粘弹性阻尼减振的基本概念(汇编)

1、第一章 粘弹性阻尼减振的基本概念振动控制和阻尼的概念振动与噪声的危害 振动是一种普遍的物理现象， 我们这里讨论涉及到的震动问题主要是机械结 构的振动及由此产生的物理现象。大多数情况下， 机械振动会造成严重危害， 必须采用各种有效的方法加以控 制，振动与噪声的危害主要包括：1）振动造成机械结构的损坏，破坏工作条件。如建筑物在地震中受到随机 激励后，其强度承受不了共振响应造成损坏。2）振动降低机器、仪器或工具的精度。如运载工具（火箭等）的命中精度 和控制装置如仪器、计算的抗振能力直接有关。3）振动引起噪声，严重污染环境。如一些大型的振动设备工作过程中会产 生严重的噪声污染。4）振动增加机械磨损，降

2、低及其寿命。如在常高在低不平的路面上行驶， 汽车的寿命会严重减少。振动与噪声控制的主要方法 振动控制的工程含义有两层： 振动利用和振动抑制。 前者指利用系统的振动 以实现某种工程目的； 后者则指抑制系统的振动以保证系统正常工作， 延长其使 用寿命，本文主要讨论的是后面一个问题。振动控制的方法很多，就机械产品设计和结构改进的角度上作分析和研究， 振动和噪声控制主要是从消除振源或噪声源； 隔离振源（及声源） 与受影响机构 间的传递和联系；以及减少结构本身响应这三个方面采取措施。1）消除振动源或噪声源。2）隔离振源（或声源）与受影响机构（或环境）之间的联系及能量传输。3）结构的抗振及抗噪设计。阻尼减

3、振降噪技术的定义以及工程应用实例1.2.1阻尼技术的定义从减振降噪的角度上来看，阻尼是指损耗振动能量的能力、也就是将机械振动及声振的能量， 转变成热能或其它可以损耗的能量， 从而达到减振及降噪的 目的。阻尼减振、降噪技术就是充分运用阻尼耗能的一般规律，从材料、测量、工艺、设计等各项技术问题上发挥阻尼在消振、 消声的潜力、以提高机械结构的 抗振性，降低机械产品的噪声。122阻尼技术的实例阻尼技术在实际工程中已经被大量采用，下面列举一些应用实例。1）阻尼有助于降低共振振幅（位移、速度、加速度等），各类结构在增加 阻尼后可以避免应应力达到极限所造成的破坏。 曾经的世贸大楼，为了保持大楼 的稳定，安装

4、了一万多个阻尼器，在风力激励下，顶层的振幅大幅度下降。2）阻尼有助于机械结构受到冲击后，迅速恢复到稳定状态。例如高质量的 羽毛球拍或网球拍，进行了阻尼处理后可以在最短的时间内稳定下来， 不影响下 次接球。3）阻尼有助于减少因机械振动产生的声辐射， 降低机械噪声。例如一般的锯片在切割过程中的噪声可能高达105dB，如果在锯片的两侧涂以大阻尼的涂层，再贴上铝制的约束层，可以使噪声下降 12-18dB。4）阻尼可以降低结构振动，提高各类机械仪器的加工精度，测量精度和工 作精度。这对于各类机床，特别是精密机床是很有意义的。5）阻尼有助于结构减少传递振动或声能的能力，用于隔振、隔声及阻断能 量的传递。对

5、于储油罐的保护，就采用了三个固定在地基上的阻尼器相连， 对于 从各个方向传来的地震波均有隔振及阻尼作用。1.3阻尼的特征值和数学描述1.3.1阻尼的产生机理机械结构阻尼的产生机理，是指机械结构将机械振动的能量转换成可以耗 损的能量，从而起到减振作用，就物理现象区分，可分为以下五种类别：材料的内摩擦材料的内摩擦又称材料阻尼，主要是材料内部分子或金属晶粒间在相互运 动中相互摩擦而损耗能量所产生的阻尼。 对于不同的材料，用材料损耗因子所标 志的阻尼值存在巨大的差别。表1-1列举了一些材料在室温和温频范围内的损耗 因子值。表1-1各种材料的损耗因子值材料材料损耗因子材料材料损耗因子钢、铁0.00010

6、.0006木纤维板0.010.03铝0.0001砖0.010.02玻璃0.00060.002混凝土0.0150.05塑料0.005粘弹材料0.25摩擦摩擦阻尼有时称为材料的外摩擦，以区别于材料的内摩擦。摩擦耗能包括 两个结合面在相对运动中的干摩擦或称库伦摩擦以及粘性流体（液体、气体）的摩擦两种。摩擦使振动的机械能转化为热能而发散于介质中，因而产生阻尼。能量的转换无论材料的内摩擦还是表面的外摩擦。都是使机械振动能转换为热能，然后， 耗散在周围介质中。但是摩擦耗能在阻尼机理的分析中占有重要地位，所以把 它们分别列出，而将其它能量转换的耗能单独列作另一类。能量的传输前述几种阻尼作用都是因能量损耗产生

7、的，有一种阻尼作用产生于能量的 传输。例如测量悬臂梁的自由衰减率来确定梁的阻尼值，悬臂梁停止受激后，它的一部分能量因材料阻尼及结构阻尼而损耗， 还有另一部分能量通过两个途径向 外传输；一是沿着和本结构相联部分以机械波的方式传播输出，即固支端传输； 还与流体（空气）接触部分，以声辐射的方式输出。因此，从广义上讲，能量的 传输也可以看成是一种损耗方式。结合面阻尼机械结构的固定连接面，甚至大部分可活动的连接面，在机械振动时并不 发生引起干摩擦的相对运动。因此，不能把结合面阻尼的产生机理看成是一种摩 擦耗能。或者说，除了一部分连接面产生相对运动并具有干摩擦耗能的产生阻尼 情况外，绝大部分结合面阻尼来源

