初中数学北师大版九年级上册第四章　图形的相似-第4章图形的相似

1、第四章图形的相似1.了解线段的比、成比例线段,掌握比的性质及平行线分线段成比例的基本事实.2.了解相似多边形和相似比.3.探索并理解三角形相似的条件和性质.4.了解相似三角形判定定理的证明.5.了解图形的位似,能够利用位似将一个图形放大或缩小.6.探索并了解多边形的各顶点坐标(有一个顶点为原点,有一条边在横轴上)分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形的位似关系.7.了解黄金分割的意义,以及相似图形在现实生活中的应用.在研究与图形相似有关的问题中,经历观察、操作、类比、归纳、交流等过程,进一步发展几何直观和推理能力,发展发现问题、提出问题、解决问题的能力,积累数学活动经验.在探索问题、合作

2、交流的过程中,进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系和数学的价值,增强应用意识.基于标准的要求和学生的基础,本章设计的总体思路是以数形结合为基本方法,以合情推理能力与演绎推理能力的培养为主线,在生动的问题情境和丰富的数学活动中,了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段;掌握平行线分线段成比例的基本事实;类比三角形全等,探索三角形相似的条件;了解相似三角形的判定定理和性质定理;了解图形的位似,体会多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形的位似关系;会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.第1节“成比例线段”、第2节“平行线分线段成比例”,教科书从观察生活中的图案到观察几何图

3、形,进而认识形状相同的图形.通过引导学生思考如何描述形状相同的图形的不同之处,引出学习线段的比的必要性和线段的比的概念,在此基础上,结合图形引出成比例线段、比例的性质,以及平行线分线段成比例等内容,从而为后面研究相似三角形做好准备.第3节“相似多边形”,教科书结合具体的形状相同的图形,明确对应角、对应边的概念,继而给出相似多边形、相似比的概念,接着通过若干具体活动进一步巩固对相似多边形概念的理解.第4节“探索三角形相似的条件”,根据相似多边形的定义,顺势引出相似三角形的概念,接着,类比三角形全等条件的探索,展现三角形相似条件的探索,明确给出相似三角形的三个判定定理,另外,本节借助相似三角形,介

4、绍了黄金分割、黄金比及其计算过程.考虑到相似三角形判定定理的证明是标准规定的选学内容,教科书在得出三角形相似的条件之后,设计了第5节“相似三角形判定定理的证明”,将相似三角形判定定理的证明单独成节,是为了方便教师在教学中根据学情灵活安排.在相似三角形判定定理之后,设计了一节活动课,即第6节“利用相似三角形测高”,介绍了利用相似三角形测量旗杆高度的几种方法.第7节“相似三角形的性质”,研究相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比与相似比的关系,以及周长比、面积比与相似比的关系.第8节“图形的位似”,介绍位似图形的概念,利用位似图形将一个图形放大或缩小,研究多边形的顶点坐标分别扩大或缩

5、小相同倍数时所对应的图形与原图形的位似关系.【重点】1.成比例线段的性质.2.相似三角形的判定和性质.3.相似形知识在生活中的应用.【难点】1.比例的性质.2.相似多边形的判定.1.数学教学是数学活动的教学,因此建议设置丰富的问题情境,展现知识的发生、发展过程.因此,本章在研究的过程中应注重知识内容与研究方法上的联系与区别,应关注“对应”关系的确定(对应边的关系、对应角的关系等),注重基本模型的识别与应用.2.应注重站在系统的高度,突显类比的方法,梳理相关知识,帮助学生建立知识体系;重视渗透研究几何图形的基本问题和方法,进一步把握“特殊与一般”的关系,进一步明确“性质定理与判定定理”的互逆关系

6、,进一步发展学生合情推理与演绎推理的能力.3.注重数学思想的教学,关注对证明思路的启发,学会数学的思考,提倡证明方法的多样性;关注数学教学的生活意义与模型价值,培养学生应用意识,提倡采用数学实践活动的方式让学生用数学,感受数学的应用价值.1成比例线段2课时2平行线分线段成比例1课时3相似多边形1课时4探索三角形相似的条件4课时*5相似三角形判定定理的证明1课时6利用相似三角形测高1课时7相似三角形的性质2课时8图形的位似2课时1成比例线段通过现实情境了解线段的比和成比例线段的概念,理解并掌握比例的性质.通过现实情境,进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力,培养学生的数学应

