2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析选修4-42参数方程

1、 Ctrl, 考点一 参数方程与普通方程的互化1.若曲线C 的参数方程为程.(为参数),求曲线 C的方2.在平面直角坐标系中,若曲线C的参数方程为数),求曲线的普通方程.【解析】将曲线C的参数方程化为普通方程得x+2y-2=0(02,01).2.依题意,消去参数可得x-2=y-1,即 x-y-1=0.3.因为 x=,y=4-3又 x=4-3x.=2-0,2),所以x0,2),所以所求的普通方程为3x+y-4=0(x0,2).将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的特征,选取适当的函数的参数方程,常利用同角三角函数关系式消参.(2)将参数方程化为普通方程时,要

2、注意原参数方程中自变量的取值范围,不要增解.考点二 参数方程的应用【典例】xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l 的参数方程为为参数). 世纪金榜导学号(t(1)求C和l的直角坐标方程.(2)若曲线C截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.【解题导思】序号联想解题(1)直线的参数方程化为普通方程时注意分类讨论(2)直线的参数方程性质的应用【解析】(1)曲线 C的直角坐标方程为 + =1.当 cos 0时,l的直角坐标方程为y=tan x+2-tan ,当 cos =0时,l的直角坐标方程为x=1.(2)将 l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos

3、)t+4(2cos +sin )t-8=0.22因为曲线C截直线l所得线段的中点恰为(1,2),所以有两个解,设为t,t t +t =0.1212又由得t+t=-,12故 2cos +sin =0,于是直线l的斜率 k=tan =-2.1.直线的参数方程有多种形式,只有标准形式中的参数才具有几何意义,即参数t的绝对值表示对应的点到定点的距离.2.根据直线的参数方程的标准形式中t 的几何意义,有如下常用结论:(1)若直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为t,t ,则弦长12l=|t-t|.12(2)若定点M(标准形式中的定点)是线段M M(点M ,M 对应的参数分别01212为 t ,t,下同

4、)的中点,则t +t=0.1212(3)设线段MM 的中点为M,则点M 对应的参数为t =.12M设直线l的参数方程为(t 为参数,为倾斜角),圆C的参数方程为(为参数).(1)若直线l经过圆C 的圆心,求直线l的斜率.(2)若直线l与圆 C交于两个不同的点,求直线 l的斜率的取值范围.【解析】由已知得直线l经过的定点是P(3,4),而圆C的圆心是C(1,-1),所以,当直线 l经过圆C的圆心时,直线l的斜率 k= .(2)由圆 C的参数方程(为参数),得圆C的圆心是C(1,-1),半径为 2.由直线l的参数方程(t为参数,为倾斜角),得直线l的普通方程为y-4=k(x-3)(斜率存在),即

5、kx-y+4-3k=0.当直线l与圆C交于两个不同的点时,圆心到直线的距离小于圆的半径,即 .即直线l的斜率的取值范围为.考点三 极坐标与参数方程的综合应用考什么:(1)考查距离、弦长、位置关系、取值范围等问题.(2)考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养及数形结合、分怎么考:与直线、圆、椭圆、三角函数等数学知识结合考查求弦长、距离、讨论位置关系等问题.学霸 (1)求最值问题:结合直线与圆的关系,求圆上的点到直线的距好方 离的最值,用圆心到直线的距离加减半径.法 (2)求取值范围问题:根据极坐标与参数方程的关系,结合三角函数,根据三角函数的有界性求取值范围.交点、距离、弦长问题【典例】以平面直角

6、坐标系的坐标原点O 为极点,以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C 的极坐标方程为sin =4cos .2(1)求曲线C的直角坐标方程.(2)设直线l与曲线C 相交于A,B 两点,求|AB|.【解析】由sin=4cos 可得 sincos ,222所以曲线C的直角坐标方程为y=4x.2(2)将直线 l的参数方程代入y=4x,2整理得4t+8t-7=0,所以 t+t=-2,tt =- ,2121 2所以|AB|=.曲线的位置关系【典例】以极点为原点,以极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为=10,曲线C 的参数方程为12(为参数

7、).(1)判断两曲线C 和 C 的位置关系.12(2)若直线l与曲线C 和C 均相切,求直线l 的极坐标方程.12【解析】由=10得曲线C 的直角坐标方程为x+y=100,由221得曲线C 的普通方程为(x-3)+(y+4)=25.222曲线C 表示以(0,0)为圆心,10为半径的圆;1曲线C 表示以(3,-4)为圆心,5为半径的圆.2因为两圆心间的距离5等于两圆半径的差,所以圆C 和圆C 的位置关系12是内切.(2)由(1)建立方程组解得可知两圆的切点坐标为(6,-8),且公切线的斜率为 以直线l的直角坐标方程为y+8= (x-6),即 3x-4y-50=0,所以极坐标方程为 -4sin -50=0.取值范围(最值)问题【典例】xOy 中,曲线C 的参数方程为极坐标系,直线l 的极坐标方程为2cos + sin +11=0. 世纪金榜导学号(1)求C 和 l的直角坐标方程;(2)求C 上的点到l距离的最小值.【解析】(1)因为-11,且 x+=+=1,所以 C2的直角坐标方程为x+ =1(x-1).2l的直角坐标方程为2x+ y+11=0.(2)由(1)可设 C的参数方程为.C上的点到l的距离为=.当=-