圆锥曲线中的定点和定值问题的解题方法

1、圆锥曲线中的定点和定值问题的解题方法圆锥曲线中的定点和定值问题的解题方法20/20圆锥曲线中的定点和定值问题的解题方法寒假文科加强（四）：圆锥曲线中的定点和定值问题的解答方法【基础知识】1、对知足必定条件曲线上两点连接所得直线过定点或知足必定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，成立点的坐标知足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），而后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决.2、在几何问题中，有些几何量与参数没关，这就组成了定值问题，解决这种问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是经过考察极端地点，研究出“定值”是多少，而后再进行一般性证

2、明或计算，马上该问题波及的几何式转变为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.假如试题以客观题形式出现，特别方法常常比较见效.题型一：定点问题法一：特别研究，一般证明；法二：设该直线（曲线）上两点的坐标，利用点在直线（曲线）上，成立坐标知足的方程（组），求出相应的直线（曲线），而后再利用直线（曲线）过定点的知识加以解决。例1设点A和B是抛物线y24px(p0)上原点之外的两个动点，且OAOB，求证直线AB过定点。解：取kOA1,kOB1写出直线AB的方程；A再取kOA3,kOB3写出直线AB的方程；最后求出两条直线3O的交点，得交点为(4p,0)。设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线AB的方

3、程为yy1k(xx1)，B由题意得y124px1,y224px2,两式相减得(y1y2)(y1y2)4p(x1x2)，即k4p，y1y2直线AB的方程为yy14p(xy12)，整理得4px(y1y2)yy1y20y1y24p又QOAOB，x1x2y1y20，y12y22y1y20，y1y216p24p4p直线AB的方程为4px(y1y2)y16p20把(4p,0)代入直线AB得方程恒成立，因此直线AB过定点(4p,0)解：由上得4px(y1y2)y16p20又y1y216p2，y216p2,y1代入得4px(y116p2)y16p20，整理得yy124(4px)y116p2y0，y1y0 x4

4、p4px0直线AB过定点(4p,0)y016p2y0【变式操练1】已知椭圆C的中心在座标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1（）求椭圆C的标准方程；（）若直线l:ykxm与椭圆C订交于A，B两点（A，B不是左右极点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右极点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标题型二定值问题1）经过考察极端地点，研究出“定值”是多少，而后再进行一般性证明或计算，马上该问题波及的几何式转变为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.解题方法假如试题以客观题形式出现，特别方法常常比较见效.（2）进行一般计算推理求出其结果。例2：过抛物线m：2a0FlP,QPF

5、（作直线交抛物线于两点，若线段）的焦点与FQ的长分别为p,q，则p1q1的值必等于（）A2aB1C4aD42aa抛物线yax2（a0）的焦点F(0,1)，准线y1l：ykx14a4a4a又由lIm，消去x得y16a2y28a(12k2)y1012k2,y1y2PFy1y212，2a16aQOxpq1k2,pqy1y21(y1y2)11k2MNa4a16a24a2p1q14a图例3B是经过椭圆x2y21.(ab0)右焦点的任一弦，若过椭圆中a2b2心的弦MN/AB，求证：|MN|2：|AB|是定值分析：对于此题，MN,AB分别为中心弦和焦点弦，可将其倾斜角退到0，此时有|MN|24a2，|AB|

6、2a,|MN|2:|AB|2a（定值）下边再证明一般性设平行弦MN、AB的倾斜角为，则斜率ktan，MN的方程为y(tan)x代入椭圆方程，又|MN|(1224a2b21k)|x1x2|即得|MN|b2c2sin2，另一方面，直线AB方程为ytan(xc)22ab2212同理可得|AB|b2c2sin2由可知|MN|2:|AB|2a（定值）对于式也可直接由焦点弦长公式获得例4设上的两点，已知向量，,若mn=0且椭圆的离心率短轴长为2，为坐标原点.()求椭圆的方程；（）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；（）试问：AOB的面积能否为定值假如是，请赐予证明；

