圆锥曲线秒杀法

1、圆锥曲线秒杀法圆锥曲线秒杀法圆锥曲线秒杀法圆锥曲线秒杀法吴磊研究高考作文之余，自己也研究高考数学的秒杀方法，主要包含隐函数求导、柯西不等式、仿射、参数方程、极点极线一、圆锥曲线部分小题用到的方法1、椭圆C：x2/8+y2/2=1与斜率K=1/2的直线l相切，则切点坐标为_:传统方法我就不讲了，讲两种秒杀法法一、隐函数求导直接对C：x2/8+y2/2=1求对于X导数可得x/4+yy=0，带入K=1/2，x=-2y,带入椭圆方程，很简单解出切点为(-2,1)和(2,-1)；法二、缩放坐标将椭圆缩放成圆利用圆的性质迅速解题，将X轴压缩为本来的1/2，即x=2x(这里不是导数，只表示一个未知数)；斜率

2、K=2K=1，椭圆化为圆C:x2+y2=2;很简单求得I与C相切(-1,1)和(1,-1)，复原，可知I与C相切于(-2,1)和(2,-1)2、椭圆C：x2/4+y2/3=1上的点到直线L:x-2y-1=0距离的取值范围为:_法一、直接用柯西不等式椭圆和直线订交，最小距离为线l与l的距离，0，最大距离为椭圆C与l平行的切l=x-2y+b=0;结构柯西不等式可知(x2/4+y2/3)（4+12）(x-2y)2;-4b4;把4和-4代入l；再利用平行线距离公式求I和l距离，最大距离为因此0d法二、缩放坐标系椭圆和直线订交，最小距离为0，最大距离为椭圆C与l平行的切线l与l的距离。l=x-2y+b=

3、0；缩放y=3/2y；椭圆C缩放后方程C为:x2+y2=4；l缩放后表达式为l=x-3y+b=0,C与l相切，利用点到直线距离为半径，简单求的b=4和-4；再利用平行线距离公式很简单求得范围为0d3、过定点(4、0)的直线l与椭圆C：x2/4+y2=1有公共点，则直l斜率K取值范围为:_法一、直接用柯西不等式l:my=x-4,则x-my=4;结构柯西不等式，(x2/4+y2)（22+m2）(x-my)2可得，m212,注意是反设斜率，故k=1/m;很简单解出k的范围为-3/6k3/6法二、缩放坐标l:my=x-4，x=2xC:x2+y2=1;I:my=2x-4,用点到直线距离公式，d=4/(4

4、+m2)1；可解的m212,注意是反设斜率，故k=1/m;很简单解出k的范围为-3/6k3/6二、柯西不等式柯西不等式在高中数学提高中特别重要，是高中数学研究内容之一，是求某些函数最值中和证明某些不等式时常常使用的理论依据，技巧以拆常数，凑常值为主。柯西不等柯西不等式-方和积不小于积和方a12a22an2b12b22bn2a1b1a2b22anbn当且仅当b1b2bn0或a1a2an时取等b1b2bn柯西不等式的主要变形公式变形公式1a1b1a2b2anbna1b1a2b2anbna12a22an2?b12b22bn2取等条件同变形公式22a1b1a2b2anbna1a2anb1b2bna1b

5、1a2b2anbna1b1a2b2anbna1a2anb1b2变形公式3a12a22an2b12b22bn2a1b12a2b22anbn2柯西不等式三角公式变形公式4a12a22an2a1a2an2取等条件同b1b2bnb1b2bn变形公式5a1a2ana1a22an取等条件同b1b2bna1b1a2b2anbn三、仿射四、参数方程椭圆参数方程吴磊一、没吃过猪肉，你还没见过猪跑x=acos；y=bsin是一组我们熟习而又陌生的方程，可问题是你真懂他们的含义吗终究是个什么东东，和圆参数方程和极坐标方程中是一个意思吗1、从一道百分之九十以上人都做错的简单题张开例1、P是椭圆C上一点:x=4cos;

6、y=23sin且在第一象O（O为原点）P的倾斜角为/3，则P点的坐标为_经典错法:因为倾斜角为/3，x=4cos;y=23sin，因此x=4cos/3=2;y=23sin/3=3求得P坐标（2、3）正解:椭圆参数方程是旋转而成的圆心角而不是倾斜角因为OP的倾斜角为/3，故OP的斜率K=tan/3=3；3=y/x23sin/4cos=3(1)限，可解sincos=5/52+cosa2=1sin=25/5(2)P联立二式，P在第一象点坐标为(45/5、415/5)2、椭圆参数方程的推导和含义解说3、椭圆参数方程的想法可能有的同学会依据焦点在X轴:x=acos；y=bsin焦点在Y轴:x=bcos；

