广东省深圳实验学校高中部2021-2022学年高二数学第二学期期末达标测试试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1对于实数，若或，则是的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为2

2、，则该抛物线的准线方程为ABCD3设6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为()A720B144C576D3244已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率是（ ）ABCD5若为虚数单位，则（ ）ABCD6某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为ABCD7若函数为奇函数，则ABCD8已知双曲线的左右焦点分别为，以线段为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为，若直线与圆相切，则双曲线的渐近线方程是（ ）A BC D9利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变成时，左边增加了（ ）A1项B

3、项C项D项10已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是ABCD11已知，表示两个不同的平面，l为内的一条直线，则“是“l”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件12在如图所示的计算的值的程序框图中，判断框内应填入ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13表面积为的球的体积为_14已知矩阵，则矩阵_.15若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 .16在复数集，方程的解为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在直角坐标系中，曲线的方程为.已知，两点的坐标分别为，.（1）求曲线的参数

4、方程；（2）若点在曲线位于第一象限的图象上运动，求四边形的面积的最大值.18（12分）已知集合，(1)分别求，；(2)已知集合，若，求实数a的取值集合19（12分）已知函数 ，(1)求 的图象在 处的切线方程并求函数 的单调区间；(2)求证： .20（12分）已知函数有两个不同极值点，且.（）求实数的取值范围；（）若恒成立，求实数的取值范围.21（12分）2017年3月智能共享单车项目正式登陆某市，两种车型“小绿车”、“小黄车”采用分时段计费的方式，“小绿车”每30分钟收费元不足30分钟的部分按30分钟计算；“小黄车”每30分钟收费1元不足30分钟的部分按30分钟计算有甲、乙、丙三人相互独立的

5、到租车点租车骑行各租一车一次设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为，三人租车时间都不会超过60分钟甲、乙均租用“小绿车”，丙租用“小黄车”求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；2设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望22（10分）已知函数讨论函数的单调性；当时，求函数在区间上的零点个数.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】分别判断充分性和必要性，得到答案.【详解】取 此时 不充分若或等价于且，易知成立，必要性故答案选B【点睛】本题考查了充分必要条件，举出反例和转化为逆

6、否命题都可以简化运算.2、B【解析】y2=2px的焦点坐标为,过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,=p=2,抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.故选B.3、C【解析】先求出6人站成一排，有多少种排法，再计算把甲、乙、丙3个人捆绑在一起，再跟剩下的3人排列，有多少种排法，这样就可以用减法求出甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数.【详解】求出6人站成一排，有种排法，把甲、乙、丙3个人捆绑在一起，再跟剩下的3人排列，有种排法，因此甲、乙、丙3个人

7、不能都站在一起的排法种数为，故本题选C.【点睛】本题考查了全排列、捆绑法，考查了数学运算能力.4、C【解析】分析：由题意，双曲线的焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是，求得，利用离心率的公式，即可求解双曲线的离心率详解：由题意，双曲线的焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是，即，所以双曲线的离心率为，故选C点睛：本题主要考查了双曲线的离心率的求解问题，其中熟记双曲线的标准方程和几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力5、D【解析】根据复数的除法运算法则，即可求出结果.【详解】.故选D【点睛】本题主要考查复数的除法运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.6、A【解析】根据题目可知，分别求出男生甲被选中

8、的概率和男生甲女生乙同时被选中的概率，根据条件概率的公式，即可求解出结果【详解】由题意知，设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则，所以，故答案选A【点睛】本题主要考查了求条件概率方法：利用定义计算，特别要注意的求法7、A【解析】分析：运用奇函数的定义，可得，再计算即可详解：函数为奇函数，故选点睛：本题主要考查的是奇函数的定义，分段函数的应用，属于基础题。根据函数奇偶性的性质是解题的关键8、B【解析】先设直线与圆相切于点，根据题意，得到，再由，根据勾股定理求出，从而可得渐近线方程.【详解】设直线与圆相切于点，因为是以圆的直径为斜边的圆内接三角形，所以，又因为圆与直线的切点为，所

9、以，又，所以，因此，因此有，所以，因此渐近线的方程为.故选B【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.9、D【解析】分别写出、时，不等式左边的式子，从而可得结果.【详解】当时，不等式左边为，当时，不等式左边为，则增加了项，故选D.【点睛】项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.10、C【解析】试题分析：当时，函数有两个零点和，不满足题意，舍去；当时，令，得或时，；时，；时，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时，；时，；时，且，要使得存在

10、唯一的零点，且，只需，即，则，选C考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性11、A【解析】试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断解：根据题意，由于，表示两个不同的平面，l为内的一条直线，由于“，则根据面面平行的性质定理可知，则必然中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，“是“l”的充分不必要条件故选A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定12、D【解析】程序运行过程中，各变量值如下表所示：第一圈：S=0+1，i=5，第二圈：S=1+3，i=9，第三圈：S=1+3+5，i

