初中数学九下 《圆》回归与思考 圆的专题复习课教学设计

1、圆的综合复习课“定弦定角”问题探究教学目标：通过探究当三角形中有两个定值，即一边和该边的对角为定值时，掌握此角的顶点的运动轨迹为圆的相关问题.教学重点：探究三角形中定角的顶点的运动轨迹为圆.教学难点：能够分析不同问题中的“定弦定角”，并能解决相关问题.教学过程：一、发现与提出问题：同学们，相信上面的两个图形，大家不会陌生，通常我们遇到的问题是：如图1，等边三角形ABC中，点D、E分别在AC、BC上运动，且始终满足AE=CD，连接AD、BE且交于点P，点D与点E的过程中，求APE的度数。如图2，等腰直角CAB与DAE有着共同的顶点A，DAE绕着点A逆时针旋转，连接CD、BE，CD与BE相交于点P

2、，在DAE旋转的过程中，求证：BECD.对于第一个问题，我们可以证明ABECAD，得到ABE=CAD，而APE=ABE+BAP=CAD+BAP=BAC=60，还可以得到.对于第二个问题，我们可以证明ABEACD，得到ABE=ACD，而CFP=AFB，可以得到CPF=FAB=90，所以BECD.这两个问题，说明了我们在分析问题的时候，注重寻求变化中的不变量，加深对问题的深度思考。同学们也许会想到，这个不变量有什么用呢？如果我们把问题变式一下：在第一个问题，我们增加AB=BC=AC=4，求CP的最小值；在第二个问题中，我们增加AB=2，求AP的最大值或者最小值，估计很多同学开始不知所措了。二、分析

3、与解决问题： 既然要求CP或者AP的最值，点C或者点A是固定的，说明点P运动会形成某个规则的轨迹，会是什么样的轨迹呢？点P还能和哪些点有关系呢？图1中，点P恰好和定点A和B构成一个三角形，且AB的长度为定值；图2中，点P恰好和定点B和C构成一个三角形，且BC的长度为定值，我们把ABP与BCP抽离出来，问题转化为ABP中，AB=4，APB=120；在BCP中，BC=4，PBC=90.如何分析呢？两个都是特殊角，但是90相对于120更为特殊，所以，我们的探究可以从图中的90的角开始。点P的位置在变化，那么，我们首先会怎么做呢？这里温馨提示一下，当解决一个问题遇到困难时，我们首先先在草稿本上画画图，

4、先画一条线段，但是直角怎么画呢？我们可以借助直角三角板，使得直角三角板的两边过已画的线段的端点，草图可以画出来如图所示。 此时，我们可以猜测点P在一段圆弧上运动，既然猜测是在圆弧上运动，并且A、B两点也在圆上，那么就会存在圆心和半径。圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小，我们可以先来确定圆心。既然猜测A、B在圆上，到A、B两点的距离相等的点在哪里呢？是的，在线段AB的垂直平分线上，点P呢？点P到哪个点的距离不会变呢？点P到线段BC的中点的距离不会变， 连接PO，可以得知PO=BC，PO的长度也就为定值，而点O位置固定不变，所以验证了猜想，即点P的运动轨迹是在以AB为直径的圆上（如图）. 当这个角

5、度不为90，怎么办呢？我们回过头来看第一个问题，在ABP中，AB=4，APB=120，点P的运动轨迹是什么呢？我们依旧可以猜测点P的运动轨迹是圆上的弧。如果再找AB的中点O，连接起来，可以看到线段PO的长度是在变化的，所以不能考虑PO了，那点P到哪个点的距离是定值呢？借助上面的分析，AB是固定的，线段AB的垂直平分线上的所有的点到点A、B的距离相等，我们是不是可以考虑这条垂直平分线上存在一个点，到C的距离是定值等于到点A和点B的距离相等呢？是的，我们自然的想到了三角形的垂直平分线，三角形的三边的垂直平分线交于一点，这个交点到三个顶点的距离相等，对于ABP，点O为线段AB、线段AC、线段BC的垂