8、于结合面的力与位移的非线性性质（如图1-1所示），是另一种阻尼的形成机理。图1-1结合面动态切向力与位移的非线性关系132阻尼特征值的数学描述用于表征阻尼的量有诸如阻尼比、损耗因子、对数衰减率厶和品质因子Q等。这些量来表征结构的阻尼时，在小阻尼的情况下有一定的关系，但在高阻尼情型下并不适用。下面简单介绍一下各个量。对数衰减率(Logarithmic Decreme nt)当阻尼比：1时，单自由度自由振动系统的响应为对数衰减的正弦函数， 如图0-1所示。1t / s图0-1 :对数衰减率 则对数衰减率厶为A . XoX11 | 为：=In - = In - In x,X2n Xn 1式中，n为峰

9、值个数。阻尼比(Damping Ratio)x|!_Imkg ij C图0-2 :粘性阻尼单自由度系统示意图对于图0-2所示的单自由度有阻尼系统，其自由振动方程为:mX(t) cX(t) kx(t) =0令= k / m,二 c / (2mn)，即有X(t) 2 nX(t) *x(t) =0其中的 即为阻尼比，也称为粘性阻尼因子。需注意，阻尼比仅是对于阻尼力与速度成正比的粘性阻尼而言，对于其它形式的阻尼(如结构阻尼)，用阻尼比来表征只是在能量等效上的一种近似， 一般只适用于小阻尼情形。还有就是阻 尼比是对单自由度系统而言，对于多自由度系统来说，有模态阻尼比(ModalDamping Ratio

10、)的概念，是在模态坐标下的阻尼比。损耗因子(Loss Factor)损耗因子 所表征的阻尼是用于描述正弦激励与相应的正弦响应之间的关系。对于线性系统，若激励力是正弦信号，如F (t) = F0cos t则响应也是正弦信号，如x(t) = x cos(，t -、)其中响应的频率与激励力的相同，但有一个相位的迟滞，由此可定义损 耗因子为二 tan、需要注意，对于非线性系统，正弦激励的响应并不一定是正弦信号，因此并不能定义唯一的损耗因子。同阻尼比类似，在多自由度系统下，损耗因子为模态损耗因子(Modal Loss Factor)。材料损耗因子材料的损耗因子1表征了材料耗散机械能的能力，可表示为材料在

11、一个振动 周期内损耗的能量和最大应变能的比值：p 1 AW-2 W其中上W为材料在一个周期内耗散的能量，W为最大应变能。需要注意，材料损耗因子1是用于表征材料的阻尼，而损耗因子是用于表征结构或系统的阻尼。品质因子(Quality Factor)单自由度有阻尼系统的简谐激励下的强迫振动运动方程为：mX(t) cX(t) kx(t)二 F(t)二 kf(t)由此可求得系统的稳态响应为x(t)，则响应与激振力的比值，即复频响应为:x(t)Hf(t)则品质因子Q定义为Q = H)/ max在小阻尼情形下有在小阻尼情形下有12各阻尼参数的比较对于前面的几种阻尼参数，在小阻尼情形（:：:0.2 ）下可有以

12、下近似关系:j 1j 1兀 Q其中， 为损耗因子，为阻尼比，为对数衰减率，Q为品质因子，为半 功率点带宽，n为无阻尼固有频率。需要注意，上述关系只是在线性系统的共 振点附近才能成立。1.4粘弹性阻尼减振的结构形式典型的结构阻尼处理形式，根据工程需要可以有多种多样。主要有如下两大 类。1）自由阻尼层处理此种阻尼处理方法较为简单，直接将粘弹性阻尼材料粘贴或者喷涂在需要减 振的结构元件的表面上，既能起到阻尼减振、降噪作用，又有美化装饰的作用。自由阻尼层处理形式的阻尼作用，主要是通过施加在振动板上的粘弹性阻尼 材料层发生拉伸变形耗能，达到阻尼减振的效果。不受力时阻尼层不受力时阻尼层基本结构弯曲时弯曲时

13、2）约束阻尼层处理约束阻尼处理是一种夹层型结构。最典型的结构形式是将粘弹性阻尼层作 为中间层，其两面分别由弹性面层所约束。这种结构形式多样，可分为对称型、 非对称型和三层、四层、五层以及多层结构。对于约束阻尼结构，结构的振动能量可通过阻尼层的拉伸变形和剪切变形来 耗散能量，但主要还是剪切变形。一般情况下，约束阻尼结构的阻尼效果都要比自由阻尼结构的要高，且对粘弹性阻尼材料的剪切模量要求也低， 但对于复杂外 形的结构，加工相对要困难约束层约束层阻尼层基本第构1.5阻尼结构的相关著作阻尼减振降噪技术，戴德沛著，1986年西安交通大学出版社出版。本 书系统地阐述了阻尼减振降噪技术的理论问题和应用技术。

14、书中首先阐明了阻尼技术的概念、特点和应用范围，进而分别介绍阻尼的数学描述方法；阻尼材 料及材料性能；附加阻尼结构的理论、计算、设计和优化问题；各类阻尼减震 器和阻尼动力消振器；干摩擦阻尼及接合面阻尼等，通过对结构损耗因子相关 因素的分析研究，着重讨论了提高阻尼减振降噪效果的理论及技术。粘弹阻尼减振降噪应用技术，刘棣华著，1990年宇航出版社出版。本 书为粘弹阻尼减振降噪应用技术的研究实验及工程设计实践的总结，分别对振动控制的主要方法、粘弹阻尼技术概念、粘弹阻尼材料、结构阻尼设计计算， 实验测试，制造工艺、阻尼减振应用设计、振动控制与电子设备的可靠性及轻 小型化以及粘弹阻尼降噪声应用设计等内容进

