2022年江苏省南京市附中高二数学第二学期期末考试试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交曲线左支于A，B两点，F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且AF2B30若该双曲线的离心率为e，则e2（）ABCD2已知二次函数在区间内有两个零点，则的取值范围为（ ）ABCD3已知为

2、虚数单位，则复数对应复平面上的点在第（ ）象限A一B二C三D四4已知离散型随机变量的分布列为则的数学期望为（）ABCD5已知集合，集合满足，则集合的个数为ABCD6 “”是“函数在区间内单调递减”的（ ）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不充分也必要条件7下列说法正确的是( )A若命题均为真命题，则命题为真命题B“若，则”的否命题是“若”C在，“”是“”的充要条件D命题“”的否定为“”8某技术学院安排5个班到3个工厂实习，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，则不同的安排方法共有（ ）A60种B90种C150种D240种9某班班会准备从含甲、乙的7人中选取4人发言，要求甲、乙两

3、人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有（ ）A720种B520种C360种D600种10在三棱锥P-ABC中，若过AB的平面将三棱锥P-ABC分为体积相等的两部分，则棱PA与平面所成角的正弦值为（ ）ABCD11某市通过随机询问100名不同年级的学生是否能做到“扶跌倒老人”，得到如下列联表：做不到能做到高年级4510低年级3015则下列结论正确的是（ ）附参照表：0.100.0250.012.7065.0246.635参考公式：，其中A在犯错误的概率不超过的前提下，认为“学生能否做到扶跌倒老人与年级高低有关”B在犯错误的概率不超过的前提下，“学生能

4、否做到扶跌倒老人与年级高低无关”C有以上的把握认为“学生能否做到扶跌倒老人与年级高低有关”D有以上的把握认为“学生能否做到扶跌倒老人与年级高低无关”12一个均匀的正方体，把其中相对的面分别涂上红色、黄色、蓝色，随机向上抛出，正方体落地时“向上面为红色”的概率是ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 14从集合随机取一个为,从集合随机取一个为,则方程可以表示_个不同的双曲线.15已知随机变量，且，则_.16=_。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）设函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数恰有两

5、个零点，求的取值范围.18（12分）在各项均为正数的数列中，且.(1)当时，求的值；(2)求证:当时，.19（12分）已知函数（1）若函数在x=3处有极大值，求c的值；（2）若函数在区间（1，3）上单调递增，求c的取值范围20（12分）如图，四边形为矩形，平面平面，点在线段上.（1）求证：平面；（2）若二面角的余弦值为，求的长度.21（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，AA1=AC=2BC，ACB=90 （）求证：AC1A1B；（）求直线AB与平面A1BC所成角的正切值22（10分）己知复数满足，其中，为虚数单位.（l）求：（2）若.求实数的取值范围.参考答案一、选择

6、题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】设，根据是以为直角顶点的直角三角形，且，以及双曲线的性质可得，再根据勾股定理求得的关系式，即可求解.【详解】由题意，设，如图所示，因为是以为直角顶点的直角三角形，且，由，所以，由，所以，所以，即，所以，所以，在直角中，即，整理得，所以，故选D. 【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的几何性质离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：求出 ，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围).2、A【解析】先

7、求出二次函数在区间内有两个零点，所需要的条件，然后再平面直角坐标系内，画出可行解域，然后分析得出的取值范围.【详解】因为二次函数在区间内有两个零点，所以有：，对应的平面区域为下图所示：则令，则的取值范围为，故本题选A.【点睛】本题考查了一元二次方程零点分布问题，正确画出可行解域是解题的关键.3、D【解析】分析：首先化简所给的复数，然后确定复数所在的象限即可.详解：由题意可得：，则复数对应的点为，该点位于第四象限，即复数对应复平面上的点在第四象限.本题选择D选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4、B【解析】根据数学期望公式可计算出的值.【详

8、解】由题意可得，故选B.【点睛】本题考查离散型随机变量数学期望的计算，意在考查对数学期望公式的理解和应用，考查计算能力，属于基础题.5、D【解析】分析：根据题意得到为的子集，确定出满足条件的集合的个数即可详解：集合，集合满足，则满足条件的集合的个数是故选点睛：本题是基础题，考查了集合的子集，当集合中有个元素时，有个子集。6、A【解析】利用二次函数的单调性可得a的取值范围，再利用简易逻辑的判定方法即可得出【详解】函数f（x）=x22ax2=（xa）2a22在区间（，2内单调递减，2a“a3”是“函数f（x）=x22ax2在区间（，2内单调递减”的充分非必要条件故选：A【点睛】充分、必要条件的三种

9、判断方法1定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假并注意和图示相结合，例如“ ”为真，则是的充分条件2等价法：利用 与非非， 与非非， 与非非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若 ，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件7、D【解析】利用复合命题的真假四种命题的逆否关系以及命题的否定，充要条件判断选项的正误即可【详解】对于A：若命题p，q均为真命题，则q是假命题，所以命题pq为假命题，所以A不正确；对于B：“若，则”的否命题是“若，则”，所以B不正确；对于C：在ABC中， “”“A+B=”“A=-B”sinA=cosB，反之sinA=cosB，A+B=

10、，或A=+B，“C=”不一定成立，C=是sinA=cosB成立的充分不必要条件，所以C不正确；对于D：命题p：“x0R，x02-x0-50”的否定为p：“xR，x2-x-50”，所以D正确故选D【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及充要条件，四种命题的逆否关系，命题的否定等知识，是基本知识的考查8、C【解析】先将5人分成3组，3，1，1和2，2，1两种分法，再分配，应用排列组合公式列式求解即可.【详解】将5个班分成3组，有两类方法：（1）3，1，1，有种；（2）2，2，1，有种.所以不同的安排方法共有种.故选C.【点睛】本题主要考查了排列组合的实际应用问题：分组分配，注意此类问题一般要先

