2020届广东省深圳市高三下学期第一次调研数学(理)试题(解析版)

1、第1页共21页届广东省深圳市高三下学期第一次调研数学(理)试题一、单选题1vA x| 1 X 1.集合V? ，集合 B= x|x X，则 A AB =()2先化简集合，再利用交集的定义求解.【解._2. (_ , )B 1 0C. 0?. ( , )D 0 1A1,2【答案】C【详解】12A x| 1 x ,集合集合 = x|x x= 1,2112QB = =( ,).Ax|0 x对于, = In - ，有- 0,解可得-1 . nA In In 3 log eB In Iog e In 333. n. nC In3 Iog e InD In 3 In Iog e33【答案】A【解析】利用对数

2、函数的性质求解.【详解】n.函数对数 = Inx和= Iog x在（0, ）上单调递增，且,3n = ,. In In3 Ine 1又Iog ,In In3 Iog e3故选：.【点睛】本题考查利用对数函数的性质比较大小，属于基础题，5 .将直线I: = 2x+1绕点4 1, 3）按逆时针方向旋转45。得到直线I的方（程为（ ）A . - y+1= 0【答案】D. - y+2= 0. - 2y+3= 0 D. - 6= 0【解析】 直接利用到角公式和点斜式方程求出结果.第2页共21页【详45。得到直线I；I的斜率为k,则根据到角公式的应用,设直线tan45k 21，解得 =- ,1 2k- 1

3、),整理得- 6= 0.所以直线I的方程为-3 =- 3故选：.【点睛】本题主要考查到角公式，直线方程，还考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题.6.已知数列a 为等比数列，若a什a = 2，a +a = 20，则a a =( )22n4142 3A . - 8. 8. - 16D . 16【答案】A【解析】直接利用关系式的转化和等比性质的应用求出结果.【详解】数列a 为等比数列，若a什a = 2，n4a 2a a a4，所以：21 4 421因为 a/+a = 20，24所以 2a =-16，整理得 a a = a a =- .4? 31 4故选：.【点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用

4、，还考查运算求解能力，属于基础题.7 .如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )223428. nA 9.C.-333【答案】D第3页共21页2的半球,【解根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为上面为一个半径为第4页共 21页 2,高为3【详解】2的半球，下面为底面半径为 2,高为3由三视图可知：该几何体为上面为一个半径为342332故选：.几何体的体积和表面积公式的应用， 还考本题主要考查三视图和直观图形之间的转换,查空间想象和运算的能力，属于基础题.【点睛】x相切，则 的斜率为（x 4 eI0lC:y8已知过原点 的直线 与曲线2e.【答

5、案】Bm, m 4 m，然后利用导数求出切线方程，将0,0代入即可.【解析】设切点为【详解】m, m由题意设切点为4 emQ y x 4 e yx 3 ekm 3 e m y e x 3,/ = ( - )xxe1所以，切线 的方程为ym 3 xm 4 emm ,m1因为切线 过原点，可得m 2,m 4m 40,k e2.2故选：.【点睛】本题考查导数的几何意义与切线的求法，属于基础题.9 .珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的数术记遗？2013年联第5页共 21页合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产.如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称

6、为 七珠算盘”.未记数（或表示零）时，每档的各珠位置均与图中最左档一样；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5” 一个档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，这个数能被 3整除的概率为（）122B.-531D.-3A .-C.8【答案】C【解析】 这是一个古典概型，基本事件总数 n= 2 = 16,然后利用列举法得到这个数能4被3整除包含的基本事件数，代入公式求解。【详解】选定 个位档” 十位档”、百位档”和 千位档”规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动） ，则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，基本事件总数n = 2 = 16,4这个数能被3整除包含的基本事

7、件有：5511 , 5115, 5151, 1155, 1515, 1551，共6个，这个数能被3整除的概率为P .316 8故选：.【点睛】本题主要考查古典概型的概率的求法，还考查考查运算求解能力，属于基础题.10 .已知过抛物线 4x焦点F的直线与抛物线交于P, Q两点，M为线段PF的中点,连接0M ,卜则厶OMQ的最小面积为（）第6页共21页A . 1. 2. 42第7页共 21页【答案】B【解析】由题意可得直线 PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程，与抛物线联立，可得PF的中点M的纵坐标，有=1 ySZMQ丫 )，整理由乡y221 2yS +S |OF |?g y | ?11I1 2OF

8、QOMF解。*1【详解】如图所示:0J=-p2设 P (X , y), Q (X , y ),设 P 在x轴上方，1i22由题意可得直线 PQ的斜率不为0,设直线PQ的方程为= .x my 1 24x联立直线与抛物线的方程，当且仅当第8页共21页整理可得y - 4my- 4= 0, y +y = 4m, y y = ,2121 2因为 为 的中点，所以 号,yMMPF所以OMQ=S +S1 OFQAOMFy212?1y2y % y)2222y 取等号2所以 OMQ的最小面积为、一2 ,故选： .B【点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合及均值不等式的应用,于中档 还考查了运算求解的能力， 属题.