15、行了介绍，并列举了有关粘弹阻 尼减振降噪方面的大量应用示例。第二章粘弹性阻尼材料的性能和本构关系2.1粘弹阻尼材料的力学性能粘弹材料是一种同时具有某些粘性材料和弹性材料特性的材料。粘性材料 在一定的状况下具有损耗能量的能力，而不能贮存能量；弹性材料可以贮存能量, 却不能损耗能量。介于粘性材料和弹性材料之间的粘弹材料在受到交变应力作用 产生变形时，部分能量能够贮存起来，部分能量则被耗散。由于粘弹性材料的动态力学性能不同于弹性材料，所以在交变应力作用下其应力-应变曲线与弹性材料的也不相同。对于纯弹性材料施加交变应力后，材料 内部的应力和应变几乎是同时增加或减小的，它的应力应变曲线为一条直线，如 图

16、2-1所示。而粘弹性材料的应变滞后于应力，滞后的相位角为：，它的应力-应变曲线为一椭圆形迟滞回线，如图 2-2所示。被封闭曲线包围的面积，表示材 料在承受交变的应力和应变的过程中损耗的能量。图2-1弹性材料应力图2-2粘弹材料的应力图2-1弹性材料应力图2-2粘弹材料的应力假设应力及应变按正弦规律变化，应变滞后于应力的相位角为:用数学式表示材料拉压应力与应变则有(2-1) TOC o 1-5 h z ；- ；eU(2-2)消去上两式的参变数t，可以得到E = 一 = 。口 = E(cos。+ i sin。)(2-3)呂 E* 二 E iE ：，E (1 i )(2-4)式中：E*为复拉伸模量;

17、其中为粘弹性阻尼材料的损耗因子(又称阻尼系数)，它是衡量阻尼材料 耗散振动能量的主要指标之一，它与每周振动所耗散的能量与贮存能量之比成正比。表示为 TOC o 1-5 h z E “ ta n 二(2-5)E 为复拉伸模量的实部，或称之为贮能拉伸模量，表示为：EEcos：(2-6)E 为复拉伸模量的虚部。因为它决定了粘弹性阻尼材料受到拉压变形时转变成热的能量耗损，又称之为耗能拉伸模量，表示为：E 工 E sin - - E(2-7)如果粘弹性阻尼材料受剪切力产生剪切变形时，其剪切应力和应变的数学表 达式将与拉压时相类似：=oert(2-8)=0ei(j(2-9)复剪切模量*i .G 二一二一e

18、 = G(cos： isin ： )(2-10) 0或：G* =G iG :： =G (1 i )(2-11)启二 ta n：(2-12)G式中：G*为复拉伸模量；G 为复拉伸模量的实部，或称之为贮能拉伸模量，表示为：GJGcos：(2-13)G 为复拉伸模量的虚部。因为它决定了粘弹性阻尼材料受到拉压变形时转变成热的能量耗损，又称之为耗能拉伸模量，表示为：G =Gsin ：二 G(2-14)工程设计中何时采用拉伸模量，何时采用剪切模量，主要是根据粘弹性阻尼 材料在实际结构中的受力状况而定的。拉伸模量和剪切模量的关系有下式表示：E =2G(1 )(2-15)其中为材料的伯松比。一般金属材料的伯松

19、比为 0.250.35之间，而粘弹 性材料的伯松比相对较高，通常可以达到0.450.5之间。如果粘弹性阻尼材料的 伯松比为0.5，有式(2-15)可知，拉伸模量和剪切模量的关系为E=3G(2-16)对于单位体积的粘弹性阻尼材料而言，在交变应力及应变下每周所做的功，(2-17)即在一个振动周期中能量的耗散或阻尼能用W表示：(2-17).W =. d dvh曲。0sin d h川;G或(2-18)2(2-18)W =二;0E最大弹性能即一周之内总应变能 W为(2-19)(2-20)(2-21)(2-22) TOC o 1-5 h z 11 2 (2-19)(2-20)(2-21)(2-22)W 0

20、 0 cos0G22或112,W 0 ；0 cos0 E22因此耗散能量与贮存能量之比：.W2 - tan- 2-W故尹W式(2-22)再次说明，粘弹性阻尼材料的损耗因子表示每周振动所耗散的振动能量与最大应变能量之间的比值。每周振动耗散的能量即为阻尼能。阻尼能越 大则粘弹性材料的损耗因子就越大，阻尼效果也就越明显。2.2影响粘弹性材料性能的主要因素粘弹材料的剪切模量实部 G和损耗因子，随环境条件有很大变化。其中 主要的影响因素是温度、频率和应变的幅值，还包括材料的预压缩量，但是，大 多数阻尼结构设计及应用时，应变的幅值在小应变范围内，因此，阻尼材料的性 能主要受温度和频率的影响，并且温度对于粘

21、弹阻尼材料性能的影响是居首位 的。1）温度的影响标志粘弹材料物理机械性能的指标 G （ E）和1随温度而有很大的变化， 在特定的频率下，E和的典型曲线如图2-3所示。可以看到材料存在明显不同 的三个区域，第一个是低温区，称玻璃态区，材料的模量高而损耗因子却较低。 第三个是高温区，称高弹态区，模量较低且值也较低。第二个区域是玻璃态区 和高弹态区的过渡区，称为玻璃态转变区，此区域内模量迅速降低而损耗因子先 是急剧增大到阻尼峰值再迅速降低。达到阻尼峰值的温度称为玻璃态转变温度， 记为Tg。作为适用的阻尼粘弹材料，Tg必须和材料的工作温度相适应。希望能有尽 可能高的损耗因子。同时，对粘弹材料能起阻尼作

