裂项相消放缩法解数列专题

1、数列专题3一、裂项乞降法裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，而后从头组合，使之能消去一些项，最后达到乞降的目的.通项分解（裂项）如：通项为分式构造，分母为两项相乘，型如：1，an是d0的等差an?an1数列。常用裂项形式有：111；1k)1(11)；(2n(2n)21)11(11)；n(n1)nn1n(nknnk1)(2n22n12n1n(n111(n1；1)(n2)2n(n1)1)(n2)11ab)；aba(bn1n1(nkn)特别地：n1nn1nkk1二、用放缩法证明数列中的不等式将不等式一侧适合的放大或减小以达证题目的方法，叫放缩法。1.常有的数列不等式大多与数列乞降或求积相关，其

2、基本构造形式有以下4种：nk（k为常数）；nnnk（k为常数）.aiaif(n)；aif(n)；aii1i1i1i1放缩目标模型可乞降（积）等差模型、等比模型、裂项相消模型几种常有的放缩方法（1）增添或舍去一些项，如：a21a；n(n1)n（2）将分子或分母放大（或减小）11111；111)1n1（程度大）n2n(n1)nnn2n(nn11111(11)(n2)（程度小）n2n21(n1)(n1)2n1n11111111nn1n2n32nn1n11n1n1或1111111n11n2n32n2n2n2n2n2n1111111nn23nnnnn平方型：14411)；n24n24n212(12n2n

3、1(2n14n2111)1(11)1)24n4n(n4n1n立方型：111)1(n111)(n2)n3n(n221)nn(n指数型：11(ab1)；11(ab1)nbnn1nn1aa(ab)aba(ab)k1k11；k1k2k利用基本不等式，n(n1)lg3lg52n(n1)，如：lg5()lg15lg16lg422（一）放缩目标模型可乞降等比数列或等差数列比如：（1）求证：11111(nN*).222232n（2）求证：11123111(nN*).212212n1（3）求证：122233nn2(nN*).212232nn总结：放缩法证明与数列乞降相关的不等式，若ai可直接乞降，就先乞降再放缩

4、；若不可以直接乞降的，i1一般要先将通项an放缩后再乞降.问题是将通项an放缩为能够乞降且“不大不小”的什么样的bn才行呢？其实，能乞降的常有数列模型其实不多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项相消模型等.实质问题中，bn大多是等比模型或裂项相消模型.（1）先乞降再放缩2*例1.设各项均为正数的数列a的前n项和为S组成等比Sannaaa14nnnn125数列(1)证明：a4a5；21求数列an的通项公式；(3)证明：对全部正整数，有1111a1a2a2a3anan12（2）先放缩再乞降比如：求证：11112(nN*).2232n2比如：函数f(x)4x，求证：f(1)f(2)f(n)

5、n11(nN*).14x2n12例2.设数列an的前n项和为Sn，知足，且a1，a2+5，a3成等差数列1）求a1的值；2）求数列an的通项公式；3）证明：对全部正整数n，有总结：一般地，形如ananbn或ananb（这里ab1）的数列，在证明111ka1a2an（k为常数）时都能够提拿出an利用指数函数的单一性将其放缩为等比模型.练习：1.设数列an知足an0，a11，an(12n)anan1an1(n2)，数列an的前n项和为Sn.（1）求数列an的通项公式；（2）求证：当n2时，n2；Snn1（3）尝试究：当n2时，能否有6nSn5？说明原因.(n1)(2n1)3n（3）形如aif(n)

6、i1比如：设Sn1223n(n1)，求证：n(n1)Snn(n2)(nN*).22依据所证不等式的构造特点来选用所需要的不等式，不等式关系：2aba2b21ab221abab注：应注意掌握放缩的“度”：上述不等式右侧放缩用的是均值不等式ab，若放缩成2n(n1)(n3)(n1)2n(n1)n1，则得Snki1，就放过“度”了。i122n总结：形如aif(n)的数列不等式证明：i1设Sn和Tn分别为数列an和bn的前n项和，若anbn(nN*)，利用不等式的“同向可加性”这一nf(n)，假如记Tnf(n)看作是数列bn的前n项和，则基天性质，则有SnTn.要证明不等式aii1bnTnTn1(n2

7、)，b1T1，那么只需证其通项知足anbn即可.（二）放缩目标模型可求积放缩法证明与数列求积相关的不等式，方法与上边乞降相近似，只可是放缩后的bn是可求积的模型，能求Cn1（分式型），累乘后约简为nCn1积的常有的数列模型是bnbi.Cni1C1姐妹不等式：bbm(ba0，m0)和bbm(ab0，m0)aamaam记忆口诀：“小者小，大者大”，（解说：看b，若b小，则不等号是小于号，反之）。比如：求证：1352n11(nN*).2462n2n1111)2n1。比如：求证：(11)(1)(1)(12n351n总结：形如aif(n)的数列不等式证明：设An和Bn分别为数列an和bn的前n项积，若i

