自控chapter4-ok附部分修改意见

1、自动控制原理深圳大学机电与控制工程学院自动控制原理课程组第4章 线性系统的根轨迹主要内容4.1 控制系统的根轨迹4.2 根轨迹的绘制法则4.3 其他形式的根轨迹4.4 基于MATLAB 的根轨迹绘制4.5 根轨迹法分析第23、24节始4.1.1 根轨迹的基本概念4.1.2 闭环零极点与开环零极点的关系4.1.3 根轨迹方程4.1 控制系统的根轨迹本节内容包括4.1.1 根轨迹基本概念R(s) C(s)k1/s(s+2)闭环环传递函数例如，某系统开环传递函数根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程式的根在s平面上的变化轨迹。什么是根轨迹？极点性质闭环极点闭环特征方程4.1.1 根

2、轨迹的基本概念k 0.1 0.8 1 2 4s1 -0.005 -0.4 -1 -1+j1.73 -1+j3.87s2 -1.995 -1.6 -1 -1-j1.73 -1-j3.87将特征根画在s平面上将特征根随增益k的变化在s平面上轨迹称为根轨迹-2 -1 0-2j j -j-2jk=0.1 k=1 k=0.1k=24.1.1 根轨迹的基本概念当开环系统参数k从零变到无穷时，闭环极点（特征方程式的根）列表如下问题：本例有几条根轨迹？根轨迹上的点是否是闭环的极点？对应一个确定的k，有几个极点？根轨迹的作用-2 -1 0-2j j -j-2jk=0.1 k=1 k=0.1k=24.1.1 根轨

3、迹的基本概念问题：已知闭环极点位置，可以确定系统的哪些性能。G(s)H(s)R(s) C(s)4.1.2 闭环零极点与开环零极点的关系4.1.2 闭环零极点与开环零极点的关系（1）系统的闭环零点由前向通道G(s)的零点和反馈通道H(s)的极点两部分组成。单位反馈系统的闭环零点就是其开环零点。（2）系统的闭环根轨迹增益等于其前向通道的根轨迹增益。对于单位反馈系统，系统的闭环根轨迹增益等于其开环根轨迹增益。（3）闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益有关。4.1.2 闭环零极点与开环零极点的关系4.1.3 根轨迹方程由特征方程D(s)=1+G(s)H(s)=0根轨迹方程G(s)H(s)= -1

4、模值条件幅角条件根轨迹的幅角方程是确定s平面上根轨迹的充分必要条件:这就是说，绘制根轨迹时，只需用使用幅角方程即可；而当需要确定根轨迹上各点的Kg值时，才需要使用模值方程。 4.1.3 根轨迹方程4.1.3 根轨迹方程模值条件相角条件ss-20s+2-1根轨迹方程说明4.1.3 根轨迹方程-2 -1 0ReIms平面4.2 根轨迹的绘制法则1 写出特征方程并化成零极点的形式，求开环零极点；2 根据根轨迹的绘制法则，绘制概略根轨迹；3 对感兴趣的区域进行修正。如何绘制根轨迹？绘制法则包括：根轨迹性质4个，绘制法则5个4.2 根轨迹的绘制法则系统2： 零点：-0.5 极点为0, -5 Kg=2k例

5、如：某开环系统的传递函数为G(s)H(s)=k(s+3)/s(s+2)G(s)H(s)=k(2s+1)/s(s+5)写出根轨迹方程，求出对应的零点和极点。4.2 根轨迹的绘制法则【根轨迹性质1】根轨迹是连续的【根轨迹性质2】根轨迹关于实轴是对称的【根轨迹性质3】根轨迹的条数【根轨迹性质4】根轨迹的起点与终点4.2 根轨迹的绘制法则【性质4】根轨迹始于开环的极点，终止于开环的零点。起点终点对于物理可实现系统，一般满足 ，因此有n-m条根轨迹终止于无穷远处n-m个无穷远的零点例如： 有三条根轨迹，无有限开环的零点, 极点p=0,-2,-3。 4.2 根轨迹的绘制法则3个无穷远的零点同理，对于1个无