22、用的值必须大于0.7，定义P0.7的温度范围为转变区温度宽度，记为 AT。，实际上也是材料的工作温度。EEf-L/iz/JJA7o. 7I11hig图2-3 E和1随温度变化曲线2）频率的影响在一定的温度下，弹性模量的实部E随频率的增加而增加，而损耗因子 在一定频率下有最大值，低于或高于这一频率，1均下降，见图2-4。图2-4 E和随频率变化曲线2.3粘弹阻尼材料动态力学性能总曲线图(诺莫图)温频等效原理由上节中两个图可以看出，粘弹材料的性能在温度和频率之间存在等效关 系，即低温对材料性能的影响与高频的影响等效，而高温的影响又与低频等效。 因此可以将温度和频率综合为一个参数，使用经过折算的频率

23、fR来代替两个参数f和T。fR = f ：T其中 fR 折算频率； f 实际频率； :T温频转换系数，是温度T的函数。两参数和单参数的数学关系如下：G(f,T)二尹 G(f J)To, ?o为参考温度及参考密度，这是人为选定的基准温度和密度， T和是 温度和密度的参变量。由于温度以绝对温度为单位，To/T及G “可在很宽的范 围内接近于1而忽略。所以可以得到：To ：-0G(f,T)二亍G(f r):f,T 二：f :TE f ,T =E f : t取图2-4中的模量曲线，为与标准一致，记为 G f曲线(E与G曲线线型 完全一致)，这时的温度T二To，若改变温度T就可以得到一组曲线，它们表示

24、:t与温度T的经验公式为：G与频率f及温度T的关系。图2-5(a)表示这一 组曲线中T -To,Ti的情况。把这两根曲线用一个自变数来表示，即把这一组曲线 用一根曲线来表示，如图2-5 (b)所示，那么在G取特定值Go，对于To,Ti这两 根曲线，其频率分别为fo,fi，要得到在图2-5 (b)上的同一个fR，则fR满足下 式则可：对于fofR = 0 心 T0= f0fR = 0 心 T0= f0:t o 当=1 ( T TOf 0:T半 1( T T1f0图2-5用单参数fR代替f ,T两个参数当T在很宽的范围内变化时(T2T_,To,Ti,T2,)，就得到了相应的：T值(：2,T4T0T

25、1T2,)，于是就可以建立:T与T的经验公式。T2T-To )525 (T -To)有了图2-5 （b）那样的用一条曲线代表不同温度 T的G-fR关系曲线，用 同样的方法可以得到1 -fR关系曲线，就能表明材料在不同温度、不同频率下的 特性了，为了使用方便，可以制成诺莫图（Nomogram ）表示的材料物理机械性 能的总曲线图，如图2-6所示。总曲线图的右边垂直轴表示实际所选的频率（如选的频率值在C点），平移交温度斜线T （如交Tj，其交点为x），再在此交点上引垂直线交实剪切模量 G曲 线（B点）及损耗因子0曲线（A点），所求得的交点坐标（B点及A点坐标， 坐标轴在总曲线图的左边垂直轴）就是在

26、一定的f ,T条件下G与值。折算频率是由D点表示的值。2.4粘弹性阻尼动态性能的测试方法1）正弦力激励法为了测定材料的动态模量及损耗因子，通常的做法是将粘弹阻尼材料制 成一定尺寸规格的试样，把试样置于机械系统中受正弦力激励，测定力的频 率和幅值及响应的频率和幅值以及力和响应的相位，然后再根据测得的这些参数计算出粘弹阻尼材料的动态模量和损耗因子。正弦力激励法的物理模型如图 2-7所示。在这样的单自由度机械系统中，粘弹材 料的动态力学性能以复刚度表示，K “ = K iK =K(1 i -)其中，K“一复刚度；K复刚度的实部；K复刚度的虚部；1粘弹阻尼材料的损耗因子。对于图示的物理模型用微分方程可

27、表示： -M x K (1 i )P式中 M加在试样上的质量；x位移幅值；P力。图2-7正弦激励法物理模型若将力P分解为同相的实部Pa和与x异相的虚部Fb图2-7正弦激励法物理模型QIH-M x K x iK x =巳 iPb (K -M 2)x iK x 二 Pa iPb上式实质上是力的平衡方程，如图 2-8所示:巳=k -m 2 xK上M 2xPb = KxKx注意到，力P和位移x的相位角为时，Pa -P COS图2-8力的矢量平衡图Pb 二 Psin 图2-8力的矢量平衡图P cos“ _ Psin :xKPsin 2K P cos M x上式说明：可通过测定激励力的幅值P、试件的交变位

28、移X, P和x的相位，以及参数，（由动态模量仪的音频讯号发生器的实际激振频率表示，或用频 率计测定），系统的当量质量M，求得材料的损耗因子 -同样，可以得到动刚 度的实部K如果在测试中试件受拉一压交变力作用，则实刚度K可以通过试件的形状因子qTc折算成实杨氏模量，E - 5c Lk如果试件在测试中受剪切力，那么实刚度 K可以通过试件的形状因子qs转换成实剪切模量，G二 qsLQ试样的形状因子是根据试样的尺寸形状计算出的。上两式是根据正弦激励法的理想物理模型建立的，在实际应用中随着测试 方法和测试设备的及试样的不同，这两个公式还需要进行一些修正。在实际使用正弦力激振法进行材料性能测定时，可采用三

29、种方法，即正弦 力扫频测量法，峰值共振法以及半功率法。这里不再赘述。2）振动杆法振动杆法的测量原理与正弦激励法类似。 但是试件的承受的不是拉压或剪切 应变，而是受力后产生的弯曲振动。图 2-9表示振动杆法的测量装置。刚性金属 杆被支撑在与杆两端相联的软弹簧片上， 杆的一端受激振器激振，而另一端与测 振传感器相对，从这里测量振动位移，试件置于隔热箱内以便控制和调节温度， 试件的弯曲变形图示见图2-10图2-9振动杆法的测量装置1激振器；2.振动杆；3隔热箱；4.测振传感器;5.工作台；6.仪器基座7试件；8隔振垫；9.支撑弹簧片系统受左端的激振器激振时，成为一个单自由度系统，系统在纵向的刚度由