6、直平分线的交点，所以为点O到线段AB、线段AP、线段BP的两端的距离相等（我们研究的时候，只需要画两条即可），所以，点O就是我们只要寻找到的圆心，OA为我们要寻找的半径（如图）。对于任意的给定的ABC，ACB和线段AB为定值，可以做边AB、BC、AC的中垂线，交点O与A、B、C连接起来，即圆O为ABC的外接圆，这个圆的大小位置确定，点C在以O为圆心的弧ACB上运动，点C除了在AB的上方运动，也可以在AB的下方运动，所以点C在AB下方运动的轨迹是圆心O关于AB的对称点为圆心的弧上运动了（如图）。三、概念归纳：通过上面的分析，我们可以看到，线段AB为圆O的弦，ACB为AB的对角，线段AB和ACB的

7、值不变，所以我们称这样的问题为“定弦定角问题”。那么ABC的外接圆即圆O的半径如何求呢?我们再来看看，点C在运动中，图中的量还有哪些是不变的呢？可以看到：点O固定不变，O在线段AB的垂直平分线上，即OA、OB的长度不变，即AOB是等腰三角形，AOB=2AOD，AB=2AD，由圆心角和圆周角的关系得：AOB=2ACB，而所以得到：ACB=AOD，在RtAOD中，所以得到：“定弦定角问题”和我们教材上的还有哪些密切的联系呢？我们加一个点D，点ADB同样为弦AB的对角，此时，可以分为两种情况，即与点C同侧或者异侧，异侧时，可以得到ADB+ACB=180则点A、B、C、D四点共圆；同侧时，ADB=AC

8、B，同样可以得到点A、B、C、D四点共圆。四、例题讲解：例1：（2019资阳改编）如图，抛物线的顶点 M的坐标为（1，4），过点A（3，2），且与直线交于B、C两点，点C的坐标为（0，）在y轴上是否存在点Q，使AQM45？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由分析：点A、M固定，即AM的长度不变，AQM45不变，问题即为“定弦定角问题”，接下来寻找圆心：由于AQM45，所以圆心角为90，点M的坐标为（1，4），点A的坐标为（3，2），得到，所以作AH对称轴于点H，AHM90，连接AM、AQ、MQ、HA、HQ，AHMH2，H的坐标为（1，2），可知AQM外接圆的圆心为H，QHHAHM2此时将

9、问题转化为HQ=2的问题，所以设Q（0，t），则，解得：t或符合题意的点Q的坐标：Q1（0，）、Q2（0，）例2：（2019南京）在ABC中，AB4，C60，AB，则BC的长的取值范围是 由题意得：AB4，C60 此题是定弦定角问题，可以将题目的图象如图，点C在圆O的弧ACB上运动，我们可以利用刚刚的分析得到：所以，即AB 考虑大边对大角，所以点C在弧AE之间运动（不与点E、点A重合）点C从点E向点A的运动过程中，可以看到BC的长度是逐渐由小变大，再由大变小，什么时候最大呢？当点B、O、C三点共线时，BC最长，此时长度为，点C和点E和在点A的重合时，BC最短，此时长度为4,所以BC的长的取值范

10、围是.五、方法提炼：通过例题分析，我们可以将解题方法提炼如下：第一步，可以先由具体条件来判定是否为“定弦定角问题”；第二步，做两边的垂直平分线寻找“圆心”；第三步：将给定的角（圆周角）转化为圆心角，构造直角三角形，利用边与角的关系求出半径的长。六、巩固应用：1. （2017威海）如图，ABC为等边三角形，AB2若P为ABC内一动点，且满足PABACP，则线段PB长度的最小值为2. （2018宿迁改编）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y（xa）（x3）（0a3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CPx轴，垂足为点P，连接AD、BC点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由3. （2019衢州）如图，在RtABC中，C90，AC6，BAC60，AD平分BAC交BC于点D，CD=，过点D作DEAC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交D