9、第9页共21页 ,f x sin x011.已知定义在 R上的函数 在1, 2上有且仅有3211，04x个零点，其图象关于点和直线对称，给出下列结论：4f 12 ；22 函数f （ ）在0，1上有且仅有3个极值点；3 5（ 函数f ）在，上单调递增；2 4 函数f （）的最小正周期是 2.其中所有正确结论的编号是（）A .C .D .【答案】A【解析】先根据条件求得函数的解析式，再结合三角函数的性质判断选项即可.【详解】10页共21页11A n; + k k Z因为曲线关于点（一，0）对称，所以：一1144143 = n , + kk Z2223=n 3=由可得： 2（k k ）1 即卩- )

10、 n, 122n 1 n Z因为f x sin x在1, 2上有且仅有3个零点，4nW ),324n,；3=n；由可得3、3=o,.0= n 6|k 又| f：)=442，(二 f()= sin 3）；n4( )1所以易知f:.错误；22k 15 1202EF，即 EF 上2VvEF 4v又 EF EB = 4,故选：.【点睛】本题考查空间中点、线、面的位置关系以及距离计算，还考查了空间想象能力与转化思 维能力，属难题.二、填空题13 .记S 为等差数列a 的前n项和，若5a = S +5，则数列a 的公差为_.nn25n【答案】-1【解析】利用等差数列的通项公式及求和公式即可得出.【详解】设

11、等差数列 的公差为 d .an/ 5a = S +5,25 a什d）= 5a什 10d+5,5（解得d =- .故答案为：-1.【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14.某地为了解居民的每日总用电量y（万度）与气温 x（）之间的关系，收集了四天的每日总用电量和气温的数据如表：13页共21页气温X ()192413349-1每日总用电量 （万度）3864y? 2x a经分析，可用线性回归方程拟合y与 X的关系据此预测气温为14 【答案】32【解析】 求出样本中心，代入回归直线方程，求出 a,然后求解该地当日总用电量.【详解】19 13 9 14- 2

12、4 34 38 644由题意可知：x10,y40,x所以 40=- 2 10+a，解得 = 60 ? 2x 60所以线性回归方程,预测气温为14C时，可得 =- 28+60 = 32 故答案为：32 【点睛】本题值域考查回归直线方程的求法及应用还考查了运算求解的能力，属于基础题.13AD - AB15 .已知等边三角形 ABC的边长为3,点D , E分别在边AB, BC上，且,uur uur”,DC DE1BE BC，则的值为_ 3【答案】3【解析】 以B为原点，BC和垂直 BC的线分别为 、y轴建立平面直角坐标系，再分别写出、E三点坐标，结合平面向量数量积的坐标运算即可得解.【详解】以B为原

13、点，BC和垂直 BC的线分别为 、y轴建立平面直角坐标系，如图所示14页共21页uuir_LUU DC DE 2 . 3 0 33., 、【点睛】本题主要考查平面向量在几何中的应用，还考查运算求解的能力，属于基础题.221a b2 216 .已知点F、F 分别为双曲线 爲 a , )的左、右焦点，点Mi2v(x , y ) (x 0C的渐近线与圆x +y = a 的一个交点，O为坐标原点，若直线222oooFM与C的右支交于点 ，且|MN =|NF |+|OF ，则双曲线 C的离心率为 _.i2254【答案】5【解析】由题意画出图形，可得直线FM与圆O相切于点M,且|MF|=,再由双曲线的定义

14、隐含ii条件列式求解双曲线的离心率.【详解】如图所示：由题意可得，直线 FM与圆O相切于点 ，且|MF|= b,ii由双曲线的定义可知, 2a =|NF| |NF = |MN|+|MF| |NF ,i2i2 =|NF |+|OF ,且 |OF = c,222 2a = b+c, 即卩b= 2a - c, b =( 2a- ) = c - 4ac+4a ,2222又 b = c - a , 联立解得4c= ，即e - 5 .222a 454故答案为：-.【点睛】15页共21页2本题主要考查双曲线的定义以及简单几何性质,函数f () 的最小正周期Tn;还考查数形结合的思想和运算求解的能2A力，属于

15、中档题.(2) f(=2sin ( A )+1 = , sin (A ) = 0,2335三、解答题3VV 2A,3 3n)17 .函数 f() = ( sinx+cosx) , 3 cos 2x+ .-A2即A -,033(1)求函数f()的最小正周期；A2,f1 sinC 2sinB,(2)已知ABC的内角, , C的对边分别为a, b, c,若且a=2,求厶) ；( ) .【答案】(12 迈3【解析】(1)利用三角恒等变换化简函数为f () =2sin (2x) +1，再利用周期公3式求解；(2)先求出A的值，再根据正弦定理余弦定理即可求出b的值，然后利用三角形的面积公式求解.【详解】)