7、用意识,体会数学与自然、社会的密切联系.学会与他人合作交流,通过有关比的计算,让学生懂得数学的作用,从而增强学生学习数学的信心.【重点】线段的比和成比例线段,以及比例线段的基本性质.【难点】比例线段的基本性质的运用.第课时1.了解线段的比和成比例线段的概念.2.理解比例线段的基本性质.通过生活情境理解相关概念.增强学生对数学知识来源于生活的认识.【重点】成比例线段的概念.【难点】比例线段的基本性质.【教师准备】课堂教学用的投影图片.【学生准备】测量长度的直尺,放大镜等.导入一:出示如图所示的两面大小不同的国旗,让学生比较这两面国旗有什么不同.设计意图以接近学生生活实际的国旗为背景,对学生进行爱

8、国主义教育,同时提出国旗中蕴含着数学知识,激发学生的学习积极性,从而自然引入本节课内容.导入二:埃及法老阿美西斯想要测量金字塔的实际高度,可是没有一个埃及人能测出来.古希腊学者泰勒斯对法老阿美西斯说:“我只需找一个特殊的时刻,就能测出金字塔的高度.”泰勒斯在金字塔前竖立一根1 m长的木棒,他不断测量木棒的影长,当木棒的影子的长正好是1 m时,特殊时刻来了,如图所示,设金字塔的塔基宽为2b m,在塔外的影长为a m,落在塔内的影长恰为塔基宽的一半,这意味着金字塔的影长为a+b,因为木棒的高度与影长的比为11,所以在同一时间同一地点的金字塔的高度与影长之比也应为11,所以金字塔的高度为(a+b)m

9、.过渡语形状相同、大小不同的两个图形之间存在着怎样的对应关系呢?一、两条线段的比(1)学生测量两面国旗对角线的长度后,教师总结:描述两面国旗大小之间的关系,我们可以借助于两条线段的比来说明.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m,n,那么这两条线段的比就是它们长度的比,即ABCD=mn,或写成ABCD=mn.其中线段AB,CD分别叫做这个线段比的前项和后项,如果把mn表示成比值k,那么ABCD=k,或AB=kCD.两条线段的比实际上就是两个数的比.如图所示,五边形ABCDE与五边形ABCDE形状相同,AB=5 cm,AB=3 cm,ABAB=53,53就是线段(2)问题思考

10、:ABAB=53,这时线段AB与线段AB的比是多少呢?知识拓展(1)求线段的比时,线段的长度单位要统一.(2)线段的比没有单位,所以线段的比与所采用的长度单位无关.(3)两条线段的比有先后顺序,前项和后项不能颠倒.二、成比例线段过渡语如果两个图形完全一样,只是大小不同,这两个图形上的对应线段之间存在什么关系呢?思路一如图所示,设小方格的边长为1,四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上.(1)AB,AD,EF,EH的长度分别是多少?(2)ABEF,ADEH,ABAD,【总结】四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即ab=cd,那么这四条线段a,b,c,d【思考】上图中还

11、有哪些线段是比例线段?知识拓展在理解比例线段时,应注意三点:(1)比例线段是特指四条线段之间的关系,两条线段不能是比例线段,三条线段中的任意一条线段都不能重复使用时,三条线段也不能是比例线段,而五条或五条以上的线段中,只能判断其中的某四条线段能否是成比例线段.(2)成比例线段是有顺序的.即若a,b,c,d是成比例线段,则ab=cd,而不能写成ab=dc.(3)为了讨论问题方便,我们再给出两个相关的定义:比例的内项与外项:如果四条线段a,b,c,d是比例线段,那么把线段b,c叫做比例内项,把线段a,d叫做比例外项.第四比例项:如果四条线段a,b,c,d是成比例线段,那么线段d叫做线段a,b,c的

12、第四比例项.下列四组线段中,是成比例线段的是() cm,6 cm,7 cm,8 cm cm,6 cm,2 cm,5 cm cm,4 cm,6 cm,8 cm cm,8 cm,15 cm,10 cm解析5678,不是成比例线段,故选项A错误;3625,不是成比例线段,故选项B错误;2468,不是成比例线段,故选项C错误;128=1510,思路二【活动1】建立比例线段的概念.【投影图片】如图所示,AB=50,BC=25,AB=20,BC=10,求证ABBC证明:ABBC=5025=2,ABBC引导学生分析得出四条线段AB,BC,AB,BC是成比例线段.(1)题目的已知中共有几条线段?分别是哪几条?

