立体几何知识点

1、精心整理精心整理立体几何知识点一、空间几何体多面体：由若干个多边形围成的几何体，叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。两个互相平行的面叫做底面,其余各面叫做侧面.3棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥叫做正棱锥。正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心。

2、4棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。正棱台的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似的正多边形5旋转体：由一个平面图形绕一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴，6圆柱、圆锥、圆台：分别以矩形的一边、直角三角形的直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。圆柱.圆锥.圆台的性质：平行于底面的截面都是圆；过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形。注：在处理圆锥、圆台的侧面展开图

3、问题时，经常用到弧长公式l=aR7球:以半圆的直径为旋转轴，旋转一周所成的曲面叫做球面球面所围成的几何体叫做球体（简称球）8简单空间图形的三视图：一个投影面水平放置，叫做水平投影面，投影到这个平面内的图形叫做俯视图。一个投影面放置在正前方，这个投影面叫做直立投影面，投影到这个平面内的图形叫做主视图（正视图）。和直立、水平两个投影面都垂直的投影面叫做侧立投影面，通常把这个平面放在直立投影面的右面，投影到这个平面内的图形叫做左视图（侧视图）。三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形。（1）.三视图画法规则：高平齐：主视图与左视图的高要

4、保持平齐长对正：主视图与俯视图的长应对正宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等空间几何体三视图：正视图（从前向后的正投影）侧视图（从左向右的正投影）；正视乙侧视俯视图（从上向下正投影例题1.某四棱锥底面为直角梯形，1条侧棱与底面垂直，四棱锥的三视图如右图月i示1则其体积为例题2.右图是底面为正方形的四棱锥，其中棱（1）.三视图画法规则：高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐长对正：主视图与俯视图的长应对正宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等空间几何体三视图：正视图（从前向后的正投影）侧视图（从左向右的正投影）；正视乙侧视俯视图（从上向下正投影例题1.某四棱锥底面为直角梯形，1条侧棱与底面垂直，四棱锥的

5、三视图如右图月i示1则其体积为例题2.右图是底面为正方形的四棱锥，其中棱PA垂直于底面，它的三视图正确的是（俯视A6)VA正前方图5空间几何体的直观图一一斜二测画法特点:斜二测坐标系的y轴与x轴正方向成45角;原来与X轴平行的线段仍然与X平行，长度不变;原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半.常用结论：平面图形面积与其斜二侧直观图面积之比为2迈:1.例.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是（）.C2+屮2*2D.1+、：29特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，h为斜高，1为母线）：S圆台表C+讥+Rl+R

6、2）S球面=4nR210.柱体、锥体、台体和球的体积公式：11V-（S+TFF+S）hV飞（S*SS+S）h二丁（r2+rR+R2）hV=4加台3圆口33球3例题3:已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形例4.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A.16kB.20kC.24兀D.32n例5半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为.练习：1.已知一个几何体的三视图及其大小如图1,这个几何体的体积V=（A.12kB.16kC.18kD.64k.

7、右图是一个几何体的三视图，根据图中数据,可得该几何体的表面积是（）A.32kb.16kC.12kd.8k俯视图.某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（）A20A.n3B6n10n34.一个几何体的三视图是三个边长为1的正方形和对角线,如图所示，则此几何体的体积为（）115A.6B.3C.6D.1个空间几何体的三视图如图所示，根据图标出的尺寸，可得这个几何体的体积为（）A.4B.8C.12D.24若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱的体积为（）A.12朽B.6C.27朽D.36朽二、立体几何点线面的位置关系T11

8、2T左视图111111中点，则以下结论中不成立的是（）A.EF与BB垂直B.EF与BD垂直1C.EF与CD异面D.EF与AC异面11TOC o 1-5 h z例2已矢Um,n是两条不同直线，a,p,y是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A.若mIIa,nIIa,则mIInB.若a丄丫,P丄丫,则aIIpC.若mIIa,mIP,则aIIPD.若m丄a,n丄a,则mIIn练习：1设直线m与平面a相交但不垂直，则下列说法中正确的是（）A.在平面a内有且只有一条直线与直线m垂直B.过直线m有且只有一个平面与平面a垂直C.与直线m垂直的直线不可能与平面a平行D.与直线m平行的平面不可能与平面a垂直2设