30、两端的两根片弹簧及中间粘弹材料试样所构成，两根片弹簧的刚度为 2 12E/3!,金属材料的阻尼损耗因子很小， 巳取实数，h是片弹簧的惯性矩。试件的刚度为12E I /|3LS，试件作为阻尼材料，损耗因子较大，E”因此取复数，s是形状因子，当h/丨口 1,S=1, h增大时，s迅速增大。由于和阻尼材料相联,E1E1I1.ElK 二 24斗 12 亍二 Re(K ) Im(K ) lSla E1I1 EIRe(K ) =24詈 12秫11SlI m )I m )系统的总质量等于杆的质量 Mr和弹簧当量质量Me的和，试件的质量忽略不计，经计算Me =2 13Mbe 35 b式中，Mb是长h的弹簧质量

31、,M =M =Mr26Mb35 b于是，本系统的固有频率为2 n2 nReK )M由此得:如果试验装置中没有加试件,424器如果试验装置中没有加试件,424器12詩则装置本身的固有频率为:2n124 Ml13引入一个新的变量称固有频率比Z，定义Z为:z2z2 =1 丄2S lE1 人 11 /整理上式可得:E丄E丄M诂 S Z Jh b2 n1由上式可以计算阻尼材料的杨氏模量实部 E测量系统的损耗因子 ，由复刚度K “的虚部和实部之比求得:n _ lm(Kj _12E$I/SI3S 一 Re(K ) 一 (241,1； 12El / SI3)将前述几式带入上式，可以得到(Z2-1)M*1:1S

32、M 2-Z2于是有1 Z2由上式可以计算阻尼材料的损耗因子一：。只要测量得到测量系统在不加试件 的共振频率-nl及设置试件后的共振频率-n，以及系统在设置试件后的系统 损耗因子s，就可求得材料的实杨氏模量 E及损耗因子1。当材料的尺寸 h/l改变时，- n的绝对值均有变化，这就可得到不同频率下的E , 1。改变隔热箱内的温度就可以得到温度和频率改变后的e值，从而得到阻尼材料性能的总曲线图。形状因子是随h/l而变化的，h/l增大，剪切效应也增大。形状因子 S 可以按照下式计算但是，上式只有在h/l 0.7时才符合实际情况，因此，实际使用的 S可 按图2-11中的虚线计算。图2-11形状因子S与h

33、/l的关系3）自由衰减法自由衰减法测试装置示意见图2-12所示。在底座顶面中心安装测力传感器， 试样放在测力环的预紧螺钉上，两边安放的支撑块用泡沫橡胶垫制成， 应保证支 撑块的刚度和阻尼值比试样至少低一个数量级， 还应保证其上的压板在受力后不 至歪斜。压板的质量应进行试验选择，要保证试样具有一个合适的压缩量， 就应 根据不同模量的材料选用不同质量的压板。 压板太重就难以保证材料性能在线性 范围内测试，压板太轻，由于压板和试样脱开会造成削波。 在进行自由衰减试验 时，用装有加速度计的手锤敲击压板中心部位，同时用16线示波器记录加速度和力随时间变化的曲线，如图 2-13所示。从加速度曲线可以看到施

34、力的时间是 很短的，第一个半波显示有力的影响，从第二个半波开始主要是自由衰减波形， 可以用来计算粘弹材料试样的模量及损耗因子值。图2-12自由衰减法试验装置1手锤；2加速度计；3 电荷放大器;4 16线示波器；5导杆；6支撑块；7压板;8 试样；9 测力环图2-13自由衰减曲线为了导出粘弹阻尼材料损耗因子和杨氏模量E的关系式，可以借助自由衰减波的方程式求得。x(t) =x0e 禺Icos( Dt +)式中的阻尼比C -t = Cc 2其中 C 粘性阻尼系数；Cc 临界阻尼系数。由此得粘弹阻尼材料试样的自由衰减波的方程式岛tx(t) = x0e 2 cos( Dt 亠：；)式中n 为无阻尼自由振

35、动频率或固有频率；D 为有阻尼自由振动频率:波型xi至X2的周期为2T，所以2T T因为衰减曲线峰点的包络线为xe 2T T因为衰减曲线峰点的包络线为xe 2所以% x0e1 1 *1x3-(XE1 1/图 0-5 : Burgers 模型广义Maxwell和广义Kelvin模型广义Maxwell模型是由多个 Maxwell单元并联而成，广义 Kelvin模型则是由多个Kelvin模型串联而成，如下图示，其本构方程为：n二 qkk=0tssslT.tssslT.I(a)广义 Maxwell模型oAA/VoAA/VE（b）广义Kelvin模型图0-6 :广义 Maxwell和广义Kelvin模型

36、维积分型本构关系通过应用Boltzmann叠加原理，可推导出积分型本构关系，分为两类：蠕变 型本构关系和松弛型本构关系，分别见式错误！未找到引用源。式和 错误！未找到引用源。式：dJ(t- )d(t-)tntn（t）G（0）0 ；c）dG(t -)d(t-)式中，J（t）为蠕变柔量，G（t）为松弛模量2.5.3频域本构关系模型对大多数工程应用中，用频域下的本构模型来描述粘弹阻尼材料的动态力学 行为更加方便。在频域下，应力、应变时间历程都是正弦（余弦）函数，只不过 应力与应变之间存在一个相位差，应变滞后于应力。可用复数来描述一个简谐振 动：=cos( t) i sin( t)其中，i -1。这里

37、，可得到频域下的复模量本构关系:二 G （1 i ）厂 一 E （1 i J ；其中，G E 分别为材料的剪切模量和杨氏模量，为材料的损耗因子。复模 量可表示为G* 二 G iG = G (1 i JE* = E iE E (1 ：)其中，G*和E*为复剪切模量和复杨氏模量；G E 为储能模量；G E为耗 能模量。需要注意的是，式中对剪切模量和弹性模量的损耗因子 1取的是相同的 值，实际上这两个值略有不同，但对绝大多数材料来说，其差别非常小44 o弹阻尼材料模量G和损耗因子1都依赖于温度和频率，即G(,T)、,T)， 不同的阻尼材料各不相同。不同的粘弹本构模型的G和有不同的数学表达式， 例如文

