灰色系统预测GM(1,1)模型及其Matlab实现

1、 1GM(1,1Matlab预备学问灰色系统一局部信息未知或不确定。灰色推测 推测。尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但到底是有序的、有界的，因此 测。GM(1,1)模GM(1,1)的预 测是格外成功的。灰色系统的模型 GM(1,1)GM(1,1) 的一般形式设有变量X(0) X(0) (i)，i=1,2 ，.，n为某一推测对象的非负单调原始数据列，为 建立灰色推测模型：首先对 X(0)进展一次累加 (1AGO, Acumulated Generating Operator)生成一次累加序列：X(1)X(1)(k)，k1，2，n其中kX(1)(k)X(0)(i)i1X(1)(k1)

2、+ X (0)(k)(1)对X(1)可建立下述白化形式的微分方程：dX(1)dtaX(1) u(2)即GM(1,1)上述白化微分方程的解为 ()：uuX (1)(k+1)(X(0)(1)a)eak a或uuX (1)(k)(X(0)(1)a )ea(k1) a式中：k为时间序列，可取年、季或月。辩识算法Ta记参数序列为 , a,u , 可用下式求解:Tan (BTB)-1BTY(5)n式中:BYn数据列1B(X(1) (1) X(1) (2)121(6) 12.1 1推测值的复原Yn(X(0)(2), X(0)(3), X(0)()T7GM k n+1,n+2,时刻的推测值，必需将 GM 模型

3、所得数据(1)(k+1)(或(1)(k)经过逆生成,即累减生成(IAGO)复原为(0)(k+1)(或(0)(k)才能用。X X (1)(k)i1(0)(i)k1i1(0)(i)(0)() (0)() (1)(k)k1i1(0)(i)X kX 由于(1)(k-1)(0) (i)，所以i1(0)()(1)(k)(1)(k -1)。应用举例2022 年2022 ,1。1 某高校专业招生数据表年招生人数202213220229220221182022130202218720222071 中的数据构造原始数据列X(0),即X(0)X(0)(1),X(0)(2),X(0)(3),X(0)(4),X(0)(

4、5),X(0)(6)132,92,118,130,187,207X(0)(1AGO)，生成数列：kX(1)(k)X(0)(i)即i1X(1)X(1)(1),X(1)(2),X(1)(3),X(1)(4),X(1)(5),X(1)(6)132,224,342,472,659,866和数据阵 B、数据列 Yn1781BB1 ，Y1n(92,118,130,187,207) T 4071 565 .51 762 .51由式(5)得a a,uT 0.20556 由式(4)得灰色推测模型 GM(1,1) 为uuX (1)(k)(X(0)(1)a )ea(k1) a(132277.0137483) e0.

5、205(k1) 277.0137483409.0137483 e0.205(k1) 277.0137483推测值及推测精度见表 2。年年计算值1AGO还原值实际值误差拟合相对误差()2022132132132132002022225.06087962249392112022339.295441834211411843.382022479.52123472140130107.692022651.65196591721871582022862.946612986621120741.9320221122.31616725925272.78由表22022年某专业招生人数推测值为 259人。由于人数为整

6、数，所以结果取整数局部。GM(1,1) 是一种长期推测模型，在没有大的市场波动及政策性变化的前提下，该预测值应是可信的。如前所述，影响招生人数的因素很多且难以推测。因此，在承受灰 色系统理论进展定量推测时，假设存在对推测对象影响较大的因素，就要在定性分析 的根底上，查找原始数据信息的突变点的量化值，然后再对推测值进展必要的修正， 使推测值更接近实际状况，提高推测值的可信度，为科学决策供给牢靠的数据。另外， 假设作长期推测，要考虑对上限值的约束条件。应用灰色推测模型 GM(1,1) 应用灰色模型进展推测较之其它常规的时间序列推测法有以下显著的特点。灰色模型是一种长期推测模型，将推测系统中的随机元

7、素作为灰色数据进展处理，而找出数据的内在规律。进展推测所需原始数据量小，推测精度较高，无须像其它推测法要么需要数据量大且规律性强，要么需要凭阅历给出系数。理论性强，计算便利，籍助计算机及其程序设计语言，使得数据处理简便、快速、准确性好。用有限的表征系统行为特征的外部元素，分析系统的内在规律。灰色系统理论承受对系统的行为特征数据进展生成的方法，对杂乱无章的系统的行为特征数据进展处理，从杂乱无章的现像中觉察系统的内在规律，这是该方法的独特之处。适用性强。用灰色模型既可对周期性变化的系统行为进展推测，亦可对非周期性变化的系统行为进展推测；既可进展宏观长期的推测，亦可用于微观短期的推测。2灰色系统模型

8、的检验1.设原始序列X (0) x(0) (1),x(0) (2),x(0) (n)相应的模模拟序列为 (0) (0) ),(0) (2),(0) (n)(0) (1),(2),(n) x(0) ) (0) ),x(0) (2) (0) (2),x(0) (n) (0) (n)相对误差序列 nk 1(2)x(0) (2)x(0) (2)(n)x(0) (n)对于kn,称k为k 点模拟相对误差称 (k)x(0) (k)为滤波相对误差，称 nk1 (n)x(0) (n)称1 为平均相对精度，1 n为滤波精度；3.给定 ，当 ，且n2 成立时，称模型为残差合格模型。X(0) (0) X(0) (0)