9、a,b为两条直线,a，p为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A.A.若ab与a所成的角相等，则abB.若a/a,bp,ap，则abC.C.若aua,bup,ab，则apD.若a丄a,b丄p,a丄p，则a丄b3给出下列四个命题：垂直于同一直线的两条直线互相平行.垂直于同一平面的两个平面互相平行.BBC精心整理精心整理B若直线/,/与同一平面所成的角相等，则/,/互相平行.1212若直线I,/是异面直线，则与/,/都相交的两条直线是异面直线.1212其中假命题的个数是()(A)1(B)2(C)3(D)44设a、p、y为平面，m、n、/为直线，则m丄0的一个充分条件是()(A)a丄0二/,m

10、丄/(B)acy二M,a丄y,0丄y(C)a(C)a丄y,0丄y,m丄a(D)n丄a,n丄0,m丄a设M、N是不同的直线,a、0、y是不同的平面，有以下四个命题：若a/0,a/y,则0/y若a丄0,m/a，则m丄0若m丄a,m/0，则a丄0若m/n,nua,则m/a其中真命题的序-号是()A.B.C.D.三、线线平行的判断：三角形中位线定理；构造平行四边形，其对边平行；对应线段成比例，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行；(平行的传递性)如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；(线面平行的性质)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，所得交线平行；

11、(面面平行的性质)垂直于同一平面的两直线平行；(线面垂直的性质)线面平行的判断：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。例1、(三角形中位线定理)如图，在正方体ABCD-ABCD中，E是AA的中点，求证：AC/平111111面BDE。D1连接0，D1连接0，/-E；J1才、/|八礼/丄亠证明：连接AC交BD于0,E为AA的中点，O为AC的中点1EO为三角形AAC的中位线EO/AC11又EO在平面BDE内，AC在平面BDE外1AC/平面BDE。1例2、(证明是平行四边形)已知正方体ABCD-ABCD,O是底AB

12、CD对角线的交点求证：CO11111面ABD;ii证明：（1）连结AC，设AiCicBiD广Oi，连结AO111.ABCD-ABCD是正方体/.AACC是平行四边形111111.AC/AC且AC二ACTOC o 1-5 h zii11又O,O分别是AC,AC的中点，0C/AO且OC二AO111ii11AOCO是平行四边形C1OAO1，AO1u面ABD,CO农面ABD.CO面ABD1111111i113、面面平行的判断：(i)个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。(2)垂直于同一条直线的两个平面平行。例4、如图，在正方体ABCD-ABCD中，E、F、G分别是1111AB、A

13、D、CD的中点求证：平面DEF平面BDG.111证明：E、F分别是AB、AD的中点，EFIIBD又EF平面BDG,BDu平面BDG.EF平面BDGDG空EB四边形DGBE为平行四边形11,DEIIGB1又DE农平面BDG,GBu平面BDGDE平面BDGEFcD1E二E,平面,DEIIGB1111练习：1、(利用三角形中位线)如图，已知四棱锥P-ABCD的底精心整理D面ABCD是菱形，PA丄平面ABCD,点F为PC的中点.求证：PA/平面BDF;精心整理D精心整理精心整理2、（构造平行四边形）如图，在三棱柱ABC-ABC中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点,1113、2、（构造平行四边形）

14、如图，在三棱柱ABC-ABC中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点,1113、E为侧棱CC的中点，求证：CD平面AEB;11A（线面平行的性质）如图，四面体ABCD被一平面所截，截面EFGH求证：CD平面EFGH（1）证明：截面EFGH是一个矩形,EFGH,又GH?平面BCD.EF面BCD,而EF?面ACD,面ACDn面BCD=CD.EFCD,ACD平面EFGHBEEDBCCD4（对应线段成比例，两直线平行，面面平行得到线面平行）如下图设p为长方形ABCD所在平面外一点，m、n分别为ab、pd上的点且MB=dn求证：直线MN平面PBC。分析：要证直线MN平面PBC,只需证明MN平面PBC内

15、的一条直线或MN所在的某个平面平面PBC证法一：过N作NRDC交PC于点R,连结RB,依题意得DCNR=DN=AM=AB-MB=DCMB=NR二MB,NRNPMBMBMBNRDCAB,A四边形MNRB是平行四边形AMNRB.又.RB平面PBC,A直线MN平面PBC证法二：过N作NQAD交PA于点Q,连结QM,am=dn=aq,QMPB又NQADBC,A平面MQN平面PBC直线MN平面PBCMBNPQP棱AB、PD的中点.求证：AF/平面PCE;CB如CB5、（中位线定理、平行四边形）如图，四棱锥P棱AB、PD的中点.求证：AF/平面PCE;CB如CB分析：取PC的中点G,连EG.,FG,则易证