38、献中常见的分数导数模型47，和上一小节给出由离散的弹簧-粘壶构成的 标准机械模型，或更一般的按某种给定的函数形式用实验数据进行拟合43。本文中用到的主要是常复模量模型，即不考虑环境温度的变化，且假设模量和材料 损耗因子不随频率的变化而变化。2.6典型材料的性能指标ZN-1阻尼材料与3M公司的ISD112阻尼材料在100Hz条件下阻尼性能的对 比见表2-1 o表2-1 ZN-1和ISD-112材料性能比较材料性能ZN-1ISDN12最大损耗因子Pmax1.41.51.11.2玻璃化转变温度TgcC134P 0.7的温度范围C-16+50-21.7+41.9P 0.7的温度宽度96663.6剪切模

39、量G ( Pmax)MPa3.53.94表2-2列出了 ZN系列的六种阻尼粘弹材料的主要性能指标。它们已经成功地应用于仪器舱板、导弹自控原件安装板及纺织机等设备的消振及消声。表2-2 ZN系列阻尼材料的主要性能牌号Pl maxG（ MPa）温度范围AToJCZN-11.401.6-1650ZN-21.104.0-1447ZN-31.104.0-1447YZN-41.452.8-2170YZN-51.853.5-1550YZN-61.854.11075第三章 粘弹性阻尼结构的理论分析方法3.1单层梁结构的理论计算3.1.1单层金属梁的固有频率的理论计算考虑等截面细直梁的弯曲振动。假设梁具有对称平

40、面，且在弯曲振动中的轴线(即挠曲线)始终保持在这一平面以内。设梁的轴线方向为x轴，对称面内与x轴垂直的方向为y轴，图3-1所示梁在弯曲振动时，其挠曲线随时间变化，可表示为y 二 y(x,t)图3-1梁弯曲振动示意图除了理想弹性体与微幅振动假设外，还假设梁的长度与截面高度之比是相当 大的（一般大于10），于是可以采用材料力学中梁弯曲的简化理论，在本坐标系 下，梁的挠曲线微分方程可表示为式中，E是弹性模量；I是截面惯性矩；EI为梁的弯曲刚度；M代表x截面处的 弯矩。关于弯矩的正负，规定为左截面上顺时针为正，右截面上逆时针方向为正。 剪力Q的正负，规定为左截面上向上为正，右截面上向下为正。分布载荷q

41、的正向与y轴相同。在上述规定下有-：MQQ, q:x:x于是有x2xEI.x:x2-2:yx2xEI.x:x2-2:yEI:Q:x=q考虑到等截面梁的EI考虑到等截面梁的EI是常量，就有EI-3二 EI-3二 y-3一 X=Q-4EI二 yEI4 =q.x应用达朗贝尔原理，可将动力学问题转化为静力学的形式来处理，为此，在 梁上加以分布的惯性力-p口-p口2:y：t2式中，代表梁单位长度的质量。假设不计阻尼的影响，在自由振动中的载荷就仅仅是分布的惯性力。综合上述几式，可得等截面梁自由弯曲振动的微分方程或写成EI-4-y4 :X-2或写成EI-4-y4 :X-2;y.:t2-4二 y-4-x式中，

42、a?二El / X该方程是4阶偏微分方程，它已不同于前述波动方程。需要根据梁的支撑情形附加适当的边界条件。常见的边界条件有：固支端该处挠度与转角都为零，即有y ,tj=O:v= 0或=1总,t =0.x铰支端该处挠度与弯矩都为零，即有y ,t =0-2y=0或=iEly ,t =0 x自由端该处弯矩与剪力都为零，即有E弓，t =0 x0 或=l；：3y .EI-4 ，t -0 x为了解决偏微分方程的边值问题，采用分离变量法，使其转化为常微分方程的边值问题。设方程的解可以表示为y x,t =X(x)Y(t)将上式代入方程中，得1 d2Ya2 d4X4Y dtX dxd2Ydt24Xa上式左端仅依

43、赖于t，而右端仅依赖于x，要使上式对于任何x与t都能成立，必 须使二者都等于一个常数。和前面关于波动方程的讨论一样，只有该常数取负值 时，才有对应于振动运动的解，故可以把这一常数记为 -，2d2Ydt24Xad4Xdx4Y (t)二 Y (t)二 A si n t B cos t式中，A, B为积分常数。第二个方程的是4阶常系数线性常微分方程，它的特征方程为其特征值为九第二个方程的是4阶常系数线性常微分方程，它的特征方程为其特征值为九1=，九2_ ,九3= j ,九4_ j _方程的通解为X -D1e x D2eiX D3ej xD4j x式中，Di,D2,D3,D4为积分常数。引用双曲函数X

44、Xshx (e -e )21x4 chx (e e )2上述通解可以改写成X x =Gch ：x C2sh ：x C3cos ：x C4sin ： x式中，Ci,C2,C3,C4为积分常数。这时，前面提到的边界条件可以转化为:1.固支端:2.铰支端:= oTxo dx3.自由端:d1.固支端:2.铰支端:= oTxo dx3.自由端:d3X ，”7灰=X 44个边界条件，由此可以确定通解中的4个常数的相对比值，并导出梁的两端共频率方程，从而确定梁弯曲振动的固有频率-以及振型函数X。具体考察各种边界条件下梁弯曲振动与振型函数之前，先将边界条件中需要 用到的X x的各阶导数列出如下:X x - -

