高等数学练习题 第三章、复变函数的积分 试题库

1、第三章、复变函数的积分 试题库：第一部分、判断与填空：1、设函数f(z)在区域 D 解析，为 C 内 D 任一条闭简单曲线，则f (z)dz 0.C2、设函数f(z)在复平面上解析，若它有界，则必 f(z)为常数。3、若函数f(z)在区域D解析，则积分与路径无关。4、设C:|z1，则(zdz _。C15、。dz _coszC6f(z)在单连通区域D C内 D任一条闭简单曲线，f(z)dz _则。Cze dz _。7、zC1dz _dz _8、设C 是以为ar 为半径的圆周，则。(za)nC19、设C 是以为ar 为半径的圆周，则。z a22C10、设函数f(z)在区域 D解析，则它是任意阶可导

2、的。第二部分、证明与计算：I |z|dz，积分路径为（1）单位圆（|z1i1、计算积分：）i2）单位圆的右半圆。2、计算积分：I Rezdz，L在这里L 表示单位圆（按反时针方向从1 到 13、计算积分：I RezdzLzz在这里L 表示从 沿直线段到 。12f(z) |zz r (0r M(r)4当表000| f(z)| |zz r r上的最大值，并且假定示在00lim M(r)0。r试证明lim f(z)dz 0r KrK |zz r在这里 是圆。r0f(z) |zz rM(r) |f(z)|在5、如果函数在内解析，令表示00|zz r r上的最大值，并且假定00lim M(r)0r那么对

3、任何rr，0f(z)dz 0Kr6、计算积分：1|2z。z 14f(z) g(z)D7、设及在单连通区域 内解析，证明：f(z)g(z)dz f(z)g(z)| f(z)g(z)dz 在这里从 到 的积分是沿 内连接 及 的一条简单曲线取的。DdzI C8、计算积分：，这里用 表示单位圆（按反时针方向从zC1 到 1 1所决定的解析分支。I lnzdzC，这里用 表示单位圆（按反时针方向9、计算积分：C从 1 到 1ln10所决定的解析分支。I lnzdzC，这里用 表示单位圆（按反时针方向10、计算积分：C从 1 到 1ln12 i 决定的解析分支。i、如果积分路径不经过点 ，那么dz 10

4、 ( k k 1z 42| (x iy )dz|2 C2212、证明：， 为联-i到 i 的线段。C| (x iy )dy| C|z1 Rez0。2213 ， 为右单位圆，Cz| 2 C14、证明：， 为联i 到 i+1的线段。z2C15、设f(z)在原点的邻域内连续，那么2f( fi。r00e dzz16、计算积分：。z|z|1z17、计算：。z 22|2z18、计算：z 22|1zdz19、计算积分：20、证明。(2zz2)|z|11 z e dznn z( ) 2! 2 i n n|3C在这里 是围绕原点的一条简单闭曲线。 1|32f(z) df i( 21、设，求。z22、通过计算证明1 dz|z|1(z ) , (n2nz z135 (2n2 cos d 2n。246 2n0|z1 f(z)解析，并且23、如果在内，1| f (z)|z|，证明1| f (0)(n ) e(nn(n)nnf(z)D24、设在单连通区域 内解析，并且不等于零。那么存在一个g(