6、穷远的极点4.2 根轨迹的绘制法则【法则一】根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线限定了当根轨迹趋向于无穷远时，根轨迹的走向与形状。即根轨迹沿一组渐近线趋向于无穷远处的开环零点。与正实轴的夹角为 与实轴的交点为 4.2 根轨迹的绘制法则n-m=1时， n-m=3时， n-m=2时，4.2 根轨迹的绘制法则-30S平面【法则二】实轴上的根轨迹分布-2-1s右方的实数极点与实数零点的总和为奇数时，s就是根轨迹上的点。三条根轨迹，分别起始于0，-1，-2，沿渐近线趋于无穷远渐进线与实轴交点坐标及交角为例【4-1】 设某负反馈系统的开环传递函数为 试确定系统根轨迹的条数、起点和终点、渐近线及实轴上的根轨迹分布。

7、-2-10解 4.2 根轨迹的绘制法则4.2 根轨迹的绘制法则练习：画出下列负反馈系统实轴上的根轨迹和渐进线终4.2 根轨迹的绘制法则【法则三】根轨迹的分离点与会合点在复平面上，两条或两条以上的根轨迹相遇以后又立即分开的点称为分离点或会合点 。 在分离点或会合点上，根轨迹的切线与正实轴之间的夹角称为根轨迹的分离角。分离角按下式计算：L为相遇根轨迹的条数第25、26节始4.2 根轨迹的绘制法则4.2 根轨迹的绘制法则z，p为有限开环零点和极点，无零点时左边表达式为零。求例【4-1】的根轨迹的分离点分离点的位置可由下面几种方法确定： 试探法、重根法、极值法（1）试探法：设分离点的坐标为d，则d满足

8、如下关系解：由 得d1 d2 是否均为分离点吗？d1,2=-1.577,-0.4224.2 根轨迹的绘制法则4.2 根轨迹的绘制法则（2) 重根法 4.2 根轨迹的绘制法则解： M(s)=1; N(s)=s(s+1)(s+2)=s3+3s2+2s由 得s1,2=-1.577,-0.422用重根法求例【4-1】的根轨迹的分离点例【4-2】设负反馈系统的开环传递函数为求概略的根轨迹图。解：(1) 渐近线 4.2 根轨迹的绘制法则两条根轨迹，分别起始于0和-1，其中一条终止于-2，一条沿渐近线趋于无穷远由前面公式计算得，渐近线与实轴正方向的夹角为1800 ，即渐近线沿负实轴趋于无穷远，无需再计算交点

9、。4.2 根轨迹的绘制法则（2）画出实轴上的根轨迹根据2，存在分离点，为d，满足d1 d2 是否均为分离点吗？概略画出下列系统的根轨迹（3）判断并计算分离点4.2 根轨迹的绘制法则【法则四】根轨迹与虚轴的交点特征方程： 1+k/s(s+1)(s+2) s3+3s2+2s+k=0 s3 1 2 s2 3 k s1 (6-k)/3 s0 k (6-k)/3=0, k=6（1)在D(s)=0中，令s=jw，可解出交点坐标和对应的增益（2)应用Routh判据求解，求特征方程的虚根。使Routh表发生特殊情况。（劳斯表对应行出现全零行）3s2+k=0 s2=-k/3=-2 s=j1.414,-j1.41

10、44.2 根轨迹的绘制法则画出下列负反馈系统实轴上的根轨迹和渐进线4.2 根轨迹的绘制法则画出下列负反馈系统实轴上的根轨迹和渐进线根轨迹示例1j0j0j0j0j0j00j0j0jj00j4.2 根轨迹的绘制法则【法则五】根轨迹的入射角和出射角-2 -1-j为一对共轭开环复数极点，在该极点处根轨迹的出射角为-2 -1-j为一对共轭开环复数零点，在该极点处根轨迹的入射角为4.2 根轨迹的绘制法则4.2 根轨迹的绘制法则例【4-3】某系统的开环传递函数为GH=k(s+1)/s(s+4)(s2+2s+2)，画出概略的根轨迹。零点：-1,极点：0，-4, 1+j, -1-j解 （1） 开环零极点及渐近线