7、y=asin去记忆，老师告诉你别这么理解，你只需记着的，cos和扩大谐音，参数方程复原主要看焦点在哪个轴，他在哪个下边。cos对应的系数是a和b中大cos前的系数，它必定是大的，二、椭圆参数方程妙用1、椭圆内内接面积问题例1:可设A(10cos；8sin)，利用对称性可知B(10cos；-8sin)C(-10cos；-8sinAB长度为16sin)；D(-10cos；8sin；AD长度为20cos，)矩形面积S=160sin2，由三角函数知识可知，面积最大为160例2：解:要使SOAPB最大，由图可知SOAB为定值，需求出P到直线AB距离，距离最大时S，进而S最大，用椭圆参数方程设P为x=ac

8、os；y=bsinBPA最大OAPB直线AB的方程为:x/a+y/b=1用P到AB的距离公式能够求得距离最大ab(2-1)2,SOAPB=ab2/22、椭圆有关距离问题例1:解:用椭圆参数方程设P为x=2cos；y=sin；A(0,3/2)由点到距离公式可知AP最大为5/2,因此PQ最大值为3例2:椭圆拘束下二次型最值问题解:用椭圆参数方程解，转变成三角函数最值问题。因为b2和4大小未知，明显需要分类讨论0b2，时P(x=2cos；y=bsin),转变成求4cos2+2bsin最大值可求得最大值为(b2/4)+4b2P(x=bcos；y=2sin),转变成求b2cos2+4sin最大值可求得最

9、大值为2b3、椭圆与向量求范围、求值问题1已知椭圆E：,A在E上（1,1/2），若点P在E上知足1）求t的范围2）过原点O的直线交E于BC，求SBCA的最大值:Smax=2五、极点极线圆锥曲线的极点与极线理论在高考取应用好多，原由有二：其一，有高等数学背景，结论特别圆满；其二，运用高中知识解决问题，能够察看学生思想、计算多方面能力。掌握有关极点与极线的基天性质，才能“看破”试题中包含的有关极点与极线的知识背景，做题事半功倍。1.从几何角度看极点与极线AEP定义1如图1，设P是不在圆锥曲线上的一点，过P点引FN两条割线挨次交圆锥曲线于四点E,F,G,H，连结EH,FGGHB交于N，连结EG,FH

10、交于M，则直线MN为点P对应的极线.M图1若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线.由图1同理可知，PM为点N对应的极线，PN为点M所对应的极线.因此将MNP称为自极三点形.设直线MN交圆锥曲线于点A,B两点，则PA,PB恰为圆锥曲线的两条切线.定理1(1)当P在圆锥曲线上时，则点P的极线是曲线在P点处的切线；(2)当P在外时，过点P作的两条切线，设其切点分别为A,B，则点P的极线是直线AB(即切点弦所在的直线)；(3)当P在内时，过点P任作一割线交于A,B，设在A,B处的切线交于点Q，则点P的极线是动点Q的轨迹.定理2如图2，设点P对于圆锥曲线的极线为l，过点P任作一割线交于A,B，交l

11、于Q，则PAPB；反之，如有建立，则称点P,Q调解切割线段AQBQPAB，或称点P与Q对于调解共轭，或称点P(或点Q)对于圆锥曲线A的调解共轭点为点Q(或点P).点P对于圆锥曲线的调Ql和共轭点是一条直线，这条直线就是点P的极线.B图2推论1如图2，设点P对于圆锥曲线的调解共轭点为点Q，则有211PQPA；反之，如有建立，PB则点P与Q对于调解共轭.能够证明与是等价的.事实上，由有AQBQPQPAPBPQPQ11PQPQ(11)2PAPBPAPBPAPBPAPB211PQ.PAPB特别地，我们还有推论2如图3，设点P对于有意圆锥曲线(设此中心为O)的调解共轭点为点Q，PQ连线经过圆锥曲线的中心

12、，则有OR2OPOQ，反之如有此式建立，则点P与Q对于调解共轭.证明：设直线PQ与的另一交点为R，则PRPROPOROPOR，化简PRQRQOROQOROQR即可得OR2QOPOQ.反之由此式可推出OR图3PRPR，即点P与Q对于调解共轭.RQRQ推论3如图4，A,B圆锥曲线的一条对称轴l上的两点(不在上)，若A,B对于调和共轭，过B任作的一条割线，交于P,Q两点，则PABQAB.证明：因对于直线l对称，故在上存在AP,Q的对称点P,Q.若P与Q重合，则Q与P也重合，此时P,Q对于l对称，有PABQAB；若P与Q不重合，则Q与P也不重合，因为A,B对于调解共轭，故A,B为上完满四点形PQQP的

