2020年高考数学构造函数法解决导数不等式问题

1、2020年高考数学结构函数法解决导数不等式问题2020年高考数学结构函数法解决导数不等式问题6/62020年高考数学结构函数法解决导数不等式问题结构函数法解决导数不等式问题在函数中解决抽象函数问题首要的前提是对函数四种基天性质的娴熟掌握，导数是函数单一性的延长，假如把题目中直接给出的增减性换成一个f(x)，则单一性就变的相当隐晦了，其他在导数中的抽象函数不等式问题中，我们要研究的常常不是f(x)自己的单一性，而是包括f(x)的一个新函数的单一性，所以结构函数变的相当重要，其他题目中若给出的是f(x)的形式，则我们要结构的则是一个包括f(x)的新函数，由于只有这个新函数求导今后才会出现f(x)，

2、所以解决导数抽象函数不等式的重中之重是结构函数。比方：f(x)0，则我们知道原函数f(x)是单一递加的，若f(x)10，我们知道g(x)f(x)x这个函数是单一递加的，所以结构函数的过程有点近似于积分求原函数的过程，只可是结构出的新函数要经过题目中给出的条件能判断出单一性才可。既然是找原函数，那么即可能碰上找不到式子的原函数的时候，可是我们判断单调性只要要判断导函数的正负即可，比方g(x)的原函数是不可以正确的找到的，可是如果我们知道一个式子的导函数里面包括g(x)，则也能大概将那个函数看作是原函数，比方m(x)g(x)，或许m(x)的导函数中包括一个能判断符号的式子和g(x)相乘或x相除的形

3、式，我们也可以将m(x)大概看作g(x)的原函数。结构函数模型总结：关系式为“加”型：（1）f(x)f(x)0结构exf(x)exf(x)f(x)（2）xf(x)f(x)0结构xf(x)xf(x)f(x)（3）xf(x)nf(x)0结构xnf(x)xnf(x)nxn1f(x)xn1xf(x)nf(x)（注意对x的符号进行讨论）关系式为“减”型(x)f(x)0结构f(x)f(x)exf(x)exf(x)f(x)（1）fxx2xe(e)e（2）xf(x)f(x)0结构f(x)xf(x)f(x)xx2（3）结构f(x)xnf(x)nxn1f(x)xf(x)nf(x)xf(x)nf(x)0 xn(xn

4、)2xn1（注意对x的符号进行讨论）例1.设f(x),g(x)是R上的可导函数，f(x)，g(x)分别是f(x),g(x)的导函数，且满足f(x)g(x)f(x)g(x)0，则当axb时，有（）A.f(a)g(b)f(b)g(a)B.f(a)g(a)f(a)g(b)C.f(a)g(a)f(b)g(b)D.f(a)g(a)f(b)g(a)分析：由于f(x)g(x)f(x)g(x)0不等式左侧的原函数为f(x)g(x)，所以需要构造新函数，令h(x)f(x)g(x)，可知h(x)0，则函数h(x)是单一递减函数，所以当axb，有h(a)h(b)即答案选C。变式：设f(x),g(x)是R上的可导函数

5、，f(x)g(x)f(x)g(x)0，g(3)0，求不等式f(x)g(x)0的解集。分析：同上题f(x)g(x)f(x)g(x)的原函数为f(x)g(x)，结构新函数h(x)f(x)g(x)可知h(x)0，h(x)单一递减，又由于g(3)0即h(3)0，所以f(x)g(x)0的解集是(3,)例2.已知定义为R的奇函数f(x)的导函数为f(x)，当x0时，f(x)f(x)0，1f(1),bln1x若a2f(2),cf(ln2)，则以下对于a,b,c的大小关系正确的222是（）Aa.bcB.acbC.cbaDb.ac分析：着眼点是f(x)f(x)0，xf(x)f(x)0，则试图找出不等式左侧这部分

6、xx的原函数或许某个函数的导函数的一部分是不等式左侧，设h(x)xf(x)，则h(x)xf(x)f(x)，当x0时xf(x)f(x)0，h(x)0，当x0时，xf(x)xf(x)0，h(x)0，所以h(x)xf(x)是左减右增的函数，所以xb2f(2)cln1f(ln2)a1f(1)222例3.已知函数f(x)为定义在R上的可导函数，且f(x)f(x)对于随意xR恒建立，e为自然对数的底数，则（）A.f(1)ef(0)、f(2013)e2013f(0)B.f(1)ef(0)、f(2013)e2013f(0)C.f(1)ef(0)、f(2013)e2013f(0)D.f(1)ef(0)、f(20

