计量资料的区间估计

1、引 言 随机变量及其所伴随的概率分布全面描述了随机现象的统计性规律。 概率论的许多问题中，随机变量的概率分布通常是已知的，或者假设是已知的，而一切计算与推理都是在这已知是基础上得出来的。 但实际中，情况往往并非如此，一个随机现象所服从的分布可能是完全不知道的，或者知道其分布概型，但是其中的某些参数是未知的。1例如： 某公路上行驶车辆的速度服从什么分布是未知的； 电视机的使用寿命服从什么分布是未知的； 产品是否合格服从两点分布，但参数合格率p是未知的； 数理统计的任务则是以概率论为基础，根据试验所得到的数据，对研究对象的客观统计规律性做出合理的推断。2 从现在开始，我们学习数理统计的基础知识。数

2、理统计的任务是以概率论为基础，根据试验所得到的数据，对研究对象的客观统计规律性作出合理的推断.数理统计所包含的内容十分丰富，后面学习参数估计、假设检验、方差分析、回归分析等内容.包括数理统计的一些基本术语、基本概念、重要的统计量及其分布，它们是后面各章的基础。学习的基本内容32.1 计量资料的区间估计 2.1.1 随机抽样 统计工作统计设计搜集资料整理资料分析资料选估计,检验,回归,设计方法按设计抽样,搜集报表,试验对原始数据分组和归纳计算和统计处理,作出结论 2 计量资料分析4统计资料计量资料定量方法测得大小,连续总体分类资料计数资料无序分类,离散等级资料有序分类,离散5样本与统计量 总体与

3、样本 在数理统计中，把研究对象的全体称为总体（population)或母体，而把组成总体的每个单元称为个体。 抽样 要了解总体的分布规律，在统计分析工作中，往往是从总体中抽取一部分个体进行观测，这个过程称为抽样。 6样本与统计量 子样 子样 是n个随机变量，抽取之后的观测数据 称为样本值或子样观察值。 在抽取过程中，每抽取一个个体，就是对总体X进行一次随机试验，每次抽取的n个个体 ，称为总体X的一个容量为n的样本（sample）或子样；其中样本中所包含的个体数量称为样本容量。7随机抽样方法的基本要求 独立性即每次抽样的结果既不影响其余各次抽样的 结果，也不受其它各次抽样结果的影响。 满足上述两

4、点要求的样本称为简单随机样本.获得简单随机样本的抽样方法叫简单随机抽样. 代表性即子样( )的每个分量 与总体 具有相同的概率分布。 从简单随机样本的含义可知，样本 是来自总体 、与总体 具有相同分布的随机变量.8简单随机抽样 例如：要通过随机抽样了解一批产品的次品率，如果每次抽取一件产品观测后放回原来的总量中，则这是一个简单随机抽样。 但实际抽样中，往往是不再放回产品，则这不是一个简单随机抽样。但当总量N很大时，可近似看成是简单随机抽样。9统计量 定义 设（ ）为总体X的一个样本， 为不含任何未知参数的连续函数，则称 为样本（ ）的一个统计量。则 例如： 设 是从正态总体 中抽取的一个样本，

5、其中 为已知参数, 为未知参数，是统计量 不是统计量 10几个常用的统计量 样本均值（sample mean)设 是总体 的一个样本，样本方差(sample variance) 11样本均方差或标准差 它们的观测值用相应的小写字母表示.反映总体X取值的平均，或反映总体X取值的离散程度。几个常用的统计量 设 是总体 的一个样本，样本标准差S样本变异系数 12子样的K阶（原点）矩几个常用的统计量 设 是总体 的一个样本，子样的K阶中心矩13它包括两个方面数据整理 计算样本特征数数据的简单处理 为了研究随机现象，首要的工作是收集原始数据.一般通过抽样调查或试验得到的数据往往是杂乱无章的，需要通过整理

6、后才能显示出它们的分布状况。数据的简单处理是以一种直观明了方式加工数据。14计算样本特征数： 数据的简单处理 数据整理：将数据分组 计算各组频数 作频率分布表 作频率直方图（1）反映趋势的特征数 样本均值中位数：数据按大小顺序排列后，位置居中的那个数 或居中的两个数的平均数。众数：样本中出现最多的那个数。 15数据的简单处理 （2）反映分散程度的特征数：极差、四分位差 极差样本数据中最大值与最小值之差， 四分位数将样本数据依概率分为四等份的3个数椐， 依次称为第一、第二、第三四分位数。第一四分位数Q1： 第二四分位数Q2： 第三四分位数Q3： 16 把包含血糖数据的区间等分为8至15个小区间

