高等数学习题2

1、 题1试讨论以下函数在定区间内是否存在一 ，f) ：1 f ( ) x ，解 因为f在0,连续，在(0, 1 ) 可导，且 f (0) ( ) ，所以由 Rolle 定理，)，使得f) 。2证明方 这里 为数在区间0, 1内不可能有两个同的实根；证 设f ( x) x 由方f 在(0, 1)内没有根以由 ， 方程 在区 0, 1内不可能有两个同的实根。2方程xpx 0n 为整数 n 为偶数时至多有两个实根当 n 为奇数时至多有三个根。证 设f x) px ，于是f n p 0。当 n 为数时，-1 为奇数，故方程f nx 0至多有一个实根因为幂函数nx p严格递增从而方程xpx 至多有两个实根

2、当 n 为 奇 数 时 ， -1 为 偶 数 由 上 述 证 明 关 的 结 论 有 ： 方 程f n p 0至多有两个实根方程x n px 0当 奇数时至多有三个实根。3证明假设函数f和均在区间I上可导f g， I则区I上f和只相差一常数，f ( x) g ( x 为一数证 令F ( ) f ( x) ( x) F 在区间 I 上导F g ，由推论 ，存在常数 ，使得F ( ) ，即f ( x) g ( x 584明 假设数 在 上可导f 则 (b ) m )2假设函数 在 , b上可导，且| f M ， | f (b ( a) (b )3对任意实数 x12，都有| x x |1 2 1证

3、因为f在a b上可导，所以f在a b上满足 中定理的条件于是 , )，使得f (b) f ( ) f )1因为f ，所以f b) f ( a f)( ) m(b )，从而有f (b) ( ) m (b )2因为| f M ，以 f (b f ( ) ) M b )3不妨设 x12，正弦函数f ( ) sin 在 x 1 2上连续，在( x , x ) 1 2可导，于是 b，使得| sin x |cos1 2| x 1 2 2 15应用拉格朗日中值理证明以下不等式：1 b b a a，其中 证 设f ( x 则f在a b上连续且可导以f在 b上满足 中值定理的条件于是 )，使得lnln b (

4、，因为0 ，所以 b ，从而 b b ln a a2 2 arctan h ，中 h 证设f ( x x ， f 在 h上满足 中值理的条件，于是 )，使得arctan arctan arctan 0 f h1 。因为590 ，所以h 1 1 ，从而 2 arctan h 。6确定以下函数的单区间：1f ( x) x f x) xln x3 f ( x) 2 2f ( x) 解 f ，令 f ，得 当 时， 递；当 2时，f ，f递减。2f的定义域为 。f 4 x x x，令f ，得 当 1时， 递减；当 时 f 2 ， f 递增3 的义域为 。 f 1 2x 2，令f ， 当0 时 f ，

5、f 递增；当1 2 时 f ， f 递减4f的定义域为 。 f x x 20，故f在其定义域( 0) (0, 递增。7应用函数的单调性明以下不等式：1tan x x ， (0, )证 设f ( x x ，则 f 在 x 续，且f 0。因为f x tanx 0 ， x ) ， 在 (0,)严格单调递60增，又因f在 连续，于是f ( ) (0) ，从而tan x x ， (0, )。2 x x x ， x )证 先证 x x x 2 x 此明： f ( ) x f在 连续，且f ( ) 。因为f cos x sin x ( x tan x) 2 20， )。所以 在 (0, sin x ) 格单

6、调递减，于是 f ( x ) f ( ) 0 ，从而 ， x (0, 2。其次证明：sin x。设f ( x) x x，则f在 连续，且f (0) 0。因为f 0， )。所以f在(0,)严格单调递增，因f在 连续，于是f ( ) (0) 0 ，从而 x sin x ， )。3 x ln(1 ) 2 2(1 x )， 证 先证 2 ) x ( ) x )f在 连续且f (0) 0 。因为 f 0 x 1 ， 。所以f在 严格单调递减因 在 x 连是f ( ) (0) 从而 ) ， 。其次证明：ln( ) 2 x 2 ， 。 f ( ) ) )ln(1 )，则f在 连续f (0) 0为f 2 1

