中考中费马点详解加测试

1、皮耶德费马（PierredeFermat）是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家。之所以称业余，是因为皮耶德费马拥有律师的全员工作。他的姓氏依据法文与英文实质发音也常译为“费尔玛”（注意“玛”字）。费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名“最后”的意思是：其余猜想都证明了，这是最后一个。着名的数学史学家贝尔（）在20世纪初所撰写的着作中，称皮耶德费马为”业余数学家之王。“贝尔坚信，费马比皮耶德费马同时代的大部分专业数学家更有成就，但是皮耶德费马并未在其余方面还有成就，自己也逐渐退出人们的视线，考虑到17世纪是优秀数学家活跃的世纪，因此贝尔以为费马是17世纪数学家中最多产的明星

2、。费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔德费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳从头发现了这个问题，并系统地进行了推行，所以这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，有关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。这一问题的解决极大推进了结合数学的发展，在近代数学史上拥有里程碑式的意义。“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个极点距离之和最短的点。若给定一个ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个极点A、B、C的距离之和比从其余点算起的都要小。这个特别点关于每个给定的三角形都只有一个。若三角形3个内角均小于1

3、20，那么3条距离连线正好三平分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。2.若三角形有一内角大于等于120，则此钝角的极点就是距离和最小的点。在1的条件下绘图找费马点如图以随意两边为边向两边做等边三角形ABD和等年三角形ACE，则CD,BE交点P即为所求若在120的钝角三角形中，其极点即是。此外，当恰好120,且三角形BCD为等边三角形时，有个结论：AD=AB+AC我们拓展一道几何题，第二问对好多学生或许老师仍是很酥爽的。2011房山一摸2009石景山A25（本小题满分7分）BC已知：等边三角形ABC如图1，P为等边ABC外一点，

4、且BPC=120试猜想线段BP、PC、AP之间的数目关系,并证明你的猜想；（2）如图2，P为等边ABC内一点，且APD=120A求证：PA+PD+PCBDP我们回到正题：费马点B25.如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(0,2)，点D在x轴的正半轴上，ODB30，OE为的中线，过B、E两点的抛物线23D与x轴订交于C6A、F两点（A在F的左边）.图21）求抛物线的分析式；2）等边OMN的极点M、N在线段AE上，求AE及AM的长；3）点P为ABO内的一个动点，设mPAPBPO，请直接写出m的最小值,以及m获得最小值时，线段AP的长.2013房山一摸24（1）如图1，ABC和CDE都是等

5、边三角形，且B、C、D三点共线，联络AD、BE订交于点P，求证：BE=AD2）如图2，在BCD中，BCD120，分别以BC、CD和BD为边在BCD外面作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，联络AD、BE和CF交于点P，以下结论中正确的选项是（只填序号即可）AD=BE=CF；BEC=ADC；DPE=EPC=CPA=60；（3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE29.阅读下边资料:小伟碰到这样一个问题：如图1，在ABC（此中BAC是一个能够变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边PBC，求AP的最大值。A他的方法是以点B小伟是这样思A考的

6、：利用变换和等边三A角形将边的地点从头组合为旋转中心将ABP逆时针旋转60获得ABC,连结AA,当点A落在AC上时,本题可解（如图2）CBCB(1)请你回答：AP的最大值是(2)参照小伟同学思虑问题的方法，解决以下问题：如图3，等腰RtABC边AB=4,P为ABC内部一点，请写出求AP+BP+CP的最小值长的解题思路.提示:要解决AP+BP+CP的最小值问题，可模仿题目给出的做法.把ABP绕B点逆时针旋转60，获得ABP.请画出旋转后的图形请写出求AP+BP+CP的最小值的解题思路（结果能够不化简）.A2016一月昌平28.已知，点O是等边ABC内的任一点，连结OA，OB，OC.P（1）如图1

7、，已知AOB=150，BOC=120，将BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADC.DAO的度数是；BC图3用等式表示线段OA，OB，OC之间的数目关系，并证明；2）设AOB=，BOC=.当，知足什么关系时，OA+OB+OC有最小值？请在图2中画出切合条件的图形，并说明原因；若等边ABC的边长为1，直接写出OA+OB+OC的最小值.2017年一月昌平29如图1，在ABC中，ACB=90，点P为ABC内一点1）连结PB，PC，将BCP沿射线CA方向平移，获得DAE，点B，C，的对应点分别为点D，A，E，连结CE依题意，请在图2中补全图形；假如BPCE，BP=3，AB=6，求CE的长B（2）如图BB

8、N3，连结PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值MPPPCACA图2CA图1图3小慧的作法是：以点A为旋转中心，将ABP顺时针旋转60获得AMN，那么就将PA+PB+PC的值转变为CP+PM+MN的值，连结CN，当点P落在CN上时，本题可解请你参照小慧的思路，在图3中证明PA+PB+PC=CP+PM+MN并直接写出当AC=BC=4时，PA+PB+PC的最小值延长一下2017年一月海淀28在ABC中，AB=AC，BAC=，点P是ABC内一点，且PACPCA连2接PB，尝试究PA，PB，PC知足的等量关系APAPPBCBC图1图21）当=60时，将ABP绕点A逆时针旋转60获得ACP，连结P

9、P，如图1所示由ABPACP能够证得APP是等边三角形，再由的大小为度，从而获得CPP是直角三角形，这样能够获得关系为；PACPCA30可得APCPA，PB，PC知足的等量2）如图2，当=120时，请参照（1）中的方法，研究PA，PB，PC知足的等量关系，并给出证明；3）PA，PB，PC知足的等量关系为2016年顺义一摸28已知：在ABC中，BAC=601）如图1，若AB=AC，点P在ABC内，且APC=150，PA=3，PC=4，把APC绕着点A顺时针旋转，使点C旋转到点B处，获得ADB，连结DP依题意补全图1；直接写出PB的长；2）如图2，若AB=AC，点P在ABC外，且PA=3，PB=5，PC=4，求APC的度数；3）如图3，若AB=2AC，点P在ABC内，且PA=3，PB=5，APC=120，请直接写出PC的长26、如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上随意一点，将BM绕点B逆时针旋转