江苏省南京十三中2022年高二数学第二学期期末综合测试试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知方程在上有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（ ）ABCD2已知集合，下列结论成立的是

2、ABCD3给出下列四个命题，其中真命题的个数是（ ）回归直线y=bx+a“x=6”是“x2“x0R，使得x02“命题pq”为真命题，则“命题pq”也是真命题.A0 B1 C2 D34定义在上的函数满足，且当时，对，使得，则实数的取值范围为（ ）ABCD5用数学归纳法证明不等式“（，）”的过程中，由推导时，不等式的左边增加的式子是（ ）ABCD6某大型联欢会准备从含甲、乙的6个节目中选取4个进行演出，要求甲、乙2个节目中至少有一个参加，且若甲、乙同时参加，则他们演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为（ ）A720B520C600D2647当函数y=x2x取极小值时，A1ln2B-1ln8已

3、知集合，则( )ABCD9已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，则（ ）A2B4C-2D-410函数的图象是()ABCD11已知中，则B等于（）AB或CD或12倾斜角为的直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于，两点（点，分别位于轴的左、右两侧），则的值是（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形最大内角小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为.根据以上性质，函数的最小值为_14在中，角，所对的边分别为，且，则_.15已知是等腰直角三角形，斜边，是平面外的一点，

4、且满足，则三棱锥外接球的表面积为_16已知点在椭圆上，垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为，并且为线段的中点，则点的轨迹方程是_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数（1）若，证明：当时，；当时，；（2）若是的极大值点，求18（12分）已知10件不同产品中有3件是次品，现对它们一一取出（不放回）进行检测，直至取出所有次品为止（1）若恰在第5次取到第一件次品，第10次才取到最后一件次品，则这样的不同测试方法数有多少？（2）若恰在第6次取到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？19（12分）设函数f(x)1x2ln(x1).(1)求函数f(x)的单

5、调区间；(2)若不等式f(x)x2(kN*)在(0，)上恒成立，求k的最大值.20（12分）命题：方程有实数解，命题：方程表示焦点在轴上的椭圆(1) 若命题为真，求的取值范围；(2) 若命题为真，求的取值范围21（12分）已知关于的不等式.（1）当时，解不等式；（2）如果不等式的解集为空集，求实数的取值范围.22（10分）中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在1565岁的人群中随机调查100人，调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：年龄支

6、持“延迟退休”的人数155152817（1）由以上统计数据填列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；45岁以下45岁以上总计支持不支持总计（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率.记抽到45岁以上的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.参考数据：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，其中参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分

7、。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由于恒成立，构造函数，则方程在上有两个不等的实数根等价于函数在上有两个不同的零点，利用导数研究函数在的值域即可解决问题。【详解】由于恒成立，构造函数，则方程在上有两个不等的实数根等价于函数在上有两个不同的零点，则 ，（1）当时，则在上恒成立，即函数在上单调递增，当时，根据零点定理可得只有唯一零点，不满足题意；（2）当时，令，解得：，令，解得：或，故的单调增区间为，的单调减区间为，当，即时，则在单调递增，当时，根据零点定理可得只有唯一零点，不满足题意；当 ，即时，则在上单调递增，在上单调递减，所以当时， ，故要使函数在上有两个不

8、同的零点，则 ，解得： ；综上所述：方程在上有两个不等的实数根，则实数的取值范围为：故答案选C【点睛】本题考查方程根的个数问题，可转为函数的零点问题，利用导数讨论函数的单调区间以及最值即可解决问题，有一定的综合性，属于中档题。2、D【解析】由已知得，则，故选D.3、B【解析】归直线y=bx+a“x=6”是“x2x0R，使得x02“命题pq”为真命题，则“命题pq”当p,q都真时是假命题. 不正确4、D【解析】由题知问题等价于函数在上的值域是函数在上的值域的子集当时，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时，由，可得，当时，则在的值域为当时，则有，解得，当时，不符合题意；当时，则有，解得综上所述

