12常用逻辑用语(3)(反证法)20202021学年高一数学新教材配套课件(沪教版2020)

1、第一章 集合与逻辑1.2常用逻辑用语（3）（反证法）综合法条件结论数学推理条件定理公理定义P Q1Q1 Q2Q2 Q3Qn Q由因导果复习分析法要证：只要证：只需证：显然成立上述各步均可逆所以 结论成立格 式复习Q P1P1 P2P2 P3得到一个明显成立的条件执果索因1.直接证明的方法:(1)比较法:作差比较法;作商比较法;(2)综合法:(3)分析法:2.没有特别要求的证明题: 用分析法寻找证明思路,用综合法写出证明过程!1.了解反证法是间接证明的一种基本方法；2.识别反证法所适用的数学问题；3.理解反证法的思考过程（反设，归谬）；4.会用反证法解决数学问题.反证法学习目标：壮壮:不会吧，我

2、今天还碰到了阳阳和她妈妈呢!上述对话中,壮壮要告诉妈妈的命题是什么?阳阳全家没有外出旅游.妈妈:壮壮,听说阳阳全家这几天正在外地旅游.壮壮是怎样推理该命题的正确性的?从而阳阳全家没有外出旅游.假设阳阳全家外出旅游,那么今天不可能碰到阳阳,这与今天碰到阳阳和她妈妈相矛盾,所以假设错误,例1：已知：A，B，C是ABC的内角。 求证：A，B，C中至少有一个角大于等于60即 A60，B 60，C 60所以 A+B+C0,y0，x+y2， 求证： 中至少有一个小于2.证明:假设 均不小于2，则 x0,y01+x2y，1+y2x将两式相加得:x+y2，与已知x+y2矛盾，所以 中至少有一个小于2。总结回顾

3、:1. 反证法证题的一般步骤:假设原命题不成立得出矛盾假设错误原命题成立经过推理得出结论与定理、公理、基本事实、已知条件、定义、假设等矛盾。2. 反证法适用于： 如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面正明，只要研究一种或很少的几种情形，即“正难则反”思考交流：已知a0，用反证法证明：关于x的方程ax=b有且只有一个根证明：由于a 0，因此方程至少有一个根x=b/a，假设方程不只一个根，不妨设x1,x2 （x1x2)是方程的两个根.宜用反证法证明的题型 （1）以否定性判断作为结论的命题.（2）某些定理的逆命题.（3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈 述的命题.（4）关于“

4、唯一性”结论的命题.（8）涉及各种“无限”结论的命题等.（7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段.（6）一些不等量命题的证明.（5）解决整除性问题.原词语 否定词 原词语 否定词 等于任意的是 至少有一个 都是 至多有一个 大于 至少有n个 小于 至多有n个 对所有x,成立对任何x，不成立 准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式. 不是不都是不大于大于或等于一个也没有至少有两个至多有（n-1)个至少有（n+1)个存在某x，不成立存在某x,成立不等于某个原词语 否定词 p或qp且qp且qp或q1.写出下列各结论的反面：（1）a/b； （2）a0；（3）b是正数

5、；（4）aba0b是0或负数a不垂直于ba不平行b练习2. 用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，应假设 _ .三角形中有两个或三个角是直角3.否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为（ ）A.a，b，c都是奇数B. a，b，c都是偶数C. a，b，c中至少有两个偶数D. a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数D4.用反证法证明（填空）：在三角形的内角中，至少有一个角不小于60已知：如图， ，是的内角求证： ，中至少有一个角不小于600.证明：假设所求证的结论不成立，即60， 60， 60则1800这于矛盾所以假设，所以，所求证的结论成立三角形三个内角的和等于180不成立

6、5.求证：在同一平面内,如果一条直线和两条平 行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.已知:直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1l2,l3与l1相交于点P.求证:l3与l2相交.l1l2l3Pl3与l2 不相交.l3l2l1l2 经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行这与“_ _”矛盾.证明:假设_,那么_.因为已知_,所以_,即求证的命题正确.所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,假设推理矛盾假设不成立命题成立23例1、已知a0，证明：关于x的方程 ax=b有且只有一个根.分析：由于a0，因此方程至少有一个根x= 。从正面较难说清为什么只有这个根，我们采用反证法，即证明如果不只一个根则会导致矛盾。 典例剖析24例1：已知a0，证明：关于x的方程ax=b有且只有一个根。用反证法证题时,应注意的事项 :（1）周密考察原命题结论的否定事项， 防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说 明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条 件，否则推不出矛盾，或者不能断 定推出的结果是错误的