2021-2022学年贵州省贵阳清镇北大培文学校高二数学第二学期期末综合测试试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1(2x-3y)9A-1B512C-512D12在三棱锥中，则三棱锥外接球的表面积为（ ）ABCD3平面上有个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成块区域，有，则

2、（ ）ABCD4若，则m等于( )A9B8C7D65一辆汽车按规律sat21做直线运动，若汽车在t2时的瞬时速度为12，则a()ABC2D36的值等于（ ）A1B1CD7在边长为2的菱形中，将菱形沿对角线对折，使二面角的余弦值为，则所得三棱锥的内切球的表面积为（ ）ABCD8已知函数，若在上有且只有一个零点，则的范围是( )ABCD9设函数是定义在上的奇函数，且当时，记，则的大小关系为( )ABCD10已知命题在上递减；命题，且是的充分不必要条件，则m的取值范围为（ ）ABCD11将曲线按照伸缩变换后得到的曲线方程为（ ）ABCD12在一组数据为，（，不全相等）的散点图中，若这组样本数据的相关

3、系数为，则所有的样本点满足的方程可以是（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若对一切，复数的模始终不大于2，则实数a的取值范围是_；14从2，4，8中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数.（用数字作答）15在中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两垂直，则四面体的外接球半径_16若 ，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在四棱锥中，为棱上一点（不包括端点），且满足.（1）求证：平面平面；（2）为的中点，求

4、二面角的余弦值的大小.18（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）再以原点为极点，以正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位在该极坐标系中圆的方程为（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点、，若点的坐标为，求的值19（12分）甲、乙两位同学进入新华书店购买数学课外阅读书籍，经过筛选后，他们都对三种书籍有购买意向，已知甲同学购买书籍的概率分别为,乙同学购买书籍的概率分别为,假设甲、乙是否购买三种书籍相互独立.（1）求甲同学购买3种书籍的概率；（2）设甲、乙同学购买2种书籍的人数为,求的概率分布列和数学期望.20（12分）已知函数，（）当时，求的最小值；（

5、）证明：当时，函数在区间内存在唯一零点21（12分）（1）求过点且与两坐标轴截距相等的直线的方程；（2）已知直线和圆相交，求的取值范围.22（10分）已知集合.（1）当时，求集合；（2）当时，若，求实数的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】(a+b)n展开式中所有项的二项系数和为【详解】(a+b)n展开式中所有项的二项系数和为2(2x-3y)9的展开式中各项的二项式系数之和为2故答案选B【点睛】本题考查了二项系数和，属于基础题型.2、C【解析】分析：首先通过题中的条件，得到棱锥的三组对棱相等，从而

6、利用补体，得到相应的长方体，列式求得长方体的对角线长，从而求得外接球的半径，利用球体的表面积公式求得结果.详解：对棱相等的三棱锥可以补为长方体（各个对面的面对角线），设长方体的长、宽、高分别是，则有，三个式子相加整理可得，所以长方体的对角线长为，所以其外接球的半径，所以其外接球的表面积，故选C.点睛：该题考查的是有关几何体的外接球的体积问题，在解题的过程中，注意根据题中所给的三棱锥的特征，三组对棱相等，从而将其补体为长方体，利用长方体的外接球的直径就是该长方体的对角线，利用相应的公式求得结果.3、B【解析】分析可得平面内有个圆时, 它们将平面分成块,再添加第个圆时,因为每两个都相交于两点,每三

7、个都无公共点,故会增加个圆.再求和即可.【详解】由题, 添加第个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加个圆.又,故.即.累加可得.故选：B【点睛】本题主要考查了根据数列的递推关系求解通项公式的方法,需要画图分析进行理解.或直接计算等利用排除法判断.属于中档题.4、C【解析】分析：根据排列与组合的公式，化简得出关于的方程，解方程即可.详解：，即，解得，故选C.点睛：本题主要考查排列公式与组合公式的应用问题，意在考查对基本公式掌握的熟练程度，解题时应熟记排列与组合的公式，属于简单题.5、D【解析】如果物体按s=s(t)的规律运动，那么物体在时刻t的瞬时速度(t)，由此可得出答案【

8、详解】由sat21得v(t)s2at，故v(2)12，所以2a212，得a3.【点睛】本题主要考察导数的物理意义属于基础题6、B【解析】根据复数的计算方法，可得的值，进而可得，可得答案【详解】解：根据复数的计算方法，可得，则，故选：【点睛】本题考查复数的混合运算，解本题时，注意先计算括号内，再来计算复数平方，属于基础题7、C【解析】作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出DNAC，BNAC，可得出二面角BACD的平面角为BND，再利用余弦定理求出BD，可知三棱锥BACD为正四面体，可得出内切球的半径R，再利用球体的表面积公式可得出答案【详解】如下图所示，易知ABC和ACD都是等边三角形，取A

9、C的中点N，则DNAC，BNAC所以，BND是二面角BACD的平面角，过点B作BODN交DN于点O，可得BO平面ACD因为在BDN中，所以，BD1BN1+DN11BNDNcosBND，则BD1故三棱锥ABCD为正四面体，则其内切球半径为正四面体高的，又正四面体的高为棱长的，故因此，三棱锥ABCD的内切球的表面积为故选：C【点睛】本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题8、B【解析】将问题转化为在有且仅有一个根，考虑函数，的单调性即可得解.【详解】由题，所以不是函数的零点；当，有且只有一个零点，即在有且