13、(2)其中的线段AB,BC的比是多少?线段AB,BC的比是多少?其中线段AB与BC的比与线段AB与BC的比有何关系?(3)我们称AB,BC,AB,BC这四条线段是成比例线段,简称比例线段.(4)请同学们根据这个例子想一想,什么样的四条线段叫做成比例线段?(5)学生叙述,教师板书比例线段的定义:在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.【活动2】熟悉比例线段的概念.(1)定义告诉我们判定四条线段是成比例线段的方法:(其中的一个比例式)ab=cda,b,c(2)定义告诉我们若已知四条线段成比例,则一定有比例式:a,b,c,d四条线段成比例a

14、b=cd与比例线段有关的概念:(1)项、内项、外项、第四比例项.a,b,c,d叫做组成比例的项,b,c叫做比例内项,a,d叫做比例外项,d叫做a,b,c的第四比例项.(2)比例中项.若作为比例内项的是两条相同的线段,即ab=bc或ab=bc,那么线段b叫做线段a三、探索比例线段的基本性质计算下列比例式的两个内项的积与两个外项的积.(1)45=1215;(2)通过计算,同学们发现了什么规律?【学生活动】两个内项的积与两个外项的积相等.【教师活动】我们把上面成比例的四个数用字母表示,即ab=c【学生活动】学生独立思考1分钟后,分组交流探讨“如果ab=cd,那么ad【教师活动】教师巡视指导,特别关注

15、学生此时是否积极参与.【学生活动】各组汇报交流讨论的结果,教师板书出现的解决方案,由学生说明其理由.学生可能出现的解决方案:(1)等式ab=(2)设ab=cd=k,则a=bk,c=dk,因此ad=(bk)d=b(【教师活动】我们又如何把乘积的形式化成比例的形式?【学生活动】学生共同回答“等式两边同时除以bd”.【教师活动】我们把以上两个方面综合起来,就是比例线段的基本性质.比例线段的基本性质:如果ab=cd,那么ad=bc;如果ad=bc(a,b,c,d都不为0设计意图从特殊情况出发,使学生对比例线段的基本性质有一个直观的认识,再让学生以一般的形式探索和推导,让全体学生充分参与,一步一步得出比

16、例线段的基本性质,体现了“从特殊到一般”的教学思想.【教师活动】根据上面的方法你能由ab=(1)ac=bd;(2)db=ca;(3)ba=dc;(4)cd(教材例1)一块矩形绸布的长AB=a m,宽AD=1 m,按照如图所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗,且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同,即AEAD=ADAB,解:根据题意可知,AB=a m,AE=13a m,AD=1 m由AEAD=ADAB即13a2=1,a2=3开平方,得a=3(a=-3舍去).【问题思考】如果换成ADAE=ABAD,1.在四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于,那么这四条线段a,b,c,d叫做

17、成比例线段,简称.在ab=cd中,a,d叫做比例,b,c叫做比例.如果四条线段a,b,c,d是成比例线段,那么线段d叫做线段a,b,c的.答案:c与d的比比例线段外项内项第四比例项2.如果选用量得两条线段AB,CD的长度分别是m,n,那么就说这两条线段的比ABCD=mn,其中,线段AB,CD分别叫做这个线段比的和.答案:同一个长度单位前项后项3.如果ab=cd,那么;如果ad=bc(a,b,c,d都不为0答案:ad=bca第1课时1.两条线段的比2.成比例线段3.比例线段的基本性质一、教材作业【必做题】教材第79页习题的1,2题.【选做题】教材第79页习题的3题.二、课后作业【基础巩固】1.下

18、列说法中错误的是()A.线段的比就是指它们的长度之比B.只要两条线段的长度采用同一单位,那么两条线段的比与所采用的单位无关C.求两条线段的比,一定要用同一单位,如果单位不同,应先化成同一单位,再求它们的比D.两条线段的比与两个数的比一样有正有负2.一根旗杆长6 m,在正午的阳光下,其影长为80 cm,则旗杆的长与它的影子的长度之比为() A.340B.4030C.2153.下列四组线段中,成比例的是()=3,b=6,c=2,d=5=1,b=2,c=6,d=5=4,b=8,c=5,d=10=2,b=5,c=15,d=224.一条线段的长度是另一条线段长度的23,则这两条线段的比为5.四条线段a,

19、b,c,d成比例,且a=14 cm,b=16 cm,c=13 cm,则d=.【能力提升】6.下列各组线段中,能成比例的是(),6,7,9,5,6,8,6,9,18,2,3,47.已知线段a,b,c,d是比例线段,其中a=6 cm,b=4 cm,c=12 cm,求线段d的长.【拓展探究】8.已知三个数,a=1,b=2,c=3,请你再添一个数d,使它们能构成比例式,写出这个比例式.(至少写两个)【答案与解析】4.23或5.104(解析:由比例的基本性质可知,若四条线段成比例,则必有两条线段长度之积等于另两条线段长度之积,所以判断时只需看最小数与最大数之积是否等于另两数之积便可作出判断.如3967,