11、极点渐进线: n-m=3, 3条渐近线交角 600,1800,-600 与实轴的交点 -4-1+j-1-j-(-1)/3=-5/34.2 根轨迹的绘制法则（2）画出实轴上的根轨迹，判断无分离点（3）具有复数的极点，故出射角为 画出概略的根轨迹图，判断与虚轴有交点（4）根轨迹与虚轴交点4.2 根轨迹的绘制法则练习：绘制下列系统的根轨迹图4.2 根轨迹的绘制法则绘制根轨迹图的Matlab 命令： rlocus(num,den) 或rlocus(num,den,k）计算根轨迹坐标值和增益的命令： k,p=rlocfind( )第25,26节终4.3.1 参数根轨迹4.3.2 零度根轨迹4.3 其他形

12、式的根轨迹本节内容包括4.3.1 参数根轨迹例如某单位负反馈系统的开环传递函数为这时变化的参数是b，对应的根轨迹就是参数根轨迹。以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹称为参数根轨迹，与此对应，称以Kg为可变参数的根轨迹称为常规根轨迹。 什么是参数根轨迹呢4.3.1 参数根轨迹只要通过对系统闭环特征方程做简单处理的基础上，引入等效开环传递函数的概念，则常规根轨迹的所有绘制法则，均可以用于参数根轨迹的绘制。如何绘制参数根轨迹呢？4.3.1 参数根轨迹参数根轨迹的绘制步骤是，首先将系统的特征方程进行等效变换，整理成如下形式等效开环传递函数绘制参数根轨迹的法则与绘制常规根轨迹的法则完全相同。 4.3.1

13、参数根轨迹对于上例我们可以 （1）写出特征方程, 求出等效开环传递函数。等效开环传递函数为4.3.1 参数根轨迹 （2）根据等效开环传递函数绘制根轨迹。计算回合点计算出射角闭环系统的传递函数为4.3.1 参数根轨迹概略根轨迹如图4.3.1 参数根轨迹例如当开环系统传递函数 可以把上式整理为如下形式例如当多项式方程的根轨迹 4.3.2 零度根轨迹根轨迹方程化为模值条件不变幅角条件为：根轨迹的渐进线；实轴上的根轨迹；根轨迹的出射角与入射角4.3.2 零度根轨迹根轨迹的渐进线；渐进线与实轴夹角的计算公式为 实轴上的根轨迹；实轴上右侧的开环实零点和实极点数和为偶数时，则是根轨迹段。如某系统的根轨迹方程

14、为零度根轨迹绘制准则4.3.2 零度根轨迹根轨迹的出射角与入射角4.3.2 零度根轨迹例【4-4】单位正反馈系统的开环传递函数为 绘制系统概略的根轨迹.解：写出闭环特征方程开环的零点、极点: z1=-1, p1=-2, p2=-44.3.2 零度根轨迹渐进线可通过分离点公式求出具体坐标值1 rlocus(num,den) R,K=rlocus(num,den,k）当有输出变量时，matlab返回复数矩阵R和对应的增益K的值。2 rlocfind K,P=rlocfind(num,den )计算根轨迹坐标值和增益的命令。执行该命令后，会在图形窗口生成一个十字光标，用鼠标点这个十字光标选择根轨迹上