7、0 2(1 ) 1 (1 ) 。所以 f 在 严格单调递，又因f 在 连，于是f ( x (0) 0，从而61 ) x 2 )， 。8 ( x)记由( f ( ,(b f (b),( x, f x )三点组成的三角面积 , 试对 ( x)应用罗尔中值定证明拉格朗日中值定.证明 因为 f ( 1S ( ) f (b 1 , 假 f ) 在 a f ( ) 1连续 , 在( a b)可导 则易见 ( x)也在 连续 在( a b)可导 且 ( a) ( ) 0. 故由罗尔定理知 存a b), 使 . 而S f ( a 1f ( 1 ff 0 ) f (b) ( a, 故f b) f ( ) f)(

8、b .1试问函数f x) x ) 在区间 1 上能否应用柯中值定理得到相应的结论，为什么？解 因为f x, x，故当 时 f 0, g ，不满足柯西中值定理的条，所以在区间 1上不能柯西中值定理。2设函数 f 在 , b上可导，证明：在a b)，使得 f ( ) f ( ) ) f)证设F ( ) f (b ) f ( ) b) f x)，则F ( x)在a b上连续并可导 ， 且F ( a) 2 f (b) f a (b )， 由 Rolle 定 理 ， 存 在 , )， 使 得F ) f (b ) f ( ) b) f) 0，从而621 1 f ( ) f ( ) f)3设函数 f 在点

9、处有连续的二阶导数。证明：h f ( ) f ( a ) f ( ) f证 因为f在点 处具有连续的二阶导数，所以f在点 的某邻域 U ( a内具有一阶导数，于是由必达法则，分子分母分别对h求导，有limh 0f ( a ) f ( a ) ( a)h 2limh f ) f 2 )1 f ) f f lim2 h 0 h f )1 f (lim2 ) f hh 0f ) f 1) ( 4设 。证明存在，使得sincossin cot证设f ( x) sin x，g ( x cos x，则f g 都 续，在 可导，且f都 不 等 于 0 ，g (。 柯 中 值 定 理 ， 存 在， 使 得si

10、ncos cos sin ，即 sin cossin cot5求以下不定式极限12lim 0lim e x xlim sin x 0 cos x 2sin x 3 lim x x 3 limx ln(1 ) cos x x 1x lim sin x 0 1 4lim 0tan x sec x x 2 2 xlim lim lim lim sin 1 x x 0 cos x 0 1 cos x 0 sin 63 x x 56tan x sec 2 x sec x lim lim lim lim sec x sec x x 2 2lim 0 xe x lim x 0 x( ee x 0 2ee x

11、 1 2 7lim(tan )x sin 2 x解 x ) x x ln(tan x) ln(tan x)lim x 0 1 lim x 0 x tan xsin x x x所以lim(tan x)sin xlim sin ln(tan ) x 8x 111 ln x ln 解 因为 lim ln lim lim 所以 lim x x 1 x1 1 1 x 9lim(1 )xx 解 因为lim 2 ) lim 0 ) lim 0 1 所以lim(1 )xlim x)x 0 xlim sin x lim x lim lim x x x 0 x lim x x21 1 11 lim sin 0si

12、n x lim 2 x x 464 ln 3 5lim ln 3 5 x x 2 x x lim lim x x 0 x 2 x 0 0 tan x xtan 1 ln 2 xlim 0ln(tan x ) x sec 2 1 x2 xlim x sin cos 2 x sin lim x sin 2x x 2 x 1 lim lim 3 0 cos x 0 x 2 x 0 12 x 所以 x 0 x tan x 题1求以下函数带佩亚型的麦克劳林公式1f ( x) x解f1 1 ) ， f x 22 ，f 31 2(1 72，f ( n ) ( ) 1 2 )2 2麦克劳林公式为f ( x )

13、 2 1 1 x 2 2 2 3! 2 n !f ( ) arctan x 到有 x 的 n )解 因为f x2， f 所以( ) f 。在此式的两端用莱布尼兹公式，分对x求n阶导数，得(1 ( n ( x) 2 xf ( ) ( ( n f( ( ) 令 x 得推公式：f( n (0) n ( n (0)65x limx lim因为有f ，于是f，f(0) 。又因为f x 2 )2， f 以n为偶数时，f ( ) (0) 0从而arctan 24 1 1 x ( x 5 ) 3 x 5 x 3! 5! 53f ( ) tan x到含有x5的项解f x ， f f2 tan x x，ff co