20、2856,318=69,1423,故选C.)7.解:因为a,b,c,d是比例线段,所以ab=cd,即d=bca=4126=8,所以线段8.解:如:d=23或233,比例式为ab=c本课时的知识要点是强调线段对应成比例,这一点在教学的过程中得到了有效的贯彻.在理解比例线段的基础上,由特殊上升到一般,接着探讨了比例线段的基本性质.理解比的意义和比例线段,是灵活运用比例线段的基本性质的前提.在知识的讲解和例题、习题的讲练过程中,都渗透着对这个问题的处理.比例线段的比不是固定不变的.比例线段强调的是比例的大小,随着比的顺序的变化,比值也会随之变化,这一点在教学中没有特别地强调.这一点不强调,不利于学生

21、今后理解图形的相似比.以国旗的长和宽为例,强调长和宽是一对比例线段,它们的比值是不变的.以一面国旗来讲,这里强调的是长和宽的比.从两面国旗的角度看,小国旗和大国旗的长和宽是四条对应成比例的线段.随堂练习(教材第79页)1.提示:在地图上,图上长度与实际长度的比叫比例尺.如:用同一张洗出的不同尺寸的两张照片上对应线段的比相同,按照图纸严格建造的楼房的窗户的长与宽与图纸上相应的长与宽的比相同等.2.解:长线段短线段=51.3.解:因为a,b,c,d是成比例线段,所以ab=cd,即32=6d,所以d=4(cm).习题(教材第79页)1.解:因为在ABC中,B=90,AB=BC=10 cm,所以AC=

22、102 cm.因为ED=EF=12 cm,DF=8 cm,所以ABEF=102.解:ADDB=AEEC,AD12-AD=65.解得AD3.解:由题意可知ADAE=ABAD,AE=12AB,AD12AB=ABAD,即AB2=2AD2,A关于成比例线段应注意以下两点:(1)线段的比是指两条线段长度之间的比的关系,而成比例线段是指四条线段长度之间的比的关系.(2)线段的比有顺序性,四条线段成比例也有顺序性.如ab=cd是线段a,b,c,d成比例,而不是线段a,c,b通常成比例的四条线段a,b,c,d的单位应该一致,但有时为了计算方便,a,b的单位一致,c,d的单位一致也可以,为什么?解:例如:a=3

23、0 cm,b=50 cm,c=3 m,d=5 m,我们可以把四条线段的长度单位都化成厘米,即a=30 cm,b=50 cm,c=300 cm,d=500 cm,则ab=3050=35,cd=300500=第课时理解等比的性质.通过具体数字和证明领会等比性质.鼓励和培养学生的探索精神.【重点】等比的性质.【难点】等比性质的变形及灵活运用.【教师准备】等比性质的推导过程和课堂小结的投影图片.【学生准备】复习比例线段和比例的性质.导入一:小明给小刚提出一个很有意思的问题.他说:“数学来源于生活.因此,数学中的许多定理都可以用生活中的常识来解释,请你利用一个生活常识来解释:若ab=cd=mn(b+d+

24、n0),则a+c+mb+d+n=ab.”小刚想了想说:“若有含糖a kg的糖水b kg,含糖c kg的糖水d 小刚所举的例子有什么数学根据呢?导入二:如图所示,已知ABEF=BCFG=CDGH过渡语你能计算出导入二问题的结果吗?【学生活动】学生独立思考1分钟后,分组交流探讨.【教师活动】教师巡视指导,特别关注学生此时是否积极参与.【学生活动】各组汇报交流讨论的结果,教师板书出现的解决方案,由学生说明其理由.学生可能出现的解决方案:因为ABEF=BCFG=CDGH=DAHE=2,所以AB=2EF,BC=2FG所以AB+BC+【猜想】用数字验证:12=24=【教师活动】用数字验证的结论可靠吗?【学

25、生活动】学生独立思考1分钟后,分组交流探讨.【教师活动】教师巡视指导,特别关注学生此时是否积极参与.【学生活动】各组汇报交流讨论的结果,教师板书出现的解决方案,由学生说明其理由.学生可能出现的解决方案:设ab=cd=mn=k,a=bk,c=dk,a+c+【结论】等比性质:如果ab=cd=mn(b+d+n(教材例2)在ABC与DEF中,已知ABDE=BCEF=CAFD=34,且ABC解:ABDEAB+4(AB+BC+CA)=3(DE+EF+FD),即DE+EF+FD=43(AB+BC+CA)又ABC的周长为18 cm,即AB+BC+CA=18 cm,DE+EF+FD=43(AB+BC+CA)=4