11、分组再分配（即为排列），属于基础题.9、D【解析】分别计算甲乙只有一人参加、甲乙都参加两种情况下的发言顺序的种数，根据分类加法计数原理加和求得结果.【详解】甲、乙只有一人参加，则共有：C2甲、乙都参加，则共有：C5根据分类加法计数原理可得，共有：480+120=600种发言顺序本题正确选项：D【点睛】本题考查排列组合综合应用问题，关键是能够通过分类的方式，分别计算两类情况的种数，属于常考题型.10、A【解析】由题构建图像，由，想到取PC中点构建平面ABD，易证得平面ABD，所以PA与平面所成角即为，利用正弦函数定义，得答案.【详解】如图所示，取PC中点为D连接AD，BD，因为过AB的平面将三棱

12、锥P-ABC分为体积相等的两部分，所以即为平面ABD；又因为，所以，又，所以，且，所以平面ABD，所以PA与平面所成角即为，因为，所以，所以故选：A【点睛】本题考查立体几何中求线面角，应优先作图，找到或证明到线面垂直，即可表示线面角，属于较难题.11、C【解析】分析：根据列联表中数据，利用公式求得，参照临界值表即可得到正确结论.详解：由公式可得，参照临界值表，以上的把握认为，“学生能否做到扶跌倒老人与年级高低有关”，故选C.点睛：本题考查了独立性检验的应用，属于基础题. 独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.

13、12、B【解析】随机抛正方体，有6种等可能的结果，其中正方体落地时“向上面为红色”有2种情况，正方体落地时“向上面为红色”的概率是.故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】试题分析：由三视图可得几何体为正方体挖去一个圆锥：则：，得体积为：考点：三视图与几何体的体积14、8【解析】根据双曲线方程的特点,结合分类和分步计数原理直接求解即可.【详解】因为方程表示双曲线,所以.因此可以分成两类：第一类：从集合中取一个正数,从集合取一个负数,有种不同的取法；第二类：从集合中取一个负数,从集合取一个正数,有种不同的取法.所以一共有种不同的方法.故答案为：8【点睛】本题考查了双

14、曲线方程的特点,考查了分类和分步计数原理,考查了数学运算能力.15、0.9【解析】根据正态分布性质计算概率【详解】由正态分布密度曲线知，又，所以，所以.【点睛】本题考查正态分布的性质，由正态分布曲线的对称性得若，则，16、【解析】利用定积分的几何意义及其计算公式，可得结论【详解】由题意，可得.故答案为【点睛】本题主要考查了定积分的计算公式，以及定积分的几何意义的应用，其中解答中熟记定积分的计算公式，合理使用定积分的几何意义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）【解析】（1），讨论a，求得单

15、调性即可（2）利用（1）的分类讨论，研究函数最值，确定零点个数即可求解【详解】（1）因为，其定义域为，所以.当时，令，得；令，得，此时在上单调递减，在上单调递增.当时，令，得或；令，得，此时在，上单调递减，在上单调递增.当时，此时在上单调递减.当时，令，得或；令，得，此时在，上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）可知：当时，.易证，所以.因为，.所以恰有两个不同的零点，只需，解得.当时，不符合题意.当时，在上单调递减，不符合题意.当时，由于在，上单调递减，在上单调递增，且，又，由于，所以，函数最多只有1个零点，与题意不符.综上可知，即的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最

16、值，函数零点问题，考查推理求解能力及分类讨论思想，是难题18、 (1) ；(2)证明见解析.【解析】（1）推导出，解得，从而，由此能求出的值；（2）利用分析法，只需证，只需证，只需证，根据基本不等式即可得到结果【详解】(1) ，解得，同理解得 即； (2) 要证 时，只需证，只需证，只需证，只需证，只需证， 根据基本不等式得，所以原不等式成立【点睛】本题考查实数值的求法，考查数列的递推公式、递推思想等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19、 (1) c=3或c=1 (2) 【解析】（1）求出函数的导数，根据函数的极值点，求出c的值，检验即可；（2）根据函数的单调性得到关于c的不等式组，解出即

17、可【详解】（1），在处有极大值，解得：c=3或1，当c=3时，或时，递增，时，递减，在处有极大值，符合题意；当时，或时，递增，时，递减，在处有极大值，符合题意，综上，c=3或c=1；（2）在（1，3）递增，c=0或或或或，解得：，c的范围是【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题20、（1）见解析；（2）【解析】（1）先证明，又平面平面，即得平面；（2）以为原点，以，为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题得，解方程即得解.【详解】（1）证明：，又平面平面，平面平面，平面，平面.（2）以为原点，以，为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，由题知，平面，

18、为平面的一个法向量，设，则，设平面的一个法向量为，则，令，可得，得或（舍去），.【点睛】本题主要考查空间垂直关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21、 (1)见解析(2) 【解析】分析：（1）先证平面，得到，由四边形为正方形得出，所以平面，进而证得；（2）由平面可得是直线与平面所成的角，设，利用勾股定理求出，即可得出的值.详解：证明（）CC1平面ABC，BC平面ABC， CC1BC又ACB=90，即BCAC，又ACCC1=C，BC平面A1C1CA，又AC1平面A1C1CA，AC1BCAA1=AC，四边形A1C1CA为正方形，AC1A1C，又AC1BC=C，AC1平面A1BC，又A1B平面A1BC，AC1A1B （）设AC1A1C=O，连接BO由（）得AC1平面A1BC，AB