7、假如不是，请说明原因.【答案】解：（）由题意知椭圆的方程为（）由题意，设AB的方程为由已知得：()（1）当直线AB斜率不存在时，即,由mn=0得又在椭圆上，因此，因此S=因此三角形AOB的面积为定值（2）.当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b,由因此三角形的面积为定值.【高考优选传真】1（2012年江苏省16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆x2y21(ab0)的左、a2b2右焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0)已知(1，e)和e，3都在椭圆上，此中e为椭圆的离2心率（1）求椭圆的方程；（2）设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1

8、交于点P【分析】（1）由题设知，a2=b2c2，e=c，由点(1，e)在椭圆上，得a12e21c2222b222b222=a21。a2b21a222=1bc=aa=ab=1，cab由点e，3在椭圆上，得22233e221c221a2131a44a24=0a2=2a2b2a41a44椭圆的方程为x2y21。2（2）由（1）得F1(1，0)，F2(1，0)，又AF1BF2，设AF1、BF2的方程分别为my=x1，my=x1，Ax1，y1，Bx2，y2，y10，y20。注意到m0，m=2直线AF1的斜率为1=2m2（ii）证明：AF1BF2，PBBF2，即PB1BF21PBPF1BF2AF1。PF1

9、AF1PF1AF1PF1AF1AF1=AF1BF2BF1PF12.【2012高考真题上海理22】（4+6+6=16分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2y21（1）过C1的左极点引C1的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l交1于P、两点，若l与圆22相切，求证：；xy1OPOQCQ（3）设椭圆C2：4x2y21，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OMON，求证：O到直线MN的距离是定值.yxb，得x22bxb210.由y212x2设P(x1,y1)、Q(x2,x1x22b）y2)，则.（lbylfxx1x2b21又2，因此

10、OPOQx1x2y1y22x1x2b(x1x2)b22(b21)b2bb2b220，设O到直线MN的距离为d，由于(|OM|2|ON|2)d2|OM|2|ON|2，1113k233，即d=3因此d2|OM|2|ON|2k213.综上，O到直线MN的距离是定值.3、（2012高考真题福建理19）如图，椭圆E:x2y21(ab0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e1。过F1a2b22的直线交椭圆于A,B两点，且ABF2的周长为8。（）求椭圆E的方程。（）设动直线l:ykxm与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x4订交于点。尝试究：在座标平面内能否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M若存在

11、，求出点M的坐标；若不存在，说明原因。（）设ca2b2则ec1a2c3a24b2a2ABAF2BF28AF1AF2BF1BF28ABF2的周长为8a2,b3,c14a椭圆E的方程为x2y2143【反应训练】1过抛物线y22px(p0)上必定点M(x0，y0)(y00)，作两条直线分别交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，当MA与MB的斜率存在且倾斜角互补时，则y1y2等y0于()A2B2C4D4设Ax1，y1，Bx2，y2是抛物线y2pxp0)上的两点，而且知足OAOB，2()()2(则y1y2等于()p2Bp2A43p2Dp2C24、过点M(p,0)任作一条直线交抛物线y2=2px(

12、p0)于P、Q两点,则+的值为（）A.B.C.D.5、椭圆=1(ab0)上两点A、B与中心O的连线相互垂直，则的值为（）A.B.C.D.6、已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，而且PF1PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有（）A.+=4B.+=2+e22=4+e22=27、已知定点M(x0,y0)在抛物线m：y22px（p0）上，动点A,Buuuruuurm且MAgMB0求证：弦AB必过必定点8、设A(x1,y1),B(x2,y2)为抛物线y22px(p0)上位于x轴双侧的两点.O为坐标原点.(1)若y1y22p,证明直线AB恒过一