9、，可得的取值范围为 故本题答案选点睛：求解分段函数问题应对自变量分类讨论，讨论的标准就是自变量与分段函数所给出的范围的关系，求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围讨论应该不重复不遗漏5、D【解析】把用替换后两者比较可知增加的式子【详解】当时，左边，当时，左边，所以由推导时，不等式的左边增加的式子是，故选：D.【点睛】本题考查数学归纳法，掌握数学归纳法的概念是解题基础从到时，式子的变化是数学归纳法的关键6、D【解析】根据题意，分别讨论：甲、乙两节目只有一个参加，甲、乙两节目都参加，两种情况，分别计算，再求和，即可得出结果.【详解】若甲、乙两节目只有一个参加，则演出顺序的种数为：，若甲、乙两节目

10、都参加，则演出顺序的种数为：；因此不同的演出顺序的种数为.故选：D.【点睛】本题主要考查有限制的排列问题，以及计数原理的简单应用，熟记计数原理的概念，以及有限制的排列问题的计算方法即可，属于常考题型.7、B【解析】分析：对函数求导，由y=2x详解：y=即1+xln2=0，x=-点睛：本题考查利用导数研究函数的极值问题，属于基础题8、C【解析】先求出集合M，由此能求出MN【详解】则故选：C【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题9、C【解析】先求出的值，再由函数的奇偶性得出可得出结果【详解】由题意可得，由于函数是定义在上的奇函数，所以，故选C.【点

11、睛】本题考查利用函数的奇偶性求值，求函数值时要结合自变量的取值选择合适的解析式来计算，考查计算能力，属于基础题10、B【解析】首先根据对数函数的性质，求出函数的定义域，再很据复合函数的单调性求出f（x）的单调性，问题得以解决【详解】因为x0，解得x1或1x0，所以函数f（x）=ln（x）的定义域为：（1，0）（1，+）所以选项A、D不正确当x（1，0）时，g（x）=x是增函数，因为y=lnx是增函数，所以函数f（x）=ln（x-）是增函数故选B【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化

12、趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.11、D【解析】根据题意和正弦定理求出sinB的值，由边角关系、内角的范围、特殊角的三角函数值求出B【详解】由题意得，ABC中，a1，A30，由得，sinB，又ba，0B180，则B60或B120，故选：D【点睛】本题考查正弦定理，以及边角关系的应用，注意内角的范围，属于基础题12、D【解析】设，则，由抛物线的定义，得，进而可求BE、AE，最后由可求解.【详解】设，则A、B两点到准线的距离分别为AC、BD，由抛物线的定义可知：，过A作，垂足为E.故选：D【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了转化思想，属于中

13、档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】函数表示的是点（x,y）到点C（1，0）的距离与到点B（-1，0），到A（0，2）的距离之和，连接这三个点构成了三角形ABC，由角DOB为，角DOC为，OD=，OC=，OA=，距离之和为：2OC+OA，求和即可.【详解】根据题意画出图像并建系，D为坐标原点函数表示的是点（x,y）到点C（1，0）的距离与到点B（-1，0），到A（0，2）的距离之和，设三角形这个等腰三角形的费马点在高线AD上，设为O点即费马点，连接OB，OC，则角DOB为，角DOC为，B（-1，0）C（1，0），A（0，2），OD=，OC=，OA=，距离之和为：

14、2OC+OA=+=2+.故答案为.【点睛】这个题目考查了点点距的公式，以及解三角形的应用，解三角形的范围问题常见两类，一类是根据基本不等式求范围，注意相等条件的判断；另一类是根据边或角的范围计算，解题时要注意题干信息给出的限制条件.14、2【解析】直接利用余弦定理得到答案.【详解】，（舍去）故答案为2【点睛】本题考查了余弦定理，意在考查学生的计算能力.15、【解析】在平面的投影为的外心，即中点，设球半径为，则，解得答案.【详解】，故在平面的投影为的外心，即中点，故球心在直线上，设球半径为，则，解得，故.故答案为：.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.16