8、1n0anbn，利用不等式的“正数同向可乘性”这一基天性质，则有AnBn.要证明不等式aif(n)，i1假如记Bnf(n)看作是数列bn的前n项积，则bnBn(n2)，b1B1，那么只需证其通项知足Bn10anbn即可.例3.已知数列an知足a12an2N*).，an12an(n33（1）求证：1是等差数列，并求出an的通项an；an1（2）证明：对于nN*，a1?a2?a3?an11.n（二）增添或舍去一些正项（或负项）若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。因为证明不等式的需要，有时需要舍去或增添一些项，使不等式一边放大或减小，利用不等式的传达性，

9、达到证明的目的。比如：已知an2n1(nN*)，求证：n1a1a2an(nN*).23a2a3an1例4.已知数列an的各项为正数，其前n项和Sn知足Snan12().2（I）求an与an1(n2)之间的关系式，并求an的通项公式；（II）求证1112.S1S2Sn例5.已知数列：知足：，记.(I)求证：数列是等比数列；(II)若对随意恒建立，求t的取值范围；证明:.（三）固定一部分项，放缩此外的项例6.设数列an的前n项和为Sn.已知a11，2Snan11n2n2*，nN.（1）求a2的值；n33（2）求数列an的通项公式；（3）证明：对全部正整数n，有11L17.a1a2an4练习：2.1

10、11，则s的整数部分是（）设s1310023.已知an是各项都为正数的数列，Sn为其前n项和，且a11，Sn1(an1).2an（I）求数列an的通项an；（II）求证：1111).2S13S2(n1)Sn2(1Sn1数列专题3一、裂项乞降法裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，而后从头组合，使之能消去一些项，最后达到乞降的目的.通项分解（裂项）如：通项为分式构造，分母为两项相乘，型如：1，an是d0的等差an?an1数列。常用裂项形式有：11)11；1k)1(11)；(2n)211(11)；n(nnn1n(nknnk(2n1)(2n1)22n12n1n(n12)11(n12)；1)(n2

11、n(n1)1)(n11ab)；aba(bn1n1(nkn)特别地：1n1nkkn1n二、用放缩法证明数列中的不等式将不等式一侧适合的放大或减小以达证题目的方法，叫放缩法。1.常有的数列不等式大多与数列乞降或求积相关，其基本构造形式有以下4种：nnnnaik（k为常数）；aif(n)；aif(n)；aik（k为常数）.i1i1i1i1放缩目标模型可乞降（积）等差模型、等比模型、裂项相消模型几种常有的放缩方法（1）增添或舍去一些项，如：a21a；n(n1)n（2）将分子或分母放大（或减小）11111；111)1n1（程度大）n2n(n1)nnn2n(nn11111(11)(n2)（程度小）n2n2

12、1(n1)(n1)2n1n11111111n1n1n2n32nn1n1n1n1或1111111n11n2n32n2n2n2n2n2n1111111nn23nnnnn平方型：14411)；n24n24n212(12n2n1(2n14n2111)1(11)1)24n4n(n4n1n立方型：111)1(n111)(n2)n3n(n221)nn(n指数型：11(ab1)；11(ab1)anbnan1(ab)anban1(ab)k1k11；k1k2k利用基本不等式，n(n1)n(n1)，如：log3lg5(lg3lg5)2lg15lg16lg422（一）放缩目标模型可乞降等比数列或等差数列比如：（1）求

13、证：11111(nN*).222232n剖析：不等式左侧可用等比数列前n项和公式乞降。11分析：左侧=2(12n)111112n2表面是证数列不等式，实质是数列乞降。（2）求证：1112311111(nN*).21222n剖析：左侧不可以直接乞降，须先将其通项放缩后乞降，将通项放缩为等比数列。11分析：11，左侧11112(12n)1112n222232n112n2n12123n（3）求证：2232(nN*).212232nn剖析：注意到nnn，将通项放缩为错位相减模型。2n2n分析：nn，左侧123n2n222nn2n222232n2nn总结：放缩法证明与数列乞降相关的不等式，若ai可直接乞

14、降，就先乞降再放缩；若不可以直接乞降的，i1一般要先将通项an放缩后再乞降.问题是将通项an放缩为能够乞降且“不大不小”的什么样的bn才行呢？其实，能乞降的常有数列模型其实不多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项相消模型等.实质问题中，bn大多是等比模型或裂项相消模型.（1）先乞降再放缩a的前n项和为S，知足4Sa2*，且a，a，a例1.设各项均为正数的数列组成等比114nnnn25数列(1)证明：a4a5；21求数列an的通项公式；(3)证明：对全部正整数，有11L11a1a2a2a3anan12分析：(1)224a5.a0，a24a15.1221n(2)当n2时，4S22n1n1

15、nn22222由，得4an4Sn4Sn1an1an4，an1an4an4(an2).an0，an1an2，当n2时，a是公差d2的等差数列a，a，a组成等比数列，n2514a52a2a14，(a26)2a2(a224)，解得a23.由(1)可知，4aa254，a1.aa312，a是首项a1，公差d2的等差数列12121n1数列n的通项公式为an21.an(3)11L1111L1a1a2a2a3anan11335572n12n11111111L1112335572n2n111111.22n2总结：（3）问左侧可用裂项相消法乞降，先乞降再放缩，表面是证数列不等式，实质是数列乞降。（2）先放缩再乞降