13、个定点;(2)若OAOB,证明直线AB恒过一个定点。AOB【变式操练详尽分析】【变式操练1详尽分析】由于以AB为直径的圆过椭圆的右焦点D(2，0)，kADkBD1，即y1gy221，x12x2y1y2x1x22(x1x2)40，3(m24k2)4(m23)16mk40，34k234k234k29m216mk4k20【变式操练2详尽分析】解：（）由题意知椭圆的方程为（）由题意，设AB的方程为得又在椭圆上，因此，因此S=因此三角形AOB的面积为定值（2）.当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b,由因此三角形的面积为定值.【反应训练详尽分析】22y1y22代入得y1y20，解得y1y24p

14、.3、【分析】此题可用特别值法不如设弦AB为椭圆的短轴M为椭圆的右极点，则A，b，B，b，Ma，0)因此应选(0)(0)(B4、【分析】不如取PQx轴,则P(p,p),Q(p,-p),|MP|=p,|MQ|=p.+=.5、【分析】假定A、B为椭圆的长轴和短轴的极点，则=.清除选项A、B、C，选D.6、【分析】设椭圆长轴长为2a1,双曲线实轴长为2a2,焦距均为2c,|PF2|=a1+a2,|PF1|=a1-a2.PF1与PF2垂直,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.2-a)22222+=2.(a+a)+(a1=4c,2a+2a=4c.12212x1x01(y12y02)1(y1y0)

15、(y1y0)2p2px2x01(y22y02)1(y2y0)(y2y0)2p2p式可化为2pg2p1，y1y0y2y0即4p2y1y2y0(y1y2)y02将代入得，n2pmy0 x0直线AB方程化为：xmy2px0my0m(yy0)x02p直线AB恒过点(x02p,y0)8、【分析】1、（1）解:lAB:yy1y2y1(xx1)2px1)x2x1y1(xy2即y2px2px1y12pxy1y22p1).y1y2y1y1y2y1y2y1(xy2y2因此过定点(1,0).uuuruuury1y20,得y1y24p2（2）由于OAOBx1x2y1y2y1y24p22p2px1y12py1y22p因

16、此yxy1y2y1xy1y2y1(x2p)y1y2y2y2直线AB过定点(2P,0).且有x1x2x228y216.121xAB抛物线方程为yx84.因此过抛物线上、两点的切线方程分别是y1x1(xx1)y1,y1x2(xx2)y2,即y1x1x1x12,y1x2x1x22.444848解出两条切线的交点Q的坐标为(x1x2,x1x2)(x12x2,2)28因此NOAB(x1x2,4)(x2x1,y1y2)1(x22x12)4(1x221x12)02288因此NQAB为定值，其值为0.10、【分析】假定在x轴上存在点M(m,0)，使MAMB为常数设A(x1，y1)，B(x2，y2)当直线AB与

17、x轴不垂直时，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为yk(x1)，将yk(x1)代入x23y25，消去y整理得(3k21)x26k2x3k250.k44(3k21)(3k25)0，366k2则x1x23k21，23k513、设椭圆E:x2y22），N(6,1)两点，O为坐标原点，（I）a2b21（a,b0）过M（2，求椭圆E的方程；（II）能否存在圆心在原点的圆，使得该圆的随意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且uuuruuurOAOB若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明原因。解:（1）由于椭圆E:x2y21（a,b0）过M（2，2），N(6,1)两点,a2b2421

18、11a28椭圆E的方程为x2y2因此a2b2解得a28因此161111b2484a2b2b24（2）假定存在圆心在原点的圆，使得该圆的随意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且uuuruuurykxm得x2m)2OAOB,设该圆的切线方程为ykxm解方程组x2y22(kx8,841即(12k2)x24kmx2m280,则=16k2m24(12k2)(2m28)8(8k2m24)0,即8k2m240 x1x24km12k2228)2228k2,yy12(kx1m)(kx2m)2xx12kmx(1x2)2k(2m4km2m要2m28km212k2m12x1x212k2k12k2uuuruuur2220,即2m8m8k0,因此3m28k2使OAOB,需使x1x2y1y280,所12k212k2以k23m280又8k22m22,因此m28,即m26或8m40,因此333m28m26kxm为圆心在原点的圆的一条切线,因此圆的半径为3,由于直线ym22r,r2mm8,r26