16、 ( ) = (1 f x)( n) =3sinx+cosx TJcos 2x+ 1+sin2xcos2x= 2sin2+1,、一(2x由正弦定理以及 sinC= 2sinB可得= 2b,由余弦定理可得 a = b +c - ，可得b 空 322232,331Sbcs inAAABC2第16页共21页【点睛】2第17页共 21页本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用， 还考查了转化思想和运算求解的能力， 属于中档题.18 .已知三棱柱 ABC- ABC的所有棱长都相等，平面 BBCC丄平面 ABC ,BC= CC.i i i

17、i iii(1) 求证：AB丄平面 ABC;ii i(2) 求二面角 A- AC- B 的余弦值.iii【答案】(i)见解析(2).5【解析】(i)设直线AB 与直线 BA 交于点,连结CG,推导出AB丄 AB, CG丄AB, 由此能证iiiiiii明AB丄平面 ABC.ii i( )取 中点0为坐标原点，分别以 , , OC 所在直线为 , , z轴，建立空 间直角坐标2BCi系，利用向量法能求出二面角【详解】A - AC - B 的余弦值.iii(1) 证明：设直线 AB 与直线BA 交于点 ,连结CG,iii四边形 ABBA 是菱形， AB丄AB,i iiiTBC = CC= CA, G

18、 为 AB的中点， CG丄 AB,iii iiiiT PAB CG= ,. AB丄平面 ABC.iiii i(2) 解：取BC中点 O为坐标原点，如图，分别以 , OC, OC 所在直线为 , , z 轴，建i立空间直角坐标系：第i3页共 2i页(73732,则 C(, 1, ), C 0, 0, ) , A , , 0) , B( 0,-1,i0),ULuuu uuuACULU UULBC BCAC ,3 0 . 3 AG( , , ),3, ,10),( 0, 2, 0),(ii设平n, , ),AAC的一个法向量 (xy z面iiuuuu/rr n AG. 3x y 0.3 :=1，得n

19、uuuv,1),则(1,1 nrAC,3x . 3z 01设棱柱的棱长为设平m(a, ,ABC的一个法向量为b c ),i i面q设二面角A - AC B 的平面角为iii|rm n|则 cos 0 r11r210丁_ -.=Tuuurm rm.面 A- AC - B 的余弦值为Ciii=i，得 m0，取1(1, ),贝UULB C1m|n V5 V25【点睛】 本题主要考查线面垂直的证明，二面角的求法，还考查了转化化归的思想和推理论证,22i9 已知椭圆:令占3，左顶点为2，离心率为 2a b i a b 0的短轴长为运算求解的能力，属于中档题.过点A的直线I与C交于另一个点M，且与直线x=

20、 t交于点N .(1) 求椭圆C的方程；(O C)N|(2) 是否存在实数t，使得1 为定值？若存在，求实数t的值；若不存在，请MM说明理由.第19页共21页232【答案】(1) y = 1；(2)存在，t -24【解析】a, b,c的关系，可得a, c,l的方程为= k (), Muuju uuu(2)假设存在OM ON为定值可设直线= t ,使得t得o而到椭圆方程;(x , y ),联立椭圆的方程，运用韦达定理，求得M的坐标，将t = t 代入= k (),ooo求得N的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，结合定值，可得所求值.【详解】(1)由题意可得= ,即卩b= , e _J, a -b

21、 = c ,222a 223解得 = 、 ，则椭圆C的方程为 y = ；a2 c,214UUJU uur(2)假设存在实数t= t ,使得OM ON为定值.o由题意可得直线I的斜率存在，由A (- , o),可设直线I的方程为= k (x+2) , M (x ,oy ),oy k x 216k 48k 2224k1 4k1 4k2即 x2oy k x +2= ( )由韦达定理可得-ooo1 4k24k即 M ( -),1 4 21 4k2x y联立 ，可得4=,1+4k2 x2+16k2x+16k2 4 o()-22422 t 8k t4k t 8k4 2 t k 2tuuuuuuir。222

22、小则oooo2 , 1 4kOM?ON1 4k2uuuu uuu8 4t 2tooOM若ON为定值，则iuuu此时ONOM解得to为定值 ,3将 t= t 代入 = k (),可得 N(t , kt +2),ooouuiu luiT2uuunHIT所以存在实数，使得OM ON为疋值，+第20页共21页3【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线和椭圆的位置关系，向量的数量积的运算，还考查运算求解的能力，属于中档题.20 某市为提升中学生的数学素养，激发学生学习数学的兴趣，举办了一次数学文化知识大赛”，分预赛和复赛两个环节. 已知共有8000名学生参加了预赛， 现从参加预赛的全体学生中随机地抽取