14、s ，ff(4)( ) 8sin cos 5 ，f (4) (0) 0f( ) 2 6 ，f (5) (0) 16tan x x 2 3 5 ( x ) x x 3! 5! 3 155 ( 5)2按例 4 的法求以下极限1x x 2 x (1 ( 2 )( ( x (1 x ) x 3 x 3) (1 limx x x 3( x 2 ) ( 3 ) 3x 0 2 ln(1 1 1 ) lim ( ( ) x 2 2 x 23 lim ) 1 x cos x x) lim ( ) lim x x x x x 2 66limx x 1 x ( x 3 ) x3! 2x 2 ( x )limx x

15、( xx 3)3求以下函数在指定处带拉格朗日余项的泰勒公式：1f ( x) x x，在 处；解f (1) 10；f x x，f ；f ，f；f( n )( ) 0, 。所以f x) 10 x x 2f x) ，在 处解f (0) ；f )2，f ；f( )( x) ( n ! ) n ，f ( n ) (0) n n!。所以 x2345 xn( n n xn ，0 1求以下函数的极值1f x) xx解f x x2 x (3 x) 令 得定点 0,列讨论：fx( +00 )+0( , f ( )无极值极大值为27162f ( x) x 267解xff2(1 2 (1 ) ( ，令f 得定点 x

16、( 1)-10+。列表讨论：10(1, f ( )极小值为1极大值为 3f ( x (ln x)解f ln x (ln x) ) ln x 2，令f 得稳定点x e。列表讨论：x(0, 1(1, ) (e, ff ( x )0极小值为 +0极大值为e4f ( x) )解f x 2 ， 令f 得 定 点 。 由 于fx ) 2， 1f ，以 在 x 有大值 f (1) 2 4 22设 f ( ) 2 0 1证明： 是小值点；2说明f的极小值点 处是否满足极值第一充分条件或第二充分条件证 对任何 ，有f ( x) sin 2 (0)，故 是极小值点。680， (0) 2当0， (0) 时，有f 4

17、 x32 1 1 1 x 2 x 2 (2 sin x x x x，作数列x n12 2， n2n14，则 0，y 0。即在 的任何右邻域 0 内既有数列 中的点也有数列 中的点并且f ) ，f ) ，所以在 0 内f的符号是变化的从而f不满足极值的第充分条件。又因为 limx 01 1 1 x 4 sin 2 (2 sin cos ) x x x xx 0 x0，所以用极值的第二充条件也不能确定f的极值。1求以函数在给定区间上的最大最小值y x 2解y x x x( x x( 令 得x 1, 3 2 y ， (1) ， y( ， (2) 于是 在 处取得最大值 2，在 处取得最小值-10。2

18、y x tanx ，)解y x sec 2sec 2 (1 )，令，得 。因为 (0) ， ( ) 4且lim (2 x x) lim tan x(2 tan x) x 2 于f在 处取得最大值 ，无最小值。3 ln x, 解 xln x x ln x，令得 x 。因为 (e ) e，且lim ( x ln ) ， lim x ln ) 在 处得最小值 0 e，无最69大值。5f ( x )在区间 I 上连续且在 I 上有唯一的极值点 x 证明设 x 是 的 极大小值点则必是f在I上的最大小点。解设是f的极大值点。用反证法假 0不是 在 I 上最大值。于是存在 ，使 f ) f ( )1 。不

19、妨设x x 则 f 在闭区间 0 x 1上连续从 f 在 x x 上有最小值点 x 是f的极大值点，所x，1，于是是f的极小值点，这f在I上仅有唯一的极值点 x 矛盾。P.155 习题按函数作图步骤作以下函数图象1y x x x 20解y x x ，令，得稳定点 y ， y 2y x 2 2解定义域 x ， y (1 ，令 得定点 x ，令0得 12渐近线 y x( ( 0(0, )( , +0+0+70y凸增凸减极小值 凸增拐点 1( , 凹增71 a a 总习1证明：假设f ( x )在有限开区间( b)内可导，且lim f ( x ) lim a f x )，则至少存在一点 f使 , b