26、318=24(即DEF的周长为24 cm.【思考】(1)AB+BC(2)BC+CA(3)如果AB+BC=10 cm,DE+EF等于多少?设计意图学到的知识要会应用升华,通过学生练习,使学生掌握运用比例的基本性质、等比性质来求值和说理的方法;通过归纳学生的各种解题方法,达到一题多解的目的,培养学生多角度的开放性思维能力.知识拓展(1)将比例式转化为乘积式是有规律的,并不是比例式的四个字母中任意两个字母的乘积都等于另外两个字母的乘积,这个规律是:比例的外项乘积等于内项乘积.(2)用等比性质时,要注意b+d+n0这个条件.(3)比例的其他性质:合比性质:如果ab=cd更比性质:如果ab=cd,那么反

27、比性质:如果ab=cd1.已知2a=3b,则ab=答案:32.若3x-5y=0,则yx=答案:33.若ab=cd=34(b+d答案:34.已知ab=cd=e答案:55.在ABC和ADE中,ADAB=AEAC=DEBC=712,且ABC的周长为答案:21 cm第2课时1.等比性质2.等比性质的证明一、教材作业【必做题】教材第81页习题的1,2题.【选做题】教材第81页习题的3题.二、课后作业【基础巩固】1.已知ab=52,那么下列等式中不一定正确的是 =5bB.a+b=7D.a2.若a-bb=23,则A.13B.23C.433.若ab=35,则a+A.25B.38C.584.已知直角三角形的两条

28、直角边长的比为ab=12,斜边长为45 cm,那么这个三角形的面积是() cm2 cm2 cm2 cm25.若2x-5y=0,则yx=,x+yy6.已知ab=cd=ef=35,b+d+f=507.如果ab=cd=e【能力提升】8.如果ab=cd成立,那么下列各式一定成立的是A.ac=dC.a+1b=9.若a-bb=4710.若xy=32,则11.已知x2=y3【拓展探究】12.设a,b,c是ABC的三条边,且a-bb=b-cc【答案与解析】577.49.1111.解法1:由x2=y3=z4,得x+y+z2+3+4=x2,x+y-z2+3-4=x2,所以x+y+z9=x+y-z1,即x+y+zx

29、+y-z=9.解法12.解:ABC为等边三角形.理由如下:设a,b,c是ABC的三条边,a+b+c0.a-bb=b-cc=c-aa,a-b等比的性质及其变形是本课时的知识难点,为了突破这个难点,必须让学生领会等比性质的推导过程.在推导等比性质的过程中,放手让学生用自己的方法去证明和推导等比性质,加上老师恰到好处的提示和点拨,使学生深刻领会等比性质的推导过程.等比性质的变形是在课堂练习和习题当中体现的内容,是学生课后探究尝试的内容,在本课时的教学过程中,过早地交代和涉及了相关的知识,加大了本课时的课时容量,也会给学生造成知识掌握上的困难.在引导学生探究等比性质的时候,应该遵循从特殊到一般的认识规

30、律,先让学生选择具体的数字或者任意的线段长度进行尝试,有了一定的感性认识之后,最终探索等比性质的一般形式,并适时强调等比性质成立的条件.随堂练习(教材第80页)解:由于ab=cd=23(b+习题(教材第81页)1.解:由于ab=cd=ef=23且b2.解:AB=25,DE=5,BC=210,DC=10,AC=213,EC=13.CABCCEDC=(25+210+213)(5+10+13)=3.解:正确.设ab=cd=k,则a=bk,c=dk,所以a+bb=bk+bb=k+1,c(1)有关比例的证明题.已知ab=a-解析这是一道有关比例的证明题,利用比例的基本性质证明.证明:因为ab=a-cc-

31、b,所以a即ac-ab=ab-bc,所以ac+bc=2ab,两边同时除以abc,得1a解题策略解此题时,要注意a0,b0,c0这个隐含条件,所以在等式两边可以同时除以abc.(2)用代换思想解比例问题.若c0,3a=5b+2c,32a+12b=4c,求ab解析上面两个等式可看成方程,两个方程中有三个未知数,无法直接求解,应把其中一个字母看成已知数,用含有这个字母的式子表示另两个字母.解:由题意得3a=5所以abc=73bbb=733(2023牡丹江中考)若xy=13,2y=3z,则2x+yz- 103C.10解析xy=13,设x=k,y=3k,2y=3z,z=2k,2x+yz-y=若2a=3b

32、=4c,且abc0,则a+bc-2解析设2a=3b=4c=12k(k0),则a=6k,b=4k,c=3k,所以a+bc-2b=2平行线分线段成比例1.理解平行线分线段成比例基本事实及其推论,初步熟悉平行线分线段成比例的应用.2.通过有关比的计算,激发学生学习数学、探索问题的兴趣,培养学生进行一定的问题研究的能力.通过教学,培养学生的观察、分析、概括能力,了解特殊与一般的辩证关系.学会与他人合作交流.【重点】理解平行线分线段成比例基本事实及其推论.【难点】成比例的线段中对应线段的确认.【教师准备】教材图4-6,图4-7的投影图片.【学生准备】复习两条线段的比、比例线段的概念及比例的性质,并预习新