15、的点，然后按左键确认。4.4 基于MATLAB的根轨迹绘制绘制根轨迹图的Matlab 命令 4.4 基于MATLAB的根轨迹绘制例如绘制根轨迹图 num=1 1;den=conv(1 0.5,conv(1 4,1 4); sys=tf(num,den); rlocus(sys) k,p=rlocfind( sys)只需计算某k下的根时，可以用 p=rlocus(sys,12) 采用根轨迹分析方法，首先根据系统的结构和参数绘制闭环系统的根轨迹图，然后在根轨迹图上分析系统的稳定性、计算系统的动态性能和稳定性能等。然而，在系统初步设计过程中，重要的方面往往不是如何求出系统的阶跃响应，而是如何根据已知

16、的闭环零、极点定性地分析系统的性能。4.5 控制系统的根轨迹分析方法4.5.1 闭环零、极点与时间响应4.5.2 系统性能的定性分析4.5 控制系统的根轨迹分析方法本节内容包括4.5.1 闭环零、极点与时间响应应用根轨迹法，根据对系统的要求，确定系统在某一参数下，闭环的极点位置.根据闭环零、极点定性分析系统的性能主导极点偶极子相距很近的零、极点。10倍相对距离1(即零点在极点的左边)。则可基本不改变原根轨迹的形状，而使系统的开环放大倍数提高到原来的倍，即若取p0=0.02，=5，z0=0.1，其根轨迹如图所示，与原系统比较，根轨迹形状基本不变。 4.5.2 系统性能的定性分析 观察开环增益原系

17、统若按前面的参数设置，开环增益增加了5倍。加原点附近的偶极子后4.5.2 系统性能的定性分析不影响根轨迹的形状不影响根轨迹点的根轨迹增益开环偶极子对根轨迹的影响结论：在开环传递函数中,合理配置偶极子,可改善系统的稳态性能.例【4-7】 在比例微分控制中，开环传递函数如下解分析当K=0.25,1,5,10时，Ta对系统性能的影响。闭环传递函数特征方程4.5.2 系统性能的定性分析多参数的根轨迹分析4.5.2 系统性能的定性分析当 k=0.25k=1k=10k=54.5.2 系统性能的定性分析在根轨迹上，当Ta增加时，闭环极点向左移动，动态响应的快速性增强，超调量减小。第27、28节终第四章习题课

18、4-3 绘制下列系统负反馈系统的根轨迹，开环传递函数为 解： m=0,无开环零点 n=4, 开环极点 p1=0, p2=-2, p3 =-1+j, p4 =-1-j渐进线：交点 -1, 交角 450， 1350， -1350，-450分离点 ： d=-1第四章习题课解： m=1,开环零点 z=-2 n=4, 开环极点 p1=0, p2=-3, p3 =-1+j, p4 =-1-j渐进线：交点 -1, 交角 600， 1800， -600出射角 ： -26.70, 26.704-3 绘制下列系统负反馈系统的根轨迹，开环传递函数为 第四章习题课解：化为根轨迹的标准 形式渐进线：分离点 ： d=-0

19、.422, 与虚轴的交点：k=3, s=j1.414系统稳定：0k34-6 绘制下列系统负反馈系统的根轨迹，开环传递函数为 第四章习题课若阻尼=0.5，求系统的性能指标在根轨迹上找出闭环极点s1及对应的其他极点第四章习题课4-7 单位负反馈系统的开环传递函数为（1） 画根轨迹；（2）分析k对系统性能的影响，求最小阻尼比所对应的闭环极点 。 解： 分离点 ： d=-0. 无需计算与虚轴的交点第四章习题课最小阻尼比根据几何关系求出根轨迹上闭环极点s14-10 在负反馈系统的传递函数为（1）画根轨迹，讨论稳定性；（2）H(s)=1+2s, 分析H对系统稳定性的影响. 解： m=0, 无开环零点 n=4, 开环极点 p1=0, p2=0, p3 =-2, p4 =-5渐进线：交点 -7/3, 交角（度） 45， 135， -135，-45分离点 ： d=-4第四章习题课第四章习题课第四章习题课解： m=1,开环零点 z=-0.5 n=4, 开环极点 p1=0, p2=0, p3 =-2, p4 =-5渐进线：交点 -6.5/3, 交角 6