7、13)e2013f(0)分析：由f(x)f(x)f(x)f(x)0，结构函数h(x)f(x)，求导得exh(x)f(x)f(x)0，函数h(x)在定义域内单一递加，所以exf(1)f(0),f(2013)f(0)e1e20131例4.设函数f(x)在R上的导函数为f(x)，且2f(x)xf(x)x2，下边的不等式在R内恒建立的是（）A.f(x)0B.f(x)0C.f(x)xD.f(x)x分析：2f(x)xf(x)x22f(x)xf(x)x20，试着找出不等式左侧部分的原函数，若设h(x)x2f(x)1x3，则h(x)x2f(x)xf(x)x2没法判断h(x)3的正负，所以结构函数有误，结构的原

8、则是结构的新函数的导函数的正负是可以判断的，所以设h(x)x2f(x)1x4，则h(x)x2f(x)xf(x)x2，当x04时，h(x)0；当x0时，h(x)0，则h(x)为左减右增的函数，且h(0)0，即f(x)1x20，即f(x)04例5.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)1f(x),f(0)4，则不等式f(x)1eln3x的解集为（）A.(0,)1)C.(1,)D.(e,)B.(,2分析：f(x)1eln3xexf(x)exeln3exf(x)ex3令h(x)exf(x)ex,h(x)exf(x)f(x)10所以h(x)为R上的单一减函数，又由于h(0)3，故不等式的解集为(0,)

9、例6.设f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0建立的x的取值范围是（）A.(,1)(0,1)B.(1,0)(1,)C.(,1)(1,0)D.(0,1)(1,)分析：令g(x)f(x),g(x)xf(x)f(x)xx2当x0时，g(x)0由于f(x)为R上的奇函数且f(1)0，所以f(1)0，g(1)f(1)01所以当x(0,1)时，g(x)0f(x)0当x(1,)时，g(x)0f(x)0又由于g(x)g(x)，故g(x)为偶函数，所以当x(1,0)，g(x)0f(x)0当x(1,)时，g(x)0f(x)0综上，f(x)0的解集为(

10、,1)(0,1)例7.函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对随意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为（）A.(1,1)B.(1,)C.(,1)D.(,)分析：f(x)2x4f(x)2x4令g(x)f(x)2x,g(x)f(x)20所以g(x)为R的单一递加函数，又由于g(1)f(1)2(1)4所以不等式的解集为(1,)例8已知f(x)定义域为(0,)，f(x)为f(x)的导函数，且知足f(x)xf(x)，则不等式f(x1)(x1)f(x21)的解集是（）A.(0,1)B.(1,)C.(1,2)D.(2,)分析：f(x)xf(x)f(x)xf(x)0令g(x)xf(x),g(x)f(x)

11、xf(x)0单一递减f(x1)(x1)f(x21)(x1)f(x1)(x21)f(x21)g(x1)g(x21)x10 x1x210 x1或x1x2x1x21x2或x1高考真题举例分析：1.函数f(x)知足x2f(x)2xf(x)ex,f(2)e2，当x0时，f(x)的极值状态是x8分析：由于x2f(x)2xf(x)ex，重点由于等式右侧函数的原函数不简单找出，因x此把等式左侧函数的原函数找出来，设h(x)x2f(x)，则h(x)ex，且xh(2)e2，由于x2f(x)2xf(x)ex，则f(x)ex2h(x)，判断f(x)的极2xx3值状态就是判断f(x)的正负，设g(x)ex2h(x)，则

12、(x)ex2hxexx(x2g(x)e2xex)这里波及二阶导，g(x)在x2处获得最小值0，所以g(x)0，则f(x)0，故f(x)没有极大值也没有极小值。（有难度，但不失为好题目）2.定义在R上的函数f(x)知足f(x)f(x)1,f(0)4，则不等式exf(x)ex3的解集为_.分析：由于f(x)f(x)1，设h(x)exf(x)，则h(x)exf(x)f(x)，不等式exf(x)ex3exf(x)ex30，设函数g(x)exf(x)ex3，g(x)h(x)ex，由于f(x)f(x)1，所以h(x)ex，所以g(x)0，又由于f(0)4，所以g(0)f(0)130，综上可判断出g(x)在定义域内单一递加且g(0)0，所以原不等式的解集为(0,)3.定义在R上的函数f(x)知足f(1)1，对随意的xR有f(x)1，则不等式2f(x2)x21的解集是2分析：f(x2)x21f(x2)x210，令tx2，则f(t)t10，设222h(t)f(t)t1，则h(t)f(t)1，所以h(t)0，即函数h(t)单一递减，22又由于h(1)0，h(t)为偶函数，所以t0,