1988考研真题数一解析

1、1988 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)解析一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) x 3n(1)求幂级数的收敛域.n 3nn 1 . n 1 n 1 3n x 31n 1x 3,【解析】因为 3 n 1 3nnnn 3n1x3 10 x6故当，即时幂级数收敛.31 1x0 x6n当当时，原级数为交错级数，是收敛的；nn 11时，原级数为调和级数，是发散的.nn 1 .所以，所求收敛域为 x x 0 x,求 及其定义域.f x e , f x 1x(2) 设2，且 x 1x ,xe 1 x 2 1x 0 1x1x0，即 ，【解析】由 x x

2、 1x，得.由得 x 1x ,x所以x y z 1的外侧,计算曲面积分（3）设 为曲面222Ix dydz y dzdx z dxdy .3335.【解析】由高斯公式，并利用球面坐标计算三重积分，得I 3x y z 222（ 是由 所围成的区域） 2d d1r r 3.225000二、填空题(本题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分.把答案填在题中横线上)1f (t) limt(1 )2tx,=.(1)若则 f (t)xx e 1t . 2t【解析】由于1 2tx f t e 1t .2t ，则 2tf t t 1 xxx1 f (t)dt x,(2)设连续且则=_.f (x)f 01

3、.【答案】 3 x1f t x3x f x 1 x2 f 7 1x令，【解析】等式两边对 2301 f 7 .即 1 x 0 f x f x,则 的（2）设周期为 2 的周期函数,它在区间上定义为x x 1 3傅里叶级数在x1处收敛于.3.【答案】2 f 1 f 12 1 3.【解析】由傅里叶级数的收敛定理知，在x1处收敛于222 A , , , B , , ,其中 , ,均为 4 维列向,（3）设 4 阶矩阵量,且已知行列式234234234AB则行列式 AB=.【答案】A+B , , 2 2 2 ,由行列式的性质即得【解析】因为234 , , ,A+B , , 2 2 2 8 , , ,

4、, ,88 41 234234234234三、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)1( )f x x0处的微分 是f(x)x0 f(x)在()(1)设可导且则时20 xxxx(A)与(C)比等价的无穷小低阶的无穷小(B)与(D)比同阶的无穷小高阶的无穷小【答案】 应选（B）12x0 x112x0 f(x )x xf(x)点的微分【解析】 由于在，则，2x0 x0 x x0 x与 为同阶无穷小.则当时，y f(x)y2y4y 0f(x )0 f(x )0f(x)(2)设是方程)的一个解且，00

5、x处(在点0(A)取得极大值(B)取得极小值(D)某邻域内单调减少(C)某邻域内单调增加【答案】 应选（A）【解析】 由题设可知x xf(x)2f(x)4f(x)0，则，令0f(x )2f(x )4f(x) 0( ) 0 x ，又 f处取得极大值.f(x )0f(x )4f(x )0，则 ，000000 x0f(x)由此可知在 :x y z Rx 0 y0， ， :x y z R ，z 0，(3) 设空间区域2222及222212z 0，则(A) 4 4 (B)(D)1 212 4 4 (C)1212【答案】 应选（C）【解析】 由于选项（C）中的被积函数f(x,y,z) zxy既是 的偶函数

6、，也是 的偶函数，坐标面前后对称，又关于 坐标面左右对称，则而积分区域既关于1 4 .12a (x n x1处收敛,则此级数在 x2在处()(4)设幂级数nn 1(A)条件收敛(C)发散(B)绝对收敛(D)收敛性不能确定【答案】 应选（B）a (x n x1处收敛，则当 x1 11 2在时，原幂级数绝对【解析】 由于nn 12-112x2处绝对收敛.收敛，而，则原幂级数在 sn)n, , ,线性无关的充要条件是()(5) 维向量组12s kk ,k ,k kk0 . 使(A)存在一组不全为零的数12s1122ss , , ,中任意两个向量均线性无关(B)(C)(D)12sss , , ,中存在

7、一个向量不能用其余向量线性表示12 , , ,中存在一个向量都不能用其余向量线性表示12【答案】 应选（D） , , ,线性相关的充要条件是该向量组中至少存在一个向量，它可以用其【解析】12s余s1个向量线性表出，而线性无关是线性相关的反面，由此立即知（D）正确.四、(本题满分 6 分)xy2ux22ux y 设u f gxy.( )( )，其中函数 、 具有二阶连续导数，求yx【解析】uxxy yyu 1x y2y( )x2f ( ) g( )g ( )fg ( )，yx xxx2yy x32ux y xxyy2u2ux y xf( ) g( )xy0.，所以y2y x2xx2五、(本题满分

8、 8 分)y3y2y 2e，其图形在点x(处的切线与曲线y y(x)设函数满足微分方程1y x xy y(x).2在该点处的切线重合,求函数Y Ce C e【解析】对应齐次方程的通解为x2x.12y 设原方程的特解为x ，代入原方程得A2.故原方程通解为y(x) Ce C e2y x x1(在点 处有公共切x2xx.又已知该函数图形与曲线212yy |1| 1， ，线得00 xxy 2x)e.xC C 1 C C 1C 1 C 0代入通解有，,解得,.所以121212 9 分）k(AM(k 0rA M的引力大小为为常数， 为质点 与 之间的r2)M自运动到距离 ，质点沿直线M质点的引力所作的功

9、.【解析】 如图所示，f引力22的方向与一致，故kr3从而，引力所做的功k1Wr53 6 分）A已知，其中求 ，0 0 11 0 01 0P12 ，由 ，得【解析】4 1 11 021 4 1 1A ( )( )( ) PB(P P)B(P P)(P P) P .5111111151 8 分）A 0 0 1 B 0 y 0已知矩阵相似.与(2)求一个满足的可逆阵.P 1A P B(1).EA EB，即 2 00 2000010 y 0 ，可得1 x00 1( x ( (1 ) )22xy 1比较系数可得：2 0 02 0 0A 0 0 1 B 0 1 0此时：，；0 1 00 0 1A B 2

10、,1,1（2）从题中可得到 和 的特征值为p 1(1,0,0)T当当当可求得 A 的特征向量为可求得A的特征向量为p 2Tp 3(0,1,T可求得 A 的特征向量为1 0 0p 0 1 1PP B.1令，且 可逆，且有0 1 1 9 分） a,b内有f (x)0a,b内存在唯一的 ,f(x)a,b证明:在设函数使曲线在区间上连续,且在S1y f (x)是曲线 与两直线y f (x)y f ( ) xa与两直线,所围平面图形面积Sy f ( ) xb,所围平面图形面积 的 3 倍.2存在性 a,bf t f x f x f t b t( ) ( ) 3 ( ) ( )F t( )tbt在上任取一

11、点 ，令，at Ft) a,b上连续，则在 f (x)0f(x) a,b在 上单调增加，故又因又F abf x f a b a( ) ( ) 0( )3aFb)bfb) f(x) ba)fb)bf(x)aa a,bF( )0，即S S1所以，由零点定理可知，在内存在一点 ，2唯一性因F t) f tta)bt0 a,b a,b内只有一个 .Ft)故，在内是单调增加的，因此，在十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)1927A(1)设在三次独立试验中,事件 出现的概率相等,若已知 至少出现一次的概率等于,则A1A事件 在一次试验中出现的概率是_ _.35(2)若在区间内任取两个数,则事件”两数之和小于 ”的概率为_.6(3)设随机变量 服从均值为 10,均方差为 0.02 的正态分布,已知X1u2(x)e du, 2xX内的概率为，则 落在区间_0.9876_.1【答案】