狄利克雷定理的证明

1、为证明定理本身，我先证明几个引理。引理1(Bessel不等式)：若函数f (x)在-兀，兀上可积，则有f 2 (x)dx皇 + 工(a 2 + b 2f 2 (x)dxn=12n nn=1-K证明：设S (x证明：设S (x)=普+ * (a n=1显然：j f (x) - S (x)2dx =cos nx + b sin nx)j f 2(x)dx - 2 j f (x)S (x)dx + mj S 2 ( x)dxm(*)-K-K-K-K其中，j f -K-K-K-K其中，j f (x)S (x)dx =号 j f (x)dx + 尤(a j f (x)cos nxdx + b j f (

2、x)sin nxdx)-K-Kn=1-K-K由傅立叶级数系数公式可以知道：j f (x)S (x)dx = Ka 2 +kE(a 2 + b 2)m2 0n nn = 1-Kj S 2 (x)dx = j a- + 尤(a cosnx + b sinnx) dx = a 2 +kK(a 2 + b 2) m2nn2n n-n =1n =1以上各式代入(* )式，可以得到：0 j f (x) - S (x)2dx = j f 2(x)dx-a 2 一E(a 2 + b 2) m2 0n n-K-Kn=1另生 a 2 +k!E (a 2 + b 2) j f 2 (x)dx 20n nn =1-K

3、这个结果对于Vm e N均成立，而右端是一定积分可以理解为有限常数，据-K此可知“ Ka 2 +k* (a 2 + b 2)”这个级数的部分和有界，则引理1成立。2 0n nn = 1引理2：若函数f (x)是T = 2k的周期函数，且在上可积，则它的傅立叶级数部分和1、1 sin(m + - )uS (x)可改写为：S (x) = - j f (x + u)砧 dum K 兀2sin -K2证明：设S (x)=号+ * (a cos nx + b sin nx)n = 1=j f (x)dx +1 (j2kk-Kn=1 -Kf (x)cos nxdx)cos nx + (j f (x)sin

4、 nxdx)sin nx-K11 K 1 顶1 k一 x1 顶1 f(m + 2)=f ()质 + 乙cos n( - x)du = f (x +1) + 乙cos ntdt = f (x + u)du-Kn=1-K-xn=1-K2sin 我在下边给出一个比楼主强的结论！收敛定理：设f (x)是a, b的按段光滑函数,如果它满足：(1)在a,b只有有限个第一类间断点，在补充定义后它可积(应当指出：补充定义后，它已不是原来的函数)。(2)在a,b每一点都有f (x土0)，且定义补充定义后的函数为f13)有：lim f (x + ) T(x + 0) =f (x + 0)，lim f (x - u

5、) T(x-0) =f (x - 0)U T0+U1U T0-U1则f (x)的傅立叶级数在点x收敛于这一点的算术平均值f (x + 0) + f (x 一 0)，若在x连续，则收敛于f (x)。为方便，我仅证明f (x)是T = 2兀的在-兀,兀上的按段光滑函数(上述命题在此基础上稍加变换即可)，则当x e-K，丸时有(其中a.,、是傅立叶级数系数) f (x + 0) + f (x 0) a 亨，2= -2 + 乙(a cos nx+b sin nx)n=1证明：由引理1容易可知证明：由引理1容易可知：limI f (x)sin(n + )xdx = 0ns匕0(*)若 limf (x +

6、 0) + f (x 一0) n*2-S (x) = 0成立，则命题得证，而 mf (x + O)+ f (x-0) S x) = lim如地 + 竺0) 11 f (x + u严m + 2)U du2皿 22兀”2sin U2另外，注意这个式子是偶函数，则 ( 1、 sin(m + )u 2 u = 1另外，注意这个式子是偶函数，则U 2sin 2f (x+0) j 皿+2)udu=f (x+0) j 皿+2)udu2 兀 2sinu丸 0 2sin 202声口、兀sin(m + )u若lim j f (x + 0) f (x + u)du =0，则命题得证。n* 02sin 2u记 g (u) = f (x + 0) 一 f (x + u)M uu sin2u有微积分知识 lim g (u) = f (x + 0) f (x + )= f (x + 0)，若 g (0) = - f (x + 0) u 顶+usinu 112则它在0+连续，由于第一类间断点只有有限个，则它在0,兀上可积。结合(*)声口、i 兀sin(m + )u式可知 lim-1 f (x + 0) - f (x + u)2-du = 0s 兀 02sin 2声口、1 0srn(m + )u同理可以证明 limf (x - 0) - - 1 f (x + u)-du = 0s兀一