn5h1 hn0,1,2,unn2t2三、Simpsonf f(t ,u(t )4f,tf三、Simpsonf f(t ,u(t )4f,tf(t,u(t)dtn2,nn6tnu 2hf, f(t ,u ,)4f令un6h3fn fn2un2 u 4nfn f(tn,un f(tn2,un2 f(tn1,此为二步方法，需要已知 unun1的值。二步以上的方法也称为多步法局部截断误差、整体截断误u(ti) i0,1,2,局部截断误差、整体截断误u(ti) i0,1,2,n则定义 假设 R(h)u(t)nnnn步的局部截断误差nt点上utn1 Ri En(h)u(tn)nut(h)ut nnEn1toi1,2,nRi(h)i1,2,nRi(h)则nnnE (h)R)hO(hp1nhO(hp)nO(hp)nba O(hpn求解公式的求解公式的精度越高，计算解的精确性可能越好p阶精度求解公式的局部截断误差： R n (h) 求解公式的整体截断误差： (h) O(hp利用Taylor展开，求Eulerutnun1h