33、课内容.导入一:如图(1)所示,梯子是施工过程中经常使用的工具,因为它的实用性和稳定性都很好,所以梯子的应用非常广泛,大到施工工地,小到日常家居,都能看到梯子的身影.如图(2)所示的梯子在生产过程中因为工作失误导致“左右不对称”,不过AB=BC=,ADBECF,这些都符合要求,那么DE和EF相等吗? 导入二:我们已经学习了成比例线段,请同学们回忆一下,什么叫成比例线段?能不能举几个例子说一说?这里给出四条线段,我们需要计算才能知道它们成不成比例,这节课我们将要学习不用计算,就知道它们成不成比例的方法,你们想知道是什么吗?过渡语在什么情况下的四条线段对应成比例呢?【探索活动一】平行线分线段成比例

34、的基本事实.出示教材图4-6.在图4-6中,小方格的边长均为1,直线l1l2l3,分别交直线m,n于点A1,A2,A3,B1,B2,B3.问题1计算线段A1A2,A2A3,B1B2,B2B3的长度.问题2A1A2A问题3A1A2A1问题4将l2向下平移到如图4-7所示的位置,直线m,n与l2的交点分别为A2,B2,你在问题1,2,3中发现的结论还成立吗?如果将l2平移到其他位置呢?问题5在平面上任意作三条平行线,用它们截两条直线,截得的线段成比例吗?(问题提示:经过计算,在图4-6中,A1A2=2,A2A3=42,B1B2=5,B2B3=45,利用此数据可得问题2,问题3中的两条线段的比均相等

35、.对于问题4的探索,可同样采取前3个问题的办法)设计意图学生对于理解“平行线分线段成比例”这一基本事实有一定的困难,这里的体验活动正好让他们对这一基本事实有一个直观理解.利用直观的操作培养学生大胆猜测、从实践中得出结论的能力,充分体现了教师为主导,学生为主体的教学原则.基本事实的总结:【文字叙述】两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.【符号表述】如图所示,直线l1,l2,l3截直线a,b,且l1l2l3,则ABBC知识拓展(1)理解“对应”的含义:对应线段成比例,是指所得的对应位置的线段成比例,如左上左下=右上右下,左上右上(2)平行线分线段成比例定理与平行直线和被截两直线的交点位置

36、无关.如图所示,已知ABCDEF,那么下列结论正确的是()A.ADDF=BCC.CDEF=BC解析ADDF=BCCE,AD和BC对应(同为上),DF和CE对应(同为下),根据平行线分线段成比例定理可知选项A正确;BCCE=DFAD,BC和DF不对应(一上一下),CE和AD不对应(一下一上),故选项B错误;CDEF=BCBE,CD和BC不对应,EF和BE不对应,CD,EF不是三条平行线截出的线段,故选项C错误;CDEF=ADAF,CD和AD不对应,EF【探索活动二】平行线分线段成比例定理的推论.在下图中平移l5可得几种变式图形?画出这些图形.【教师活动】教师板书出现的变式图形如图所示.【学生活动

37、】学生可能出现的变式图形如图所示.【教师活动】请同学们在上述图形中找出对应线段.【学生活动】学生先独立思考,然后在小组组员间交流讨论.(上面每个图中线段AB与线段DE,线段BC与线段EF,线段AC与线段DF都是对应线段)【教师活动】在学生得出下左图所示的变式图形后,引导学生用特殊化的手段,抽象出下右图,从而 特殊化 得出如下推论:【推论】平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例.(教材例题)如图所示,在ABC中,E,F分别是AB和AC上的点,且EFBC.(1)如果AE=7,EB=5,FC=4,那么AF的长是多少?(2)如果AB=10,AE=6,AF=5,那么FC的长是多少?解

38、:(1)EFBC,AEEBAE=7,EB=5,FC=4,AF=AE(2)EFBC,AEABAB=10,AE=6,AF=5,AC=ABFC=AC-AF=253-5=10知识拓展根据平行线分线段成比例定理可得比例线段,如图(1)所示,在ABC中,若DEBC,则ADDB=AEEC,并把图(1)称为“A”字型基本图形;如图(2)所示,若DEBC,则ADAB=AEAC,1.如图所示,已知直线l1l2l3,AB=4,BC=6,DE=3,则EF为()答案:B2.如图所示,已知DEBC,EFAB,则下列比例式中错误的是()A.ADAB=AEC.DEBC=AD答案:C,E分别是ABC的边AB,AC上的点,DEB