9、 确实定关联度，假设对于给定的03 0, 0，则称模型为关联合格模型。X (0) (0) 为相应的模拟误差序列， (0) 为残差序列。x 1nx(0) (k) X (0) 的均值，s2 1k1n(x(0) (k) x2 x (0) 的方差，k1 1n(k为残差均值， 21n(k2 为残差方差，k1s称c2 为均方差比值；对于给定的cs10，当c c0时，称模型为均方差比合格模型。pP (k)p0,p p100型为小误差概率合格模型。精度检验等级参照表指标临界性精度等级相对误差关联度均方差比值小误差概率一级0.010.900.350.95二级0.050.800.500.80三级0.100.700

10、.650.70四级0.200.600.800.60一般状况下，最常用的是相对误差检验指标。应用举2、设原始序列X (0) x(0) (1),x(0) (2),x(0) (3),x(0) (4),x(0) (5)建立GM(1,1)模型，并进展检验。解：1X(0) 1-AGO，得D X (01-AGO X(1) x(1) (1),x(1) (2),x(1) (3),x(1) (4),x(1) (5)2)X(1) 作紧邻均值生成，令Z(1) (k 0.5x(1) (k) 0.5x(1) (k 1) 于是， z(1) (2)14.513x(0) (2)3.278 B17.820 x(0) (3)Y 3

11、.337 11.84(0)3.390(4)x(4)3.679 z) )x(0) )4.5131BB 4.5137.82011.18414.7187.82011111 11.8417181 423.22138.2353.2354(BB)1 423.221 38.2351 0.0173180.16554238.235140.16655421.83237138.235423.221438.23523423.221438.23521438.23538.235423.221230.969 (BB)1 BY3.278 0.0173180.1655424.5137.82011.18414.718 3.337

12、0.16655421.8323711113.3903.6793.2780.0873860.0301150.0281430.0893441.0852800.53783310.6040763.3903679 0.037156 3.065318 3确定模型dx(1)dt0.037156x(1) 3.065318准时间响应式bb) (k ) (x(0) )a)eak a85.3728e0.037156k 82.4986求X (1) 模拟值 ),)(2),)(),)(4),)()=(2.8740,6.1058,9.4599,12.9410,16.5538)X (0) 的模拟值，由(0) (k ) ) (

13、k ) ) (k)得 (0) (0) ),(0) (2),(0) (),(0) (4),(0) )=2.8740，3.2318，3.3541，3.4811，3.61286误差检验序号实际数据模拟数据残差相对误差x( 0)(k)(0) (k) (k) x(0) (k) (0) (k)k (k)x(0) (k)23.2783.23180.04621.41%33.3373.3541-0.01710.51%43.3903.4811-0.09112.69%53.6793.61280.06621.80%残差平方和(2) (3)(4)(5)(4) 0.0462 0.01710.0911 0.0662 =0.

14、0151085平均相对误差 15 4kk1 1 (1.41% 0.51% 2.69% 1.80%)4=1.0625%计算X 的灰色关联度S 4k2(x(k) x(1) 1(x(5) x(1)2=(3.2782.874)(3.337 2.874)(3.3902.874)0.4040.4630.5160.4025=1.78551 (3.679 2.874)24(k)1()2(3.2318 2.874) (3.3541 2.874) (3.4811 2.874)0.3578 0.4801 0.6071 0.3694=1.81441 (3.6128 2.874)24(x(k)x)(k)1(x)x)()

15、2 (0.35780.404)(0.48010.463)(0.60710.516) 1 (0.36940.4025)2 0.0462 0.0171 0.0910.01655=0.045351 S 11 S 1 S S =0.99020.90精度为一级，可以用11.7855 1.8144 0.045354.64525) (k ) 85.3728e0.037156k 82.4986(0) (k ) ) (k ) ) (k)推测。functiony,p,e=gm_1_1(X,k)%graymodel:GM(1,1)%Exampley,p=gm_1_1(200250300350,2)if nargou

16、t3,error(”Too many output argument.”);endifnargin=1,k=1;x_orig=X;elseifnargin=0|nargin2error(”Wrongnumberofinputarguments.”);end x_orig=X; %AGO process %computethecoefficient(aandu)-n=length(x_orig);%first generate the matrix Bfori=1:(n-1);B(i)=-(x(i)+x(i+1)/2;endB=B”ones(n-1,1);%then generate the m

17、atrix Yfor i=1:(n-1); y(i)=x_orig(i+1);end Y=y”;%get the coefficient. a=au(1) u=au(2)au=(inv(B”*B)*(B”*Y);%-%changethegreymodeltosymbolicexpressioncoef1=au(2)/au(1);coef2=x_orig(1)-coef1; coef3=0-au(1); costr1=num2str(coef1); costr3=num2str(coef3);eq=strcat(costr1,”+”,costr2,”e(”,costr3,”*(t-1)”);%comparisonofcalculatedandobservedvaluefort=1:n+predictmcv(t)=coef1+coef2*exp(coef3*(t-1);end x_mcve=x_orig(1) x_mcv0; x_mcv=diff(mcv(1:end-predict)