10、仅有一个根，即在有且仅有一个根，考虑函数，由得：，由得：所以函数在单调递减，单调递增，要使在有且仅有一个根，即或则的范围是故选：B【点睛】此题考查根据函数零点求参数的取值范围，关键在于等价转化，利用函数单调性解决问题，常用分离参数处理问题.9、A【解析】分析：根据x0时f（x）解析式即可知f（x）在（0，+）上单调递增，由f（x）为奇函数即可得出，然后比较的大小关系，根据f（x）在（0，+）上单调递增即可比较出a，b，c的大小关系详解：x0时，f（x）=lnx；f（x）在（0，+）上单调递增；f（x）是定义在R上的奇函数；=；，；abc；即cba故选A点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比

11、较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小10、A【解析】由题意可得当时不成立，当时，满足求出的范围，从而求出，再求出，根据是的充分不必要条件，即可求解.【详解】由命题在上递减，当时，不满足题意，当时，则，所以：，由命题，则：，由因为是的充分不必要条件，所以.故选：A【点睛】本题考查了由充分不必要条件求参数的取值范围以及考查了二次函数的图像与性质，同时考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题.11、B【解

12、析】根据伸缩变换的关系表示已知函数的坐标，代入已知函数的表示式得解.【详解】由伸缩变换，得， 代入， 得，即 选B【点睛】本题考查函数图像的伸缩变换，属于基础题.12、A【解析】根据相关系数的概念即可作出判断.【详解】这组样本数据的相关系数为，这一组数据，线性相关，且是负相关， 可排除D，B，C，故选A【点睛】本题考查了相关系数，考查了正相关和负相关，考查了一组数据的完全相关性，是基础的概念题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由模的定义求出模，列出不等式，用几何意义解释此不等式，问题为点到的距离不大于2，而点以原点为圆心的单位圆上，因此只要到圆心距离不大于1即可【详

13、解】由题意，设，则，而在圆上，即，解得故答案为：【点睛】本题考查复数的模的定义，考查平面上两点间的距离公式解题关键是利用的几何意义，把它转化为两点间的距离，而其中一点又是单位圆上的动点，由点到圆上点的距离最大值为此点到圆心距离加半径，从而问题可转化为点到圆心的距离不大于1，这样问题易求解14、【解析】先选后排，由分步计数原理可求得方法数。【详解】从2，4，8中任取2个数字共有方法数种，从1，3，5中任取2个数字共有方法数种，排成四位数共有种，由分步计数原理方法数为。填216.【点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，本题是典型的先选后排分步计数原理题型。15、

14、【解析】通过条件三条棱两两垂直，可将其补为长方体，从而求得半径.【详解】若两两垂直,可将四面体补成一长方体，从而长方体的外接球即为四面体的外接球，于是半径，故答案为.【点睛】本题主要考查外接球的半径，将四面体转化为长方体求解是解决本题的关键.16、【解析】对不等式进行因式分解，利用分离变量法转化为对应函数最值，即得到答案.【详解】，即：恒成立所以 故答案为【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，因式分解是解题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据传递性，由平面，得到平面平面（2）作于点，过点作，建立空间直角坐标系，求

15、出各平面法向量后根据夹角公式求得二面角余弦值【详解】（1）证明：因为，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面.（2） 如图，作于点，过点作，则，两两垂直，故以为坐标原点，直线，分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系.设，则，所以，又，所以，所以，.因为为的中点，所以.，令为平面的法向量，则有即不妨设，则.易知平面的一个法向量为，.因为二角为钝角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直证明与二面角的求法，如何建立空间直角坐标系是解题关键18、（1）（2）【解析】试题分析:（1）由 可将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）先将直线的参数方程代入圆C方程，再根据参数几何意义得 ，最后

16、根据韦达定理求的值试题解析：（1）；（2）直线的参数方程代入圆C方程得 点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0t1cos ，y0t1sin )，(x0t2cos ，y0t2sin ).(2)|M1M2|t1t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t，中点M到定点M0的距离|MM0|t|.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1t20.19、（1）；（2）分布列见解析，.【解析】（1）这是相互独立事件，

17、所以甲购买书籍的概率直接相乘即可.（2）基本事件为甲购买两本书和乙购买两本书的概率，所以先求出基本事件的概率，然后再求分布列.【详解】（1）记“甲同学购买3种书籍”为事件A，则.答：甲同学购买3种书籍的概率为.（2）设甲、乙同学购买2种书籍的概率分别为，.则，所以，所以.，.所以X的概率分布为X012P.答：所求数学期望为.【点睛】本题考查相互独立事件的概率，考查二项分布独立重复事件的概率的求法，解题的关键是找出基本事件的概率，属于中档题.20、（）0；（）证明见解析【解析】（）利用导数求出函数的单调性，即可得出的最小值；（）对函数求导得出，构造函数，利用导数得出函数的单调性，结合零点存在性定

18、理求解即可.【详解】解：（）当时，当时，在区间上单调递减当时，在区间上单调递增故当时，（） 由可知，当时，设，则所以在区间内单调递增，即在区间内单调递增又 故存在唯一，使得当时，所以在区间内单调递增，此时当时，所以在区间上单调递减又因为故函数在区间内有唯一零点所以函数在区间内存在唯一零点【点睛】本题主要考查了利用导数证明函数的单调性以及零点存在性定理的应用，属于中档题.21、 (1)或；(2).【解析】（1）分类讨论，当直线截距存在时，设出截距式进行求解即可；（2）根据圆心到直线的距离小于半径，即可求得.【详解】（1）当直线经过坐标原点时，满足题意，此时直线方程为；当直线不经过原点时，设直线方程为因为直线过点，故可得，此时直线方程为.故满足题意的直线方程为或.（2）因为直线和圆相交，故可得圆心到直线的距离小于半径，即，解得.即的取值范围为.【点睛】本题考查直线方程的求解，以及