多元函数微分学的MATLAB求解课件

1、第12章 多元函数微分学的MATLAB求解编者 Outline12.1 多元函数的基本概念12.2 偏导数12.3 全微分12.4 多元函数微分学的几何应用12.5 方向导数与梯度12.6 多元函数的极值12.7 多元函数的泰勒公式12.8 最小二乘法及其MATLAB实现12.1 多元函数的基本概念1.平面点集与n元空间 坐标平面上具有某种性质 P 的点的集合，称为平面点集，记作 我们用 表示 n 元有序实数组 的全体所构成的集合，为了在集合 中的元素之间建立联系，在 中定义线性运算如下：设 为 中任意两个元素， ，规定这样定义了线性运算的集合 称为 n 维空间。2.多元函数的定义设 D 是

2、的一个非空子集,称映射 为定义在 D 上的二元函数，通常记为 ，或其中点集 D 称为该函数的定义域，x，y 称为自变量，z 称为因变量。一般地，将上述定义中的平面点集 D 换成 n 维空间 内的点集 D ，映射 就称为定义在 D 上的 n 元函数，通常记为或简记为 3.多元函数的极限 设二元函数 在点 的某邻域内有定义（ 可以除外），如果对于任意给定的正数 ，总存在一个正数 ，使当 时，恒有 成立，则称当 时，函数 以常数 A 为极限，记作 或 为了区别于一元函数的极限，我们将二元函数的极限叫做二重极限。4.多元函数的连续性 设二元函数 满足以下条件：在点 的某邻域内有定义；极限 存在；则称函

3、数 在点 连续。如果函数 在其定义域 D 的每一点都连续，那么就成函数 在 D 上连续，或者称 是 D 上的连续函数。二元连续函数在图形上表现为一个无空隙、无裂缝的曲面。与闭区间上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上连续的多元函数具有如下性质。有界性与最大最小值定理 在有界闭区域 上的多元连续函数，必定在 上有界，且能取得它的最大值和最小值。介值定理 在有界闭区域 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。3.偏导数的MATLAB符号求解在MATLAB中，求解多元函数的偏导数仍然采用diff函数。例：设 ，求 及 。 如果函数 的两个二阶混合偏导数 在区域 内连续，那么在该区域

4、内这两个二阶混合偏导数必相等。4. 隐函数的偏导数 设函数 在点 的某一邻域内具有连续偏导数，且 ， 则方程 在点 的某一领域内能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 ，它满足条件 ，并且类似地，扩展到 n 元隐函数 ，则可以通过隐函数求出自变量之间的偏导数。具体可以用下面的公式求出 ：12.3 全微分1. 全微分的定义 设函数 在点 的某邻域内有定义，如果函数在点 , 的全增量 可表示为其中 不依赖于 而仅与 有关， ，则称函数 在点 可微分，而 称为函数 在点 的全微分，记作 ，即 如果函数 在区域 内各点处都可微，那么称这函数在 内可微分。下面讨论函数 ， 在点 可微分的必要条件和充分

5、条件。必要条件 如果函数 在点 可微分，则该函数在点 的偏导数 必存在，且函数 在点 的全微分为充分条件 如果函数 的偏导数 在点 连续，则函数在该点可微分。2.全微分的应用 由二元函数的全微分的定义及关于全微分存在的充分条件可知，当二元函数 在点 的两个偏导数 连续，并且 都较小时，就有近似等式上式也可以写成12.5 方向导数与梯度1.方向导数 设 是 平面上以 为始点的一条射线， 是与 同方向的单位向量，射线 的参数方程为设函数 在点 的某个邻域内有定义， 为 上另一点，且 P 在该邻域内。如果函数增量： 与 P 到 的距离 的比值 当 P 沿着 趋向于 时极限存在，则称此极限为函数 在点

6、 沿方向 的方向导数，记作 则：2.梯度 与方向导数有关联的一个概念是函数的梯度，在二元函数的情形，设函数 ： 在平面区域 D 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 ，都可定义出一个向量 这向量称为函数 在点 的梯度记作 或 即12.6 多元函数的极值1.多元函数的极值及其求法 设函数 的定义域为 D ， 为 D内一点，若存在 的某个邻域 ，使得对于该邻域内异于 的任何点 ，都有则称函数 在点 有极大（小）值 ，点 称为函数 的极大（小）值点。极大值、极小值统称为极值，使得函数取得极值的点称为极值点。具有二阶连续偏导数的函数 的极值的求法：第一步 解方程 求得一切实数解，即求得一切驻点；第二步

7、对于每一个驻点 ，求出二阶偏导数的值 ；第三步 定出 的符号，按照函数取得极值的充分条件判定 是不是极值，是极大值还是极小值。2.条件极值 对于对自变量有附加条件的极值称为条件极值。对于有些条件极值，我们可以通过代入手段将其化为无条件极值，但很大一部分是不能转化的，此时我们可以采用拉格朗日乘数法求解。要找函数 在附加条件 下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数 其中 为参数，求其对 的一阶偏导数，并使之为零，然后与 联立起来： 由该方程组解出 及 ，这样得到的 就是函数 在附加条件 的可能极值点12.7 多元函数的泰勒公式设 在点 的某一邻域内连续且有直到 阶的连续偏导数， 为该邻域内任一点, 则有其中记号 表示 表示上述公式称为二元函数 在点 处的二元 阶泰勒公式。12.8 最小二乘法