量子力学试卷09级期中

1、评分标准：每题30分，只计算减分，这样交了至少有10第一能够写出波函数的形式解，8分；写出边界(连续)条件的，10分；知道怎样定义透射系数大致怎样求透射系数的，8分；最后求出正确解4分。第二题：每小题6分，如果大致步骤没有问题，只计算错了，适当扣分1-2第三题：每小题10分，关键看解题思路，计算结果错，适当扣一点就下面是题目和参，不保证正确，只计算的结果。质量为m的粒子从左向右作一维运动，穿越评分标准：每题30分，只计算减分，这样交了至少有10第一能够写出波函数的形式解，8分；写出边界(连续)条件的，10分；知道怎样定义透射系数大致怎样求透射系数的，8分；最后求出正确解4分。第二题：每小题6分

2、，如果大致步骤没有问题，只计算错了，适当扣分1-2第三题：每小题10分，关键看解题思路，计算结果错，适当扣一点就下面是题目和参，不保证正确，只计算的结果。质量为m的粒子从左向右作一维运动，穿越了一个宽度为a，高度为V0的一|x| 设粒子的能量EV0。试求发2m(EV0)和2 2mE ，对应的波函数分Aeikx +0Beix +B0(x)令a/2 = b，由边界(连续)ABB=BB=C因ABB=1BB=1BB(k)(k +)(k +)(k)=1(k+) A(k)(k+)1=Ck)(k+)(k)(k+)(k)1(k+) A(k)(k+)1=Ck)(k+)(k)(k+)(k)1(k)(k +)=C(

3、k+) 1(k)(k+)=C(k+)2 e2i(k)b (k)2 ? 1 =2 ? k2即 A=(k+)2 e2i(k)b (k)2 ?k2e2ib e=(k+)2 e2i(k)b (k)2 R = 2? C2A0要全透射，要求 D = ，或?AAe2ibe2ib =0=sin2b=sina=a=不妨代回到透射系数的公式中2?C i=hi ? A(k+2e2i(k)b (k ) 2k)2(k+2e2i(k)b (k 22k)e=(k+)4 +(k)4 (k+)2 (k)2 e4ib +=(k+)4 +(k)4 2(k+)2 (k(k+)4 +(k)4 2(k+)2 (k= h(k+)2 (k

4、所以，全透射的条件是a=2. 一个质量为m的粒子处于一维谐振子势V (x) = 1 m2x2中运动， 为谐振子的本征振动频率。如q果t = 0时，该粒子处于态(x,0)12)和2(x)分别为一维谐振子3根据归一化条件，求待定常数求t时刻粒子所处的状态(x, 求测量粒子的能量所能得到的可能值和测到这些求粒子能量的平均值；25) 若在t = 时刻，粒子所处的势场突然变为V 0(x) = 1 m2x2，求粒子在时刻处于新的势场V 0(x)3发态?q 13q=解2322) (x,t)10 (x)+22(x)333) 测量能量的可能值为5) 若在t = 时刻，粒子所处的势场突然变为V 0(x) = 1

5、m2x2，求粒子在时刻处于新的势场V 0(x)3发态?q 13q=解2322) (x,t)10 (x)+22(x)333) 测量能量的可能值为/和2对应的几率分别为/和/1 24) E=3 3 65) 在突变前，由于能量守恒，可知H和分布几率不随时间变化，因此可以把t = 设为初始时间，由突变的时候，波函数不变化，只要把原来的波函数在新空间X(x,0)n其中 n = . 为100020002100001010=设t0时体系的态(0 = 1 112+ 13。求222在t = 0时测量体系能量的可能值和相应几率，计算H和 计算任意时刻A的平均值A解：1) 测量体系的能量可能值为122，相应的几率分别是/,/,/，即能量可能值为12，相应的几/2本征方程为A100001010 c c=有解的条件是detA 0?= ?00003得到 1 = 1(二重简并)?201?1121= 1 2P1 =1(0) = 2?= 0 100011 得到 1 = 1(二重简并)?201?1121= 1 2P1 =1(0) = 2?= 0 100011 和3 = = 1=22，3 /因此测量A的可能值只能为1，几率为1。可见A1由于能量守恒，任意时刻的波函数