16、AEGF是平行四边形BC的中点。求证：EF/面ADCo6、（平行的传递性）已知正方体ABCD-A、B、C、D中，E,F分别是BC的中点。求证：EF/面ADCo四、立体几何垂直总结1、线线垂直的判断：线面垂直的定义：若直线垂直于一平面，这条直线垂直于平精心整理/线面垂直的定义：若直线垂直于一平面，这条直线垂直于平精心整理/补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。2、线面垂直的判断：（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂

17、直于另一个平面。4）如果两个平面垂直，那么在个平面内垂直于交线的直线必垂直于另个平面3、面面垂直的判断：一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。证明线线垂直的常用方法:例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD中，BC二AC,AD二BD,E是AB的中点。求证：（1）AB丄平面CDE;（2）平面CDE丄平面中点。求证：（1）AB丄平面CDE;（2）平面CDE丄平面ABC。A证明：BC=ACAE=BEnCE丄ABAD=BD、同理，AE=BE又CEcDE=E（2）由（1）有AB丄平面CDE又AB匸平面ABC,CDAB丄平面CDEB平面CDE丄平面ABC例2、（菱形的对角线互相

18、垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形.PB=PD,E为PA的中点.（I）求证：PC/平面BDE;（II）求证：平面PAC丄平面BDE.例3、（线线、线面垂直相互转化）已知AABC中ZACB二90,SA丄面ABC,AD丄SC，求证：AD丄B是圆O的直径，C是圆O的圆周上异于A、B的任意一点，且图2PA=AC，点E是线段PC的中点求证：AE丄平面PBC证明：PA丄口O所在平面，BC是口O的弦，BC丄PA图2又AB是口O的直径，ZACB是直径所对的圆周角，CBC丄ACCPApAC=A,PAu平面PAC,ACu平面PACBC丄平面PAC,AEu平面PAC，：AE丄BCPA=AC

19、，点E是线段PC的中点AE丄PCPCBC=C,PCu平面PBC,BCu平面PBCAE丄平面PBC例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD,ZDAB=B60,AE丄BD，CB=CD=CF.求证：BD丄平面AED；证明因为四边形ABCD是等腰梯形，ABCD,ZDAB=60,B所以ZADC=ZBCD二120.又CB二CD,所以ZCDB二30,因此ZADB=90,即AD丄BD.又AE丄BD，且AEQAD二A,AE,AD?平面AED,所以BD丄平面AED.例6、（勾股定理的逆定理）如图7-7-5所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，AABC为等腰直角三角形，Z

20、BAC=90。，且AB=AA,D、E、F分别为BJ、CQ、BC的中点.求证：（1）DE平面ABC;（2）B/丄平面AEF.例7、（三垂线定理）证明：在正方体ABCD-ABCD中,AC丄平面BCDi证明：连结ACBD丄AC.IAC为AC在平面AC上的射影练习；1、如图在三棱锥PABC中，AB=AC,D为BC的中点，PO丄平面ABC,垂足O落在线段AD上证明：AP丄BC;22、直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=|aA1,D是棱AA1的中点，DC丄BD.证明：DC1BCO精心整理精心整理PAD三棱锥EABD的侧面积.=ADPAD三棱锥EABD的侧面积.=AD.求证：(1)CD丄PD；EF丄

21、平面PCD./;3.如图，平行四边形ABCD中，ZDAB=60,AB=2,AD=4.将ACBD沿BD折起到AEBD的位置，使平面EBD丄平面ABD.(l)求证：AB丄DE;求內4、在正二棱柱ABC-ABC中，若AB=2,AA=1，求点1111A到平面ABC的距离。15、如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点,五、直线与方程直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是00;当。,180。丿时，k0时，方程表示圆，此时圆心为P+E

22、2-4F半径为当D+E2-4F=0时，表示一个点；当D+E2-4Fol与C相离:y,A2+B2d=rol与C相切；drol与C相交表示切点坐标，r表示半(2)设直线l:Ax+By+C=0，圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为A，则有注：如果圆心的位置在原点，可使用公式xx+yy=r2表示切点坐标，r表示半00“径。(3)过圆上一点的切线方程：圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0,y0)，则过此点的切线方程为xx+yy=r2(课本命题).圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0,y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y；-b)(y-b)=匕(课本命题的推广).4、圆与圆的位关系：通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。设圆C:C-a+J-b=r2,C:(x一