39、C,如果ADDB=32,AE=15,那么EC答案:A2平行线分线段成比例1.探索活动一2.探索活动二一、教材作业【必做题】教材第84页习题的1,2题.【选做题】教材第85页习题的3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,在ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,DEBC,若ADAB=34,AE=6,则AC等于() (第1题图)(第2题图)2.如图所示,ABC中,DEBC,DFAC,下列各式中不正确的是()A.ABAD=ACC.BCFC=BA3.如图所示,已知D点在ABC的边AB上,点E在边AC上,AEEC=25,AB=14 cm,当AD的长等于cm时,可以证得DEBC.(第3题图)(第4

40、题图)4.如图所示,四边形ABCD中,点E,F分别在AB,DC边上,ADBCEF,BEEA=12,若FC=,则FD=.5.如图所示,F是ABCD的边CD上一点,连接BF,并延长交AD的延长线于点E.求证DEAE【能力提升】6.如图(1)所示,在ABC中,ACB=90,BA,点D为边AB的中点,DEBC交AC于点E,CFAB交DE的延长线于点F.(1)(2)(1)求证DE=EF;(2)如图(2)所示,连接CD,过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G,交AC于点H,求证B=A+DGC.【拓展探究】7.如图所示的是一块三角形梨园,梨园的一边BC靠近河边,A处建有恒温保鲜库,要把这块梨园按人口分给三户

41、人家,这三户人家的人口分别为2人,3人,5人,要求都能利用河水浇地,并且保证不经过其他家的梨园把梨运往公用恒温保鲜库储存,你将如何分配?【答案与解析】(解析:AEEC=25,AEAC=27.当DEBC时,AEAC=ADAB,27=AD(解析:ADBCEF,BEEA=12,FCFD=12,FC=,FD=5.)5.证明:四边形ABCD为平行四边形,CDAB,ADBC,DEAE=EFEB.同理可得EF6.证明:(1) DEBC,ADDB=AEEC,点D为边AB的中点,AE=EC,CFAB,DEEF=AEEC,DE=EF.(2)CFAB,A=ACG,A+DGC=ACG+DGC=DHC.ACB=90,点

42、D为边AB的中点,AD=DC,A=ACD,又ACB=CDG=90,B=DHC,7.解:如图所示,按以下方法分割三角形梨园:过点B作射线BD;在射线BD上依次截取线段BE,EF,FG,使BE=2a,EF=3a,FG=5a;连接CG,过点E,F分别作CG的平行线交BC于点P,Q;连接AP,AQ.三户人家分别分得三角形地块ABP,APQ,AQC.本节课通过创设实验环境,引导学生动手实验、观察、比较、归纳,经历发现数学知识的全过程而获取知识,掌握相应的数学思想方法.所有的新知识,通过自身“再创造”,纳入到自己的认知结构中,成为有效而能发展的知识,优化和发展了学生的数学认知结构.这些对发展学生的认知能力

43、,培养学生的创造力,提高数学素养是大有裨益的.为了发展和完善学生认知结构,除了组织完好的知识结构外,还要发展学生的认知能力,如观察能力、思维能力和记忆能力.本节课需要学生进行细心和准确的观察,才能找好对应的线段成比例,本节课在引导学生细心观察方面有待加强.平行线分线段成比例是情况比较多的内容,既不能让学生眼花缭乱,也不能让学生浅尝辄止,通过图形位置的变化,帮助学生领会实质不变的东西.为此就要引导学生自己尝试会有哪些位置变化,通过观察了解位置变化只是内在形式的变化,不会改变定理的性质.随堂练习(教材第84页)解:由平行线分线段成比例定理可得3x=47,解得习题(教材第84页)1.解:(1)由平行

44、线分线段成比例定理可得57=DE4,解得DE=207.(2)由平行线分线段成比例定理可得66+72.解:(1)由平行线分线段成比例定理可得3.21.2=2.4EC,解得EC=(cm).(2)由平行线分线段成比例定理可得3.解:ABBE=ACEC,ABAC=BEEC=53,4.解:DEBC,ADBD=AEEC=23,AEAC=22+3=25.EFAB,(1)证明平行线分线段成比例定理.已知:直线l1l2l3,分别交直线l4,l5于点A,D,B,G,M,N.求证:BDAD=NMGM.证明:如图所示,过点A作直线ACGN,连接CD,BE,作BKAC于K,CHAB于H.设直线DE和BC之间的距离为h,