45、 Gsh ： x C2ch ： x - C3 sin ： x C4 cos : xX x = 2Gch ： x C2sh： xC3cos ： xC4sin ： xX x = 3Gsh ： x C2ch ： x C3 sin ： x - C4 cos ： x3.1.2两端简支梁简支梁的边界条件为带入上节的各阶导数公式可以解得:X 0 =0带入上节的各阶导数公式可以解得:X 0 =0X l =0 x l =0GC3 = 0G C3 = 0C2sh-lC4sin 0C2shd -C4sin 11=0G = c3 = 0因为当N -0时，sh -l不为零，故得于是特征方程为由此得特征值为于此相应的固有

46、频率值为i 二十=1,2,而对应的振型函数为Xi x=sini：； iX 二 sin x,i需要注意的是上述固有频率值为圆频率，该值除以1,2，2二得到自然频率fn两端简支情况下梁的前三阶振型图见图3-2图3-2简支梁前三阶振型图3.1.3两端固支梁固支梁的边界条件为解上述方程组得:同时有X 0=0X 0严0X丨严0X丨=0C1 C3 = 0C2 C4 = 0C2ch 1 丨cos 11 Gsh ：丨sin 11 C2 = 0sh 11 sin 11 Gch ：丨cos 11 C2 = 0若上式对Ci,C2有非零解，它的系数行列式必须为零，即有chPl _cosPlshPl _sin Pl=0

47、 shBl+si n PlchPlcosPl将上式展开，考虑到ch2 ： l - sh2 ： l = 1,cos2 ： l sin2 ： l = 1化简后，可得特征方程为cos ： lch ： l =1上述超越方程各个特征根可以足够准确取为1:il ： (i )二=1,2,2梁的固有频率相应地为i 二. EI / 宀=1,2,求得各个特征根后，可以确定系数 G, C2的比值理/G、chPcosPjlshP+sin Pj二( ):iC2sh： -sin :ch： -cos :jl故与：相应的各个振型函数为Xi x 二 chjX-cosiX i shjX- si：nx两端固支情况下梁的前三阶振型图

48、见图3-3。X02X0-20.10.70.80.9-200.10.20.30.40.50.60.70.80.9x0.20.30.40.50.6x2图3-3固支梁的前三阶振型图3.1.4悬臂梁悬臂梁的边界条件可以表示为X 0 =0X 0 =0X丨严0IIIX 1=0解上述方程组得:G 二-C3C2-C4同时有ch ：丨 cos ：丨 G 亠sh ：丨 sin ：丨 C2 = 0sh：l-sin ：丨 0亠ch：l cos : l C2 = 0上述方程关于Ci,C2具有非零解的充分必要条件为ch H cos I sh : I sin ： I s I -sin I ch: l cos : l展开并简

49、化后，可得cos ： Ich ：丨=一1这就是悬臂梁弯曲振动的特征方程，它的最低几个特征根可借助数字解求得为1.8754.6947.85510.99614.137当i _3的各个特征根可足够准确地取为J，H -二，i =3,4,.2 悬臂梁的固有频率相应地为i = EI 门; =1,2,求得各个特征根后，可以确定系数 Ci, C2的比值尸 _C1)chP+cos PshP-sin PC2shAl+sin AlchPjl+cosRl故与二相应的各个振型函数为Xi xi=ch： i x-co sj x亠 i i shjX- si：nx悬臂梁的前三阶振型图见图3-42X0-20.10.20.30.4

50、0.50.60.70.80.9xX0-5LILLLLL2X0-20.10.20.30.40.50.60.70.80.9xX0-5LILLLLLL.L.rrFrJ 1 FTIT；00.1 0.20.30.40.50.60.70.80.91x图3-4悬臂梁前三阶振型图3.1.5固有频率与几何参数的关系由前三节的讨论可以看出不同边界条件的梁的固有频率为=1,2，式中，订的值由边界条件确定，E为梁材料的弹性模量，I为梁截面的惯性矩， 对于宽为b，高为h的截面，I二bh3/12 , t为梁单位长度的质量，bh，: 为材料的密度。令ail，则固有频率（自然频率）的表达式可以表示为由此可以看出影响特定边界条

51、件的梁结构固有频率的几何参数有两个，梁截面的高度h和梁的长度。下面以两端简支的铝材质梁为例，探讨其基频率随几何参数的变化规律。梁的基本参数：b =5mm, E =70GPa,v =2.7 103kg/m3对于两端简支的梁结构匸二保持梁的截面高度h为5mm不变，其长度由100mm变化到200mm时，它 的自然频率的变化曲线见图3-5。40003500o O o O 0 53 2ZH/Po O o O40003500o O o O 0 53 2ZH/Po O o OO 52 1100110120130140150160170180190200l/mm图3-5长度|与自然频率fn的关系图随着梁长度的

52、增加，自然频率逐渐下降。根据表达式可以看到fn与I2成反比关系。保持梁的截面长度I为200mm不变，其高度由5mm变化到100mm时，它 的自然频率的变化曲线见图3-6。o6o2o8o o2o oo455.56o6o2o8o o2o oo455.566.577.58h/mm8.599.510图3-6高度h与自然频率fn的关系图随着梁高度的增加，自然频率逐渐增加。根据表达式可以看到fn与h成正比 关系。3.1.6橡胶材料梁的固有频率和模态损耗因子橡胶材料为粘弹性材料，它的弹性模量为复模量。ee 1式中，E是模量的实部，：是材料的损耗因子。将E ”带入之前的弹性梁的固有频率计算式，得到的就是一个复

53、数令时r=Re(coJ ,(Oj=lm(cOj)那么橡胶梁的自然频率和结构损耗因子分别为fr 7 / 2=2 i / r（此处公式的推导参考了有限元计算结果，不太明白其数学意义）3.2自由阻尼梁结构的理论计算321自由阻尼梁的理论推导由单层梁的运动微分方程可以推出，自由阻尼梁的运动微分方程为d4w2（E1I1 Ed I d ） 4 （丄i * 2 ）；：； w = 0dx式中Ei是基层的弹性模量，Ii是基层关于中性轴的惯性矩，Ed是阻尼层的弹性模量，为复数，Id是弹性层截面关于中性轴的惯性矩，分别为基层和阻尼层单位长度的质量。IdH；HvIdH；Hv121皈3矶號2机机Hi3.T1 2航訥2