7、血糖数据最大值为632，最小值为334例1 某地148名正常人血糖数据（单位mmol/l），分析其分布规律。 17 记录各小区间内血糖数据的频数及计算频率 18 以小区间长为底、相应频率密度为高作矩形，称为样本的直方图 直方图上缘形成一条 “中间大、两头小、两侧对称”的正常特点曲线19总体、样本、样本观察值的关系总体 样本 样本观察值 ？理论分布 统计是从手中已有的资料样本观察值，去推断总体的情况总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体20集中趋势样本均数中位数居中位置的值众数频率最大的值离散程度样本方差样

8、本标准差样本变异系数 样本标准误极差最大与最小值之差25%、75%位置值 四分位数21样本均数与标准差、标准误常合写在一起 样本构成不含总体任何未知参数的函数称统计量称为的无偏估计量估计量的一个具体值称一个点估计定理1 设X1，X2，Xn为总体X的简单随机样本 X1,X2,Xn与总体X独立同分布,EXiEX,DXiDX 22定理1表明，样本均数、样本方差S2分别是总体均数EX、总体方差DX的一个无偏点估计 23例1 开胸顺气丸崩解时间XN(,)随机抽取5丸崩解时间为:36,40,32,41,36(min),作及2的无偏点估计 由数据计算得37，S213 及2的点估计为 24抽 样 分 布学 习

9、 目 标 了解 分布、t 分布、F 分布以及来自正态 总体的样本均值的分布等常见统计量的分布。 会查 分布、t 分布、F 分布的临界值表。25 统计量是样本的函数，是随机变量，有其概率分布，统计量的分布称为抽样分布. 26 分布275 10 15 2028或29定理 X1,X2,Xn为总体XN(,2)简单随机样本 2(n -1 )证明：30N(0,1) N(0,1) 2(n) 2(1) 2(n -1)31定理32推论33 例 1 已知某单位职工的月奖金服从正态分布, 总体均值为 200, 总体标准差为 40 , 从该总体抽取一个容量为 20 的样本, 求样本均值介于 190210 的概率 .

10、解 34 t 分布35也称作36 查表时要先看清楚表头的名称或概率表达式，若为上侧临界值表，则可以直接查用. 若为双侧临界值表，则需换算后查用. 37例 3 解 38例 4 解 39定理证明：N(0，1) 2(n -1)t(n1) 40定理 4 41特别地 42F 分布43也称作44 F 分布的临界值可以通过查 F 分布的临界值表(见附表 IV) 求得. F 分布的性质 例 5 解 45定理 5 46正态总体的抽样分布定理证明:是n 个独立的正态随机变量的线性组合,故服从正态分布47(3)证明:且U与V独立,根据t分布的构造得证!48参 数 的 点 估 计 例 1 某商场在决定是否接收厂家送来

11、的一大批箱装商品时, 随机地抽取若干箱进行检验, 根据这几箱的平均次品数, 估计该批商品平均每箱的次品数. 例 2 某省在一次高考结束后, 先要对考试成绩做一个估计. 随机地抽取每科中的几包试卷进行试判. 根据判卷结果估计全体考生的总分的平均值和与平均值的偏离程度进行推断, 从而估计出当年的录取线. 49参数估计是统计推断的基本内容之一. 参数估计有两种方法: 点估计与区间估计. 要估计的总体参数称为待估参数, . 假设总体分布已知, 其中有一个或多个参数未知, 利用来自总体的样本估计总体的未知参数值, 就是参数估计. 50 用一个估计量估计总体参数, 用这个估计量的一个观察值作为总体参数的估

12、计值的方法称为点估计. 由这种方法得到的估计值为点估计值. 估计量 . 估计值51矩估计法 以样本矩的函数作为总体矩的函数的估计量的方法称为矩估计法. 例 3 解 52例 4 解 53例 4 解 54 例 5 解 55最大似然估计法 例 6 设有一批产品, 根据以往的经验知道它的产品率 p 可能是 0.1 或 0.3. 生产这批产品的厂家认为该批产品质量很好, 次品率大约为 0.1, 而收购产品的商业部门认为产品质量有问题, 次品率可能为 0.3. 现从这批产品中随机抽取 15 件, 发现有 5 件次品. 问: 生产厂家与收购部门谁的估计更可靠些 ? 56解 57最大似然估计的思想: 最大似然估计值 . 最大似然估计值 . 58似然函数59 求总体未知参数的最大似然估计值就是求似 然函数的最大值. 最大似然估计值. 最大似然估计量. 60例 7 解 61估计量的评价标准 1. 无偏性 定义无偏估计量 . 62例 8 证 63定义2. 有效性 (1) 频率是概率的最小方差