13、对边交点，即Q在PA上，故AP,AQ对于直线l对称，也有PABQAB.定理3(配极原则)点P对于圆锥曲线PQRlBQPR图4的极线p经过点Q点Q对于的极线q经过点P；直线p对于的极点P在直线q上直线q对于的极点Q在直线p上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线.以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【1】，此中定理1的初等证法可参阅文【2】.从代数角度看极点与极线定义2已知圆锥曲线:Ax2Cy22Dx2EyF0，则称点P(x0,y0)和直线l:Ax0 xCy0yD(xx0)E(yy0)F0是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以x0 x取代x2，以x0 x取

14、代x，以y0y取代2y2，以y0y取代y即可获得点P(x0,y0)的极线方程.2特别地：(1)对于椭圆x2y21，与点P(x0,y0)对应的极线方程为x0 xy0y1；a2b2a2b2x2y21x0 xy0y1；(2)对于双曲线b2，与点P(x0,y0)对应的极线方程为b2a2a2(3)对于抛物线y22px，与点P(x0,y0)对应的极线方程为y0yp(x0 x).(4)假如圆锥曲线是椭圆x2y21，当P(x0,y0)为其焦点F(c,0)时，极线恰为a2b2椭圆的准线；假如圆锥曲线是双曲线x2y21，当P(x0,y0)为其焦点F(c,0)时，极a2b2线恰为双曲线的准线；假如圆锥曲线是抛物线y

15、22px，当P(x0,y0)为其焦点F(p,0)时，极线恰为抛物线的准线.2从极点与极线角度看圆锥曲线试题【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆x2y291的左右极点为A,B，右焦点为F设过点T(t,m)的直线TA,TB与此椭圆5分别交于点M(x1,y1),N(x2,y2)，此中m0，y10，y20(1)设动点P知足PF2PB24，求点P的轨迹；(2)设x12，x21，求点T的坐标；3(3)设t9，求证：直线MN必过x轴上的必定点（其坐标与m没关）分析与解：前面两问比较简单，这里从略.yT(t,m)对于(3)，当t9时，T点坐标为(9,m)，M连MN，设直线

16、AB与MN的交点为K，依据AOKBx极点与极线的定义可知，点T对应的极线经过K，N图5又点T对应的极线方程为9xmy91，即5xmy，此直线恒过x轴上的定点K(1,0)，15进而直线MN也恒过定点K(1,0).【例2】(2008安徽卷理22)设椭圆C:x2y22,1)，且221(ab0)过点M(ab左焦点为F1(2,0).求椭圆C的方程；(2)当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C交于两个不一样样的点A,B时，在线段AB上取点Q，知足APQBAQPB，证明点Q总在某定直线上.yP分析与解：(1)易求得答案x2y21.QBOx42APAPB图6(2)由条件可有，说明点P,Q对于AQBQ圆锥曲线C调

17、解共轭.依据定理2，点Q的轨迹就是点P对应的极线，即4x1y1，化简得2xy20.42故点Q总在定直线2xy20上.【例3】(1995全国卷理26)已知椭圆C:x2y21，直线l:xy1，P是l2416128上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且知足OQOPOR2，当点P在l上挪动时，求点Q的轨迹方程.,并说明轨迹是什么曲线.分析与解：由条件知OR2OPOQ可知点P,Q对于圆锥曲线C调解共轭，而Q可看作是点P的极线与直线OP的交点.P(12t,88t)，则与P对应的极线方程为12tx(88t)yy241，化简得16PQ.Rtx(1t)y2xO又直线OP的方程为y88tx，化简得12t图

18、722tx3t解由联立方程组得x6t5t24t2，消去t得2x23y24x6y，可化为x44t5t24t2(x1)2(y1)21(x,y不一样样时为0)，故点Q的轨迹是以(1,1)为中心，长短轴分别5523yB为10和15，且长轴平行于x轴的椭圆，但需去掉坐标原点.F23AOxP8【例4】(2006年全国卷II理21)已知抛物线x24y的焦点为F，A,B是抛物线上的两动点，且AFFB(0)，过A,B两点分别作抛物线的切线，并设其交点P.证明FPAB为定值；(2)设ABP的面积为S，写出Sf()的表达式，并求S的最小值.分析与解：(1)明显，点P的极线为AB，故可设点P(x0,1)，再设A(x1

19、,y1),B(x2,y2)，F,A,B三点对应的极线方程分别为y1，x1x2(y1y)，x2x2(y2y)，因为A,B,F三点共线，故相应的三极线共点于P(x0,1)，将y1代入后边两个极线方程得x1x02(y11)，两式相减得x2x02(y21)(x1x2)x02(y1y2).又FP(x0,2),AB(x2x1,y2y1)，故FPABx0(x2x1)2(y2y1)0.(2)设AB的方程为ykx1，与抛物线的极线方程x0 x2(y0y)比较可知直线AB对应的极点为P(2k,1)，把ykx1代入x24y并由弦长公式得AB4(1k2)，因此SABP1ABFP2(1k2)4(1k2).y2B明显，当k0