平面应力状态下的应力研究

1、xybzacd图 9-2(2)9-2 平面应力状态下的应力研究 应力圆平面应力状态的普遍形式如图 9-2 a 所示 。单元体上有x ,x 和 y , y。单元体用平面图形来表示(图9-2b)1一、斜截面上的应力xy图9-2nef1、 截面法: 假想地沿斜截面 ef 将单元体截分为二(图9-2b) ,留下左边部分的单体元 ebf 作为研究对象(图9-2c)。befb2 ：从x 轴到外法线 n 逆时针转向为正，反之为负。正应力 ：拉应力为正，压应力为负。剪应力 ：对单元体任一点的矩顺时针转为正，反之为负。xy图9-2nefbefb3ebf(d)研究对象的受力如图 9-2d 所示ef设斜截面的面积为

2、 dA , eb 的面积为 dAcos ， bf 的面积为dAsinb42、平面应力状态下, 任一斜截面 ( 截面 ) 上的应力 的 计算公式5二、主应力和主平面主应力: 主平面上的正应力称为主应力主平面: 一点处剪应力等于零的平面称为主平面 说明: 一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为 1 ,2 , 3 且规定按代数值大小的顺序来排列, 即6三、平面应力状态分析解析法7和确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。8当即正应力达到极值的面上，剪应力必等于零。此平面为主平面。正应力的极值为主应力。由公

3、式求出0就可确定主平面的位置。9将0代入公式得到 max 和 min(主应力）（1）主应力10（2）主平面的位置以1代表max作用面的方位角， 2代表min作用面的方位角。11 若 若12例8-4 简支梁如图所示。已知m-n截面上A点的弯曲 正应力和剪应力分别为 = -70MPa， = 50MPa 。 确定A点的主应力及主平面的方位。解：mnaAAl13解：A因为-62.50 与max对应x62.5026-96MPa1426-96MPa=Ax62.5015四、平面应力状态分析应力圆（1） 应力圆的概念16当斜截面随方位角 变化时, 其上的应力 , 在 - 直角坐标系内的轨迹是一个圆 ,圆心位于

4、横坐标轴 ( 轴 )上,离原点的距离为 半径为此圆习惯上称为应力圆 , 或称为莫尔圆。17Co图 9-318o(b)（2）应力圆作法D1量取 OB1 = x , B1D1 = x , 得 D1点B1xx在 - 坐标系内 , 选定比例尺19o图 9-4(b)B1xxD1 量取 OB2=y , B2D2= y , 得D2 点D2yB2y20o图 9-4(b)B1xxD1yyB2D2连接D1D2两点的直线与 轴相交于C 点, 以C为圆心, CD1或CD2为半径作圆 C21o(b)B1xxyyB2D2C该圆的圆心 C 点到 坐标原点的 距离为 半径为该圆就是相应于该单元体应力状态的应力圆D1 点的坐标

5、为 ( x , x ) 因而 D1 点代表单元体 x 平面上的应力 。D122xD2oB1xxyyB2Cef（3）利用应力圆求单元体上任一 截面上的应力从应力圆的半径 CD 1 按方位角 的转向转动 2 , 得到半径 CE , 圆周上 E 点的 坐标 就依次为 。（ 证明略 ）2ED123说明点面之间的对应关系：单元体某一面上的应力，必对应于应力圆上某一点的坐标。夹角关系：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍。两者的转向一致。oc2AB24o图 9-4(b)B1xxD1yyB2D2Cef2E25o（4）利用应力圆求主应力数值和主平面位置xD1yyB2D2C主应力数值A1

6、和 A2两点为与主平面对应的点，其横坐标 为主应力 1 ,226oxCyB2D1yD2（9-3）（9-4）27oxD1yyB2D2C主平面方位2由顺时针转到所以从 x 轴顺时针转（负值）即到1对应的主平 面的外法线 确定后， 1 对应的主平面方位即确定。28oxD1yyB2D2C2（9-5）29由此可定出主应力1 所在平面的位置。由于 A1A2 为应力圆的直径, 则2 所在的另一主平面与1 所在的主平面垂直 ( 如图 9-4 c所示 ) 。oxD1yyB2D2C230 xoxD1yyB2D2C2x 平面应力圆画法 应力圆作法总结31例题9-1 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示,x= - 1

7、MPa , y= - 0.4MPa , x= - 0.2MPa , y= 0.2MPa , 绘出相应的应力圆确定此单元体在 =30和 = - 40两斜面上的应力。x32oB1D1(-1,-0.2)D2(-0.4,0.2)C解: (1) 画应力圆OB2 =y= - 0.4MPa 和 B2D2 = y = 0.2MPa , 定出 D2 点 . OB1 = x= - 1MPa , B1 D1 = x= - 0.2MPa,定出 D1点;以 D1 D2 为直径绘出的圆即为应力圆。33将 半径 CD1 逆时针转动 2 = 60到半径 CE, E 点的坐标就代表 = 30斜截面上的应力。(2) 确定 = 3

8、0斜截面上的应力oB1D1(-1,0.2)D2(-0.4,0.2)CE34(3) 确定 = - 40斜截面上的应力将 半径 CD1 顺时针转 2 = 80到半径 CF, F 点的坐标就代表 = - 40斜截面上的应力。oB1D1(-1,0.2)D2(-0.4,0.2)CF35xy36例题 9-2 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图 a , b 所示，梁的横截面尺寸示于图 c 中。试绘出截面 c 上 a , b 两点处的应力圆，并用应力圆求出这两点处的主应力。250KN1.6m2mABC(a)12015152709zab单位：mm(c)37250KN1.6m2mABC+200KN50KN+80K

9、M.m解: 首先计算支反力, 并作出 梁的剪力图和弯矩图MC = 80 kNmQC左 = 200 kN3812015152709zab单位：mm横截面C上a 点的应力为39a 点的单元体如图所示。由定出点由定出点以D1D2为直径作应力圆。oC(122.5 , 64.6)(0 , - 64.6)40oC(122.5 , 64.6)(0 , - 64.6)A1，A2两点的横坐标分别代表 a 点的两个主应力 1 和 3。A1A241oC(122.5 , 64.6)(0 , - 64.6)A1A2A1 点对应于单圆体上1 所在的主平面主平面及主应力如图所示。4212015152709zab单位：mmb点的单元体如图所示。43B点的三个主应力为 1所在的主平面就是 x 平面 , 即梁的横截面 C 。4