11、=13，依此类推，第503圈：1+3+5+2013，i=2017，退出循环，其中判断框内应填入的条件是：i2013，本题选择D选项.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】分析：先根据球的表面积公式，列方程得到球半径，再利用球的体积公式求解该球的体积即可.详解：，故答案为.点睛：本题主要考查球的体积公式和表面积公式，意在考查学生对基础知识的掌握情况，属于基础题.14、【解析】先求出，再与矩阵B相乘即可.【详解】由已知，所以.故答案为：【点睛】本题考查矩阵的乘法运算，涉及到可逆矩阵的求法，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15、【解析】由面积为的半圆面，可得圆的半径为2

12、，即圆锥的母线长为2.圆锥的底面周长为.所以底面半径为1.即可得到圆锥的高为.所以该圆锥的体积为.16、【解析】设复数是方程的解，根据题意列出等式，求解，即可得出结果.【详解】设复数是方程的解，则，即，所以，解得，所以.故答案为【点睛】本题主要考查在复数集上求解方程，熟记复数运算法则即可，属于常考题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（为参数）；（2）【解析】（1）根据椭圆的参数方程表示出曲线的参数方程；（2）根据曲线的参数方程设曲线上的点，结合点在第一象限得出，将四边形的面积转化为和的面积之和，并利用角的三角函数式表示，利用辅助角公式化简，再利用三角

13、函数基本性质求出最大值。【详解】（1）曲线的方程为，可化参数方程为 (为参数). （2）设曲线上的点， 因为在第一象限，所以. 连接,则 = . 当时，四边形面积的最大值为.【点睛】本题考查椭圆的参数方程，考查参数方程的应用，一般而言，由圆或椭圆上的动点引起的最值或取值范围问题，可以将动点坐标利用圆或椭圆的参数方程设为参数方程的形式，并借助三角恒等变换公式以及三角函数的基本性质求解。18、 (1) ， (2) 【解析】(1)根据题干解不等式得到，再由集合的交并补运算得到结果；（2）由(1)知，若，分C为空集和非空两种情况得到结果即可.【详解】(1)因为，即，所以，所以，因为，即，所以，所以，所

14、以，所以(2)由(1)知，若，当C为空集时，.当C为非空集合时，可得.综上所述.【点睛】这个题目考查了集合的交集以及补集运算，涉及到指数不等式的运算，也涉及已知两个集合的包含关系，求参的问题；其中已知两个集合的包含关系求参问题，首先要考虑其中一个集合为空集的情况.19、（1）切线方程为： ，单调增区间为，单调减区间是（2）见解析【解析】试题分析：(1)由函数的导函数可得切线的斜率为2，据此可得切线方程为： ，单调增区间为，单调减区间是；(2)构造新函数，结合函数的性质即可证得题中的结论.试题解析：(1) ，所以切线方程为：单调增区间为，单调减区间是(2)设，.在上单调递增，且，.存在唯一的零点

15、，使得，即在上单调递减，在单调递增，=，又，上式等号不成立，即20、（）；（）【解析】（）把函数有两个不同极值点转化为有两个不同的实数根，分类讨论，时，值域情况，从而得到实数的取值范围；（）显然 ，恒成立，只需讨论的情况，由于，为方程的两个根，从而有，变形可得：所以要使恒成立等价于恒成立，令，利用导数讨论的值域即可。【详解】由题可得的定义域为，函数有两个不同极值点等价于有两个不同的实数根，令，当时，则在定义域内单调递增，不可能存在两个根使得，舍去；当时，则在定义域内单调递增，不可能存在两个根使得，舍去；当时，令，解得：，令时，解得：，所以的增区间为，减区间为，则；由于当时，当时，所以要使由两个

16、根，则，解得：；综述所述，实数的取值范围为（）（1）由于，所以当时，显然恒成立，下讨论的情况；（2）当时，由（I），为方程的两个根，从而有，可得：，所以，要使恒成立等价于恒成立，即恒成立，即恒成立，令，则，只要使即可，则，再令，则，可知：在内单调递减，从而，（i）当时，则，在内单调递增，所以，所以满足条件；（ii）当时，当时，由于在内单调递减，根据零点存在定理，可知存在唯一，使得，当时，单调递增；当时，单调递减，则，不满足恒成立，故不满足条件；综述所述，实数的取值范围为【点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性和极值，问题（）为极值点偏移问题，常见的处理方法是根据极值点满足的等式构造求证目标满

17、足的等式，再把求证目标不等式归结为函数不等式来证明21、 (1);(2)见解析.【解析】（1）利用相互独立事件的概率公式，分两种情况计算概率即可；（2）根据相互独立事件的概率公式求出各种情况下的概率，得出分布列，利用公式求解数学期望【详解】（I）由题意得，甲乙丙在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为记甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用为事件A则，答：甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率为，（）可能取值有2，2.5，3，3.5，4，； ，甲、乙、丙三人所付的租车费用之和的分布列为： 2 2.5 3 3.5 4 P【点睛】本题主要考查了相互对立事件的概率的计算，以及离散型随机变量的分布列、数学期望的求解，其中正确理解题意，利用相互独立事件的概率计算公式求解相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.22、 (1)见解析；(2)见解析【解析】（1）先对函数求导，分别讨论，即可得出结果；（2）先由（1）得时，函数的最大值，分别讨论，即可结合题中条件求出结果.【详解】解：（1） ， ，