15、、【解析】设P（x，y），则M（x，）点M在椭圆上，即P点的轨迹方程为x2+y2=1故填.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解析】分析：（1）求导，利用函数单调性证明即可（2）分类讨论和,构造函数,讨论的性质即可得到a的范围详解：（1）当时，.设函数，则.当时，；当时，.故当时，且仅当时，从而，且仅当时，.所以在单调递增.又，故当时，；当时，.（2）（i）若，由（1）知，当时，这与是的极大值点矛盾.（ii）若，设函数.由于当时，故与符号相同.又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点.如果，则当，且时，故不是的极大值点.如果，则存在根，故当，且

16、时，所以不是的极大值点.如果，则.则当时，；当时，.所以是的极大值点，从而是的极大值点综上，.点睛：本题考查函数与导数的综合应用，利用函数的单调性求出最值证明不等式，第二问分类讨论和,当时构造函数时关键，讨论函数的性质，本题难度较大18、（1）；（2）.【解析】（1）根据题意，分析可得前4次取出的都是正品，第5次和第10次中取出2件次品，剩余的4个位置任意排列，由排列数公式计算可得答案；（2）根据题意，分析可得若第6次为最后一件次品，另2件在前5次中出现，前5次中有3件正品，由排列、组合数公式计算可得答案【详解】解：（1）根据题意，若恰在第5次取到第一件次品，第10次才取到最后一件次品，则前4

17、次取出的都是正品，第5次和第10次中取出2件次品，剩余的4个位置任意排列，则有种不同测试方法，（2）若第6次为最后一件次品，另2件在前5次中出现，前5次中有3件正品，则不同的测试方法有种【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意优先分析受到限制的元素、位置，属于基础题19、 (1)见解析(2)1【解析】（1）首先求出f（x）的定义域，函数f（x）的导数，分别令它大于0，小于0，解不等式，必须注意定义域，求交集；（2）化简不等式f（x）x2，得：（x+1）1+ln（x+1）kx，令g（x）=（x+1）1+ln（x+1）kx，求出g（x），由x0，求出2+ln（x+1）2，讨论k，分k2，k2，由恒成

18、立结合单调性判断k的取值，从而得到k的最大值【详解】（1）函数f（x）的定义域为（1，+），函数f（x）的导数f（x）=2x+，令f（x）0则2x，解得，令f（x）0则，解得x或x，x1，f（x）的单调增区间为（1，），单调减区间为（，+）；（2）不等式f（x）x2 即1x2+ln（x+1），即1+ln（x+1），即（x+1）1+ln（x+1）kx（kN*）在（0，+）上恒成立，令g（x）=（x+1）1+ln（x+1）kx，则g（x）=2+ln（x+1）k，x0，2+ln（x+1）2，若k2，则g（x）0，即g（x）在（0，+）上递增，g（x）g（0）即g（x）10，（x+1）1+ln（x+1

19、）kx（kN*）在（0，+）上恒成立；若k2，可以进一步分析，只需满足最小值比0大，即可，结合K为正整数，故k的最大值为1【点睛】本题主要考查运用导数求函数的单调性，求解时应注意函数的定义域，同时考查含参不等式恒成立问题，通常运用参数分离，转化为求函数的最值，但求最值较难，本题转化为大于0的不等式，构造函数g（x），运用导数说明g（x）0恒成立，从而得到结论这种思想方法要掌握20、（1）.（2）【解析】（1）原题转化为方程有实数解，；（2）为真，即每个命题都为真，根据第一问得到参数范围，进而得到结果.【详解】（1）有实数解， （2）椭椭圆焦点在轴上,所以，为真，.【点睛】由简单命题和逻辑连接词

20、构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假假若p且q真，则p 真，q也真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假（2）可把“p或q”为真命题转化为并集的运算；把“p且q”为真命题转化为交集的运算21、 (1)；(2).【解析】试题分析：（1）当时，不等式变为。由绝对值的意义，按绝对值号内的的正负，分三种情况讨论：当时，不等式变为；当时，不等式变为，恒成立，所以符合不等式；当时，不等式变为。取三种情况的并集，可得原不等式的解集。（2）解法一：构造函数与，原不等式的解集为空集，的最小值比大于或等于，作出与的图象. 只须的图象在的图象的上方，或与重合，。解法二：构造函数，