54、3h2 6hv 4 ev EdIiEih峠于是有2 ,.2 ,. = :2iiEiliEdId %式中I值由边界条件和模态阶数共同确定，与单层梁的一样 类似于橡胶梁的固有频率和结构损耗因子表达式自由阻尼梁的固有频率和结构损耗因子表达式分别为令 叫=R（ o）, 罔=I m创）3.2.2用应变能法求自由阻尼结构的损耗因子变形能法的基本原理是计算结构在机械振动时的能量损耗比、Wj、Wi 4Nx Wi全部结构的总变形能，共有 N个结构件;i 4Ix Wj全部结构中的耗能结构所耗散的总能量， N个构件中，共有I个j 4耗能构件。结构的损耗因子 用结构耗散能与总的弹性变形能的比值表示。在自由阻 尼结构中

55、，主要是粘弹材料耗能，弹性层和粘弹材料都存在变形能。考虑如图3-9所示的自由阻尼梁结构。它的弯曲变形示意图见图3-10.图3-10阻尼层微元变形图图3-10阻尼层微元变形图在距离中性轴z处取厚度为dz阻尼材料微元，未变形前的长度为 dx，拉伸变形为.IX,因此，它的应变为dx dx2定体积的粘弹材料在交变应力和应变作用下每周做的功为 2、W =二 bED x dxdz式中E 式中E D = D ED整个粘弹材料层耗散的总能量为(r s)hL 2Wd =(r s)hL 2Wd =二 bE z dzrhd2wdx22dx换言之d 2wd 2wWd =MEdId2Adx丿dx式中Id是阻尼层截面积关

56、于中性轴的惯性矩,(r s)hz2dzrh阻尼梁中存储的总变形能为len gth因此该结构的损耗因子为d2w影dx2EIdx/ , 2 、d w1 ；(.2 d w2len gth因此该结构的损耗因子为d2w影dx2EIdx/ , 2 、d w1 ；(.2 d w2dx + J Ed Id2idx丿20idx丿dxLW # E1l1 bElDd2wJdx2 7dxEi|i0d2wdx21dx 2 Ed I2 0d2w(dx2dx上式可以简化为:dEdIdE1I1EdId上式中整理后得IdHi2Hv12 1秋3肌卅2曲机Hi3Ii12 1 evhvEl 巨 h且v Hi1 2evhv 削 3忙

57、60 4232 4Devhv(3+6hv+4hv +2qhv +eA )1 evhv 5 6hv 4hejhj 4 6hv 5h；上式即为用应变能法计算自由阻尼层结构损耗因子表达式，在推导该式时， 并未对振型作任何假设，因而可以得出结论，对于自由阻尼结构，不论其边界条 件如何，其结构损耗因子均可用上式计算。3.3三层约束阻尼梁的理论计算3.3.1约束阻尼梁的理论推导1）运动微分方程的建立设阻尼结构两弹性层的厚度分别为 H1,H3，杨氏模量为E1,E3，阻尼层的厚 度为H2，剪切模量为G 1 。假设弹性层的剪应力，阻尼层长度方向的拉伸 应力是可以忽略的。同时略去了弹性层和阻尼层之间的相对横向应变

58、，所以，结 构中任意一截面各点的横向位移是相等的。设阻尼层z向的位移为w，x向的位移为u，则剪切应变为 w :u=x :z:u u3 7 1 H1 H3 ；:w_ H2H2 22 :x上式右侧的后一项是因横向位移产生剪切应变后，由于阻尼层的附加变形 旦！ Ha卫所增加的剪切应变。.22 伙因此H31 :w U3 _UiH 2 ；:x H 21式中H3讦H 2 H H 3假定在阻尼层厚度方向剪切应变是常数，并略去拉应力，则剪切应变也是常数G =G 生G =G 生iw.gi|屮2 ；xH2(a)对于三个结构层，在任意X-X对于三个结构层，在任意X-X截面上的总剪力是-3S)= B|.:-3S)=

59、B|.:x3B1 =EiliE1H312= B3EsH；12与阻尼层的剪切应力相联系的剪力 S2，应该考虑到弹性层的中性面，而不 仅仅是阻尼层的厚度，当然在阻尼层的内部才有剪力，所以，两弹性层中性面之 间计算的剪力实际上是当量剪力。S2式中负号表示剪力S2与剪应力方向相反。所以截面上总的剪力为令 w *H 31 dw u3 - qS=S1 P +Q =（呂 +B3 tw_g H31*CXH 2 XH 2剪力与横向分布载荷t有关，由图可得S- S S t、x = 0横向分布载荷:St:ex令B。二耳 B3则有C4w Gh3-i c2w GH3 3 cu1 t = Bo 4兰 2聖 31exH2

60、ex H2 _cxex ）弹性层的拉力R,P3与纵向位移有关Pex(单位宽度)Pex(单位宽度)由于仅有纵向力Pi,P3，根据平衡条件由于仅有纵向力Pi,P3，根据平衡条件P=-P3EiHiUiU3E3H 3；XX即有E1 H1 Ur：- - E3 H 3 u于是可以得到.4B 二 wBo _.4B 二 wBo _:XG h3! ；：2wG H 31+H2：x2 H2EiHiE3H3E3H3卫二t;X定义剪切参数定义剪切参数h2 h2 x 1 j ：剪切参数：Xd , 1 zy非耦合剪切参数：x -c GV / f剪切参数系数：c=b2兀 Hvk为了计算、fr，首先要计算y、X”及z，由于x