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文档简介

1、正弦定理和余弦定理例题精讲精练1.几何法证正弦定理设BDABC外接圆OO的直径，则BD=2R,下边按/A为直角、锐角、钝角三种状况加以证明.a若/A为直角，如图，贝UBC经过圆心0,.BC为圆0的直径，BC=2R,-snABC=2R.sin90若/A为锐角，如图，连结CD，则/BAC=ZBDC,在RtBCD中，一BC=BC,sin/BDCsin/BACBC“BC“=BD=2R,.=2R.sin/BDCsin/BAC即一=2R.=BD=2R,sinA又._BC(3)若/A为钝角，如图，连结CD，则/BAC+/CDB=n因此sin/BAC=sin/CDB,在RtBCD中，sin/CDBsin/BA

2、C一BC-=2R,即一=2R.?BCsin/BACsin/CDBbcsinABC=2R,=2R.可证得：一=2R.同理可证：sinAsinBsinCB*oC图图因此，不论ABC是锐角三角形,直角三角形，还是钝角三角形，都有：誌=盏匕=2R(此中RABC的外接圆的半径).sinC正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，而且都等于其外接圆的直径.2.坐标法证余弦定理以下列图，以ABC的极点A为原点，射线AC为x轴的正半轴，建立直角坐标系，这时极点B可作角A终边的一个点，它到原点的距离r=c.设点B的坐标为(x,y)，由三角函数的定义可得：x=ccosA,y=csinA,即点B为(c

3、cosA,csinA),又点C的坐标是(b,0).由两点间的距离公式，可得:a=BC(b-ccosAf+(csinAf.两边平方得：a2=(bccosA)2+(csinA)222=b+c2bccosA.以厶ABC的极点B或极点C为原点，建立直角坐标系，相同可证b2=a2+c22accosB,c2=a2+b22abcosC.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其余两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦值的积的2倍.b2+c2-a2+c22bca2cosA=cosB=2222aca+bc-cosC=余弦定理的第二种形式是:易知：A为锐角？b2+c2a20；222A为直角？b+ca=0;A为钝角？b2+c2a2bbsinAbawbababcsinB./?sinCsinB2?C=60或C=120ABC两解有.=6,?sinC=当C=60时，A=180BC=90由f.b=6,解得：a=6.sinAsinB当C=120时，A=180BC=30由.a=.b=6,

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