20、，证 令f ( x) a x F ( ) lim f ( x x ， F 在 a, lim f ( x) 内连续，在( b)内可导，且F ( a ) lim f ( lim f ( )。于是由 Rolle 定，至少存在一点 a, b，x a x b使F ，而在( b)内有F ( ) f ( x )，F f ，从而f 。填题1 x sin 1 ； lim x x x2 lim(1 ) x ； ) x 03设 , , n 2 则lim 4lim ( 1 ) ；lim ( x ) 5假设lim 1 2 ，则 ， 72 )x )x 6 ， 0 7当 x 时 ) 2当3当 时，时，e (1 ) 8假设函

21、数f ( x) x ，则 lim f ( x f ( x ) 0 0 9设函数 f ( ) 0在 连续，则 10假设函数 x , x f ( ln( ), x 0在( 连续，则 设f在 连续，且f (1) ，则 f ( x ) x 12设E | 1) 中理 ，则 ；inf E 13设E x | x ，则 ；inf E 。14假设函数f ( ) a 可导，则h 0f ( a ) ( h)15假设函数f ) 0 ，则 lim af ( x) f ( a16设lim f ( ) ( )a ， f存在，则f 17假设函数f ( x ) 在 连，lim f x) 0 x ， 1f ( x) ，f则18设

22、曲线 y ax 与线 ln x相切，则 7319设函数 则dx 0 f ( x) 在 有续数，且 f (cos x ) f，20设函数f ( x)在( 上可导，且，f ，f ，则f ( x 选题1设lim | nn ，则 (A) 数列 收敛；(B)lim x ann ；(C)lim nn ；(D) 数列 可能收敛，也可发散。2设x y ，且 lim( y x ) 0 ， 与 n nn (A) 都收敛于a(B) 都敛但不一定收敛于a(C) 可能收敛，可能发散；(D)都发散。3设数列 收敛，数列y 发散，则数列 y n (A) 收敛；(B) 发散(C) 是无穷大；(D)可能收敛也可能散。4设xn(

23、 n，则数列 是 (A) 无穷大；(B) 无小；(C) 无界量；(D) 有界量。5设 n sinn，则数列 是 (A) 收敛列；(B) 无穷大；(C) 发的有界列；(D) 无界但不是无穷大。6当 ， ( ) 1 是 (A) 无穷小；(B) 无穷大；(C) 有但不是无穷小；(D) 无界但不是无穷大。7当 a时，f ( x )为无穷大，g ( x )为有界量，则f ( x) ( x)是 (A) 无穷大；(B) 有界量；(C) 无但不是无穷大；(D) 以上都不对。8设lim f ( ，lim f x) ，则 x a (A) (B) ；(C) ；(D) 以上都不对。742 9设函数 f 在 ( 2 上

24、单调，则f ( a 与 ( (A) 都存在且相等； (C) 有一个不存；(B) 都在但不一定相等； (D) 都不存在10设lim f ( ) ， lim f ( )x ax (A) 存在且等于 ； (C) 存在；(B) 不在；(D) 可能存在，也可能不在。设lim | f ) |b ， | lim f ( x) | x a x (A) 存在且等于 b (C) 不存在；(B) 存在等于 ；(D) 不一定存在，假设存即为 b 。12设f x sin x ，则 是 的 (A) 连续点； (B) 可间断点； 跳跃间断点； (D) 第二类断点。13设f在x连续，且 ( x ) ，有f ( x) 0，则 (A)f x ) 0 ； (B)f ( x ) ； (C)f ( x ) ； (D)f x ) 0 14假设函数 在 ( b)的任一闭区间上续，则f (A) 在 , b上连续；(B) 在( b)上连续；(C) 在( b)上不连续； 在( b)上可能连续，也能不连续。15假设函数 在 ( b)上连续，则f (A) 在( b)有界；(B) 在( a b)无界；(C) 在( b)的任一闭区间上界； (D) 在 b有界。16假设0，函