23、100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图.#(1)规定预赛成绩不低于8060分的学生从上述样本中预赛成绩不低于中随机地抽取2人，求恰有1人预赛成绩优良的概率；(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布N(卩,(3) 预赛成绩不低于91分的学生将参加复赛，复赛规则如下：每人的复赛初始分均为100分；参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量减去)一定分数来获取答题资格，规定答第k题时 花”掉的分数为0.1k ( k1, 2n)；每答对一题加1.5分，答错既不加分也不减分；答完 n题后参赛学生的最终分数即n ,每一题都需要花”掉(即为复赛成绩.已知学生甲答对每道

24、题的概率均为学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量0.7，且每题答对与否都相互独立.若n应为多少？J362 19U；若 Z N ( , /),贝 P(厂 X Z卩+ 0.6827 P (参考数据：- (r V ( (r20 100= 40 人，X其中成绩优良的人数为 0.0075 20 = 15人，记 从样本中预赛成绩不低于 60分的学生中随机地抽取 2人，恰有1人预赛成绩优良”为事件,则恰有1人预赛成绩优良的概率：Cg 25P ()C 52：.(2)由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为:XXXXX = ,10 0.1+30 .2+50 .3+70 .25+90 . 15 53

25、 则尸 530=又由 /= 362，二 19,P (91 = P +2) 121 P 220.02275,X= ,估计全市参加参赛的全体学生中成绩不低于 91分的人数为：8000 0.02275 182即全市参赛学生中预赛成绩不低于 91分的人数为182 .E(3)以随机变量 表示甲答对的题数，则 B (n,E=0.7),且E ,E记甲答完n题所加的分数为随机变量,则= 1.5=E=,EX 1.5E 1.05n依题意为了获取答 n题的资格，甲需要花”掉的分数为：0.1 X( 1+2+3+)= 0.05 n ),2设甲答完n题的分数为M (n),则 M n)=100 -0.05 ( n ) +1

26、.05n=- 0.05( - 10) +105,22由于n ，当n = 10时，M( )取最大值105，即复赛成绩的最大值为105.若学生甲期望获得最佳复赛成绩，则他的答题量【点睛】n应该是10 .本题主要考查概率、频数、数学期望的求法及应用，频率分布直方图、二项分布，还考第17页共21页查了运算求解的能力，属于中档题.21 .已知函数 f()= 2cos x+ax .22f x(1) 当a= 1时，求f)的导函数 在 ，一 上的零点个数；2 2(2) 若关于x的不等式2cos 2si ) +a x 0f ()在(-+上恒成立，求实数 a2 2(); ( ) , R).【答案】 1 零点个数为

27、3 2 1 +f x【解析】 )易得 = (-12 x sin2x0),再用导数法研究( ,)上的零点情况，2f x然后结合 的奇偶性求解.v v(2)令sinx=t -1,1，转化为不等式cos2ta (1 -t )恒成立，再t=1 和-1 t 1分类2讨论求解.【详解】f xf 0= 0,(1) 易知所以= 0是( )的一个零点，令 g( )= x- sin2x( 0又 g( 0)=0，且g(所以g (乂)在(,)0,22)上存在唯一零点X (, )，02 26f x则 = 2g ( )在(0,)上亦存在唯一零点，2X因为 是奇函数，所以 在(, )上也存在唯一零点- ,fxf0X0f X

28、 ，综上所述，当a= 1时，f)的导函数 在 上的零点个数为 ;322(2) 不等式2cos ()+a x af ()恒成立，即不等式cos )弟cos x恒成立,令sinx=2 22t - , 1,则等价于不等式cos2ta (1- t )()恒成立，2若t = ,即t=1时，不等式()显然成立，此时a ,2cos2t L L(1 t)v v若-1 t 1时，不等式(1)等价于a(2)第24页共21页2 tcos2t 1 t sin2t2h tw当 o 1 时，(1 t )22设 ()罟(- )，th t110( )=( - )( W ,令 t tcos2t 1 t si n2t O12t- )( W ),则 =( 2t 1 cos2t O 12已知=0,2= ,且二 _ ,42 4o则 (”在(o, ),(,1)上单调递减，在(2,)上单调地增,442220 ( )= , 0()=- , 0 ()1综上所述，满足题意的实数 a1 , +R).【点睛】分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.C,AD22 如图，有一种赛车跑道类似 梨形”曲线，由圆弧？和线段 B , CD四部分组A42ABC D成,在极坐标系 Ox中，( 2, - B( , ),( ,),D