16、比如：求证：11112(nN*).2232n2剖析：左侧不可以乞降，应先将通项放缩为裂项相消模型后乞降，保存第一项，从第二项开始放缩。分析：111)11(n2)n2n(nn1n左侧1(11)(11)(11)1112(n2)223n1nn当n1时，不等式明显也建立.比如：函数f(x)4x，求证：f(1)f(2)f(n)n11(nN*).14x2n12剖析：本题不等式左侧不易乞降，此时依据不等式右侧特点，先将分子变成常数，再对分母进行放缩，进而对左侧能够进行乞降.若分子，分母假如同时存在变量时，要想法使此中之一变成常量，分式的放缩对于分子分母均取正的分式，如需放大，只需把分子放大或分母小即可；如需

17、小，只需把分子小或分母放大即可。例2.数列an的前n和Sn，足，且a1，a2+5，a3成等差数列（1）求a1的；（2）求数列an的通公式；（3）明：全部正整数n，有n+12解：（1）在2Sn=an+12+1中，令n=1得：2S1=a22+1，令n=2得：解得：a2=2a1+3，a3=6a1+13，又2（a2+5）=a1+a3，解得a1=132S2=a32+1，（2）由2Sn=an+12n+1+1，得n+1an+2=3an+1+2，又a1=1，a2=5也足a2=3a1+21，因此an+1=3an+2nnN*建立，an+1+2n+1=3（an+2n），又a1=1，a1+21=3，an+2n=3n，

18、an=3n2n；（3）剖析：（3）左不可以直接乞降，考将通放后乞降。利用指数函数的性放等比模型。nnn1n2n32n1n1，（法二）an=32=（32）（3+32+32+2）3+1+=；（法三）an+1=3n+12n+123n2n+1=2an，?，当n2，?，?，?，累乘得：?，+1+：一般地，形如ananbn或ananb（里ab1）的数列，在明111ka1a2an（k常数）都能够提拿出an利用指数函数的性将其放等比模型.：1.数列an足an0，a11，an(12n)anan1an1(n2)，数列an的前n和Sn.（1）求数列an的通公式；（2）求：当n2，n2；Snn16n5？明原因.（3）

19、研究：当n2，能否有Sn(n1)(2n1)3n（3）形如aif(n)i1比如：Sn1223n(n1)，求：n(n1)Snn(n2)(nN*).22依据所不等式的构特点来取所需要的不等式，不等式关系：2aba2b21ab221abab注：注意掌握放的“度”：上述不等式右放用的是均不等式ab，若放成n(n1)(n3)(n1)22n(n1)n1，得Snki1，就放“度”了。i122n：形如aif(n)的数列不等式明：i1Sn和Tn分数列an和bn的前n和，若anbn(nN*)，利用不等式的“同向可加性”一nf(n)，假如Tnf(n)看作是数列bn的前n和，基天性，有SnTn.要明不等式aii1bnT

20、nTn1(n2)，b1T1，那么只需证其通项知足anbn即可.（二）放缩目标模型可求积放缩法证明与数列求积相关的不等式，方法与上边乞降相近似，只可是放缩后的bn是可求积的模型，能求Cn1（分式型），累乘后约简为nCn1积的常有的数列模型是bnbi.Cni1C1姐妹不等式：bbm(ba0，m0)和bbm(ab0，m0)aamaam记忆口诀：“小者小，大者大”，（解说：看b，若b小，则不等号是小于号，反之）。比如：求证：1352n11(nN*).2462n2n1比如：求证：(11)(11)(11)(11)2n1。352n1n总结：形如aif(n)的数列不等式证明：设An和Bn分别为数列n和n的前n

21、项积，若abi1n0anbn，利用不等式的“正数同向可乘性”这一基天性质，则有AnBn.要证明不等式aif(n)，i1假如记Bnf(n)看作是数列bn的前n项积，则bnBn(n2)，b1B1，那么只需证其通项知足Bn10anbn即可.例3.已知数列an知足a12an2N*).，an1(n32an31是等差数列，并求出an的通项an；（1）求证：an1（2）证明：对于nN*，a1?a2?a3?an11.n（二）增添或舍去一些正项（或负项）若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。因为证明不等式的需要，有时需要舍去或增添一些项，使不等式一边放大或减小，利用不等式的传达性，达到证明的目的。比如：已知an2n1(n*n1a1a2an(nN*).N)，求证：a2a3an123本题在放缩时舍去了2k2，进而使和式获得了化简。例4.已知数列an的各项为正数，其前n项和Sn知足Sn(an1)2.2（I）求an与an1(n2)之间的关系式，并求an的通项公式；（II）求证1112.S1S2Sn例5.已知数列：知足：，记.(I)求证：数列是等比数列；(II)若对随意恒建立，求t的取值范围；(III)证明:.解：（）证明：由得即，且数列是首项为，公比为的等比数列（）由(