位移法的典型方程及计算步骤讲解

建筑力学主讲人：田宁1位移法基本概念2位移法典型方程及计算步骤3位移法应用示例4应用转角位移方程计算超静定结构目录

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第15章

位移法2位移法典型方程及计算步骤

如图（a）所示的刚架，杆件31和42有侧移发生，这类结构称为有侧移结构。经分析可知该刚架有一个独立的结点角位移Z1和一个独立的结点线位移Z2，共有两个基本未知量。2）位移法的典型方程

在结点1处增加一附加刚臂，在结点2处增加一附加水平支座链杆(当然也可在结点1处增加一水平支座链杆)，得到如图（b）所示的位移法基本结构。

令附加刚臂产生与原结构相同的转角Z1，令附加链杆产生与原结构相同的线位移Z2，再将荷载加到基本结构上，便得到位移法基本体系。如（c）图所示。

根据基本体系与原结构完全等效，即基本体系的变形和内力及反力与原结构完全相同。由于原结构在结点1和2处并无约束，也就没有反力偶和反力，因此基本结构在结点位移Z1、Z2和荷载共同作用下，附加刚臂的附加反力偶R1和附加支座链杆的附加反力R2都应该等于零。2）位移法的典型方程

设基本结构在结点位移Z1单独作用下引起的附加刚臂上的附加力偶为R11，引起的附加支座链杆的反力为R21；在结点位移Z2单独作用下引起的附加刚臂上的附加力偶为R12，引起的附加支座链杆的反力为R22；在荷载单独作用下引起的附加刚臂上的附加力偶为R1P，引起的附加支座链杆的反力为R2P。

根据叠加原理，可得2）位移法的典型方程

再设基本结构在单位结点位移分别单独作用下所引起的附加刚臂的附加反力偶分别为r11、r12，附加支座链杆的附加反力分别为r21、r22，物理意义：基本结构在所有的结点位移和荷载共同作用下，每一个附加约束上的附加反力偶和附加反力都应等于零。因此典型方程实质上反映了原结构的静力平衡条件。位移法的典型方程则有：2）位移法的典型方程

对于有n个独立结点位移的超静定结构，相应地在基本结构中应加入n个附加约束，根据每个附加约束的附加反力偶或附加反力均应等于零的平衡条件，即可建立n个方程：典型方程中，主对角线上的系数rii称为主系数或主反力，其它系数rij(i≠j)称为副系数或副反力，RiP称为自由项。

系数和自由项的正负号规定为：与该附加约束所设的位移方向一致为正，相反则为负。2）位移法的典型方程

根据反力互等定理可知，位于主对角线两侧对称位置的两个副系数rij与rji是相等的，即rij=rji。

主反力rii表示基本结构在单位结点位移单独作用下所引起的第i个附加约束的附加反力偶或附加反力，由于其方向总是与所设位移的方向一致，故主系数恒为正，且不会等于零。

副系数rij表示基本结构在单位结点位移单独作用下所引起的第j个附加约束的附加反力偶或附加反力，其值可能为正，可能为负，也可能等于零。

自由项RiP表示基本结构在荷载单独作用下所引起的第i个附加约束的附加反力偶或附加反力，其值可能为正，可能为负，也可能等于零。2）位移法的典型方程

在位移法的典型方程中，由于每个系数都是由单位结点位移所引起的附加约束的反力或反力偶。很明显，如果结构的刚度越大，那么这些反力或反力偶也就越大，因此这些系数又称为结构的刚度系数，位移法典型方程也称为结构的刚度方程，位移法也称为刚度法。2）位移法的典型方程

绘出基本结构在单位结点位移和荷载分别单独作用下的弯矩图，即图、图、MP图:

取结点1为隔离体，由力矩平衡方程可求得附加刚臂上的附加反力偶分别为：2）位移法的典型方程位移法的典型方程：将系数和自由项代入典型方程，得解得:

所得结果为正值，说明结点1、2的实际位移方向与图(c)中在Z1、Z2所设的方向相同。

用截面截割两柱顶端，取柱顶端以上水平杆部分为隔离体，并由表查出柱13、24的顶端截面剪力:由投影方程可求得附加支座链杆的附加反力分别为：2）位移法的典型方程结构的最后弯矩图为：结构各杆端最后弯矩可由叠加法求得：2）位移法的典型方程

（1）确定原超静定结构的基本未知量，即确定原超静定结构的独立的结点角位移和线位移，加入附加约束得到基本结构。

（2）令各附加约束产生与原结构相同的结点位移，根据基本结构在所有的结点位移和荷载共同作用下，各附加约束处的附加反力偶或附加反力均应等于零，建立位移法的典型方程。3）位移法的计算步骤由前面的分析讨论可知，位移法的计算步骤为：

（6）根据弯矩图由静力平衡条件绘出剪力图，再根据剪力图由静力平衡条件绘出轴力图。（4）求解典型方程，求出基本未知