45、则:SDBC=12BCh=SEBC,SADC=SABC-SDBC,SAEB=SABC-SEBCSADC=SAEB,SABCSADC=SABCSAEB.SABCSADC=12ABCH12ADCH=ABSABCSAEB=12ACBK12AEBK=ACABAD= ACAE,(AD+BD)AD=(AE+EC)AE,BDAD=ECAE,BDAD=NMGM.(2)知识图表.定理名称平行线分线段成比例定理的推论或三角形一边平行线的性质定理文字语言平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例图形语言符号语言若DEBC,则ADAB=AEAC=DEBC若DFBC,则DAAB=FAAC=DFBC模型语

46、言字母A型字母X型3相似多边形1.经历相似多边形概念的形成过程,了解相似多边形的定义,能根据定义判断两个多边形是否相似.2.在探索相似多边形本质特征的过程中,进一步发展学生归纳、类比、反思、交流等方面的能力.通过运用相似多边形的性质解决简单的几何问题,体会数学的应用价值.通过观察、推断得到数学猜想、获得数学结论的过程,体验数学活动充满了探索性和创造性.【重点】探索相似多边形的定义,判断两个多边形是否相似.【难点】探索相似多边形的定义的过程.【教师准备】新课导入图片和教材图4-11的投影图片.【学生准备】复习对应线段成比例的知识.导入一:如图所示,小丽的姐姐郊游时,在湖光山色中拍了一张美丽的相片

47、,于是把它放大挂在自己的房间.看着这一大一小的两张相片,小丽说:“这太有趣了,大小不同,却那么相像.”聪明的你知道这两张相片是什么图形吗?导入二:如图所示,学生会举办一个校园摄影艺术展览会,小华和小刚准备将一张矩形的相片四周镶上一圈等宽的纸边,如图所示.两人在设计时发生了争执:小华要使内外两个矩形相似,觉得这样视觉效果较好;小刚试了几次不能办到,表示这是不可能的.小红和小莉了解情况后,小红认为这一要求只有当矩形的长与宽之比为5-12时才能做到,小莉则坚持只有当矩形是正方形时才能做到.请你动手试一试过渡语两个图形的形状相同,但它们的大小不同,它们的边之间、角之间又有怎样的特征呢?今天我们一起来研

48、究相似图形.一、特例感知相似多边形下列每组图形形状相同:(1)正三角形ABC与正三角形DEF;(2)正方形ABCD与正方形EFGH.提问:(1)在每组的两个图形中,是否有相等的内角?设法验证你的猜测;(2)在每组的两个图形中,相等内角的两边是否成比例?设计意图直接明确两个图形形状相同,至于形状相同的本质,学生通过自主探究,合作交流解决.老师参与到学生的合作中去,引导学生说明验证的方法,对于学生的验证方式,只要有道理,教师都应给予充分肯定和鼓励.两个大小不等的正五边形,正六边形正n边形有相同的结论吗?(引导学生认识到这些正多边形都有相同的结论)二、探索感知相似多边形思路一我们已经探索了两个正多边

49、形的角之间、边之间的关系.对于一般的两个形状相同的图形,这个结论还成立吗?下图中的两个多边形分别是幻灯片上的多边形ABCDEF和银幕上的多边形A1B1C1D1E1F1,它们的形状相同.在上图中,六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1是形状相同的图形,其中A与A1,B与B1,C与C1,D与D1,E与E1,F与F1分别对应相等,AB与A1B1,BC与B1C1,CD与C1D1,DE与D1E1,EF与E1F1,FA与F1A1的比都相等.思路二【问题】(1)观察下面两组图形,图(1)中的两个图形相似吗?为什么?图(2)中的两个图形呢?与同伴交流.(2)如果两个多边形不相似,那么它们的各角可能

50、对应相等吗?它们的各边可能对应成比例吗?(3)一块长3 m,宽 m的矩形黑板如图所示,镶在其外围的木质边框宽 cm.边框的内外边缘所成的矩形相似吗?为什么?设计意图问题的设计,体现了从特殊到一般的探索问题的思想,从特例入手,学生比较容易接受,而从特例的探索过程得到的活动经验对一般情况的探索起到铺垫的作用,从而降低了探究难度.知识拓展相似多边形的相似比具有方向性,例如:若五边形ABCDE与五边形ABCDE的相似比为2,则五边形ABCDE与五边形ABCDE的相似比为121.各角分别相等、的两个多边形叫做相似多边形,根据这个定义,两个形一定是相似的.答案:各边对应成比例正方(答案不唯一,也可以是其他

51、的正多边形)2.正方形ABCD的边长为3,正方形ABCD的边长为2,则正方形ABCD与正方形ABCD的相似比为,正方形ABCD与正方形ABCD的相似比为.答案:32233.两个相似五边形,一组对应边的长分别为3 cm和 cm,则这两个多边形的相似比可能是() A.34B.56C.12答案:D4.两个四边形的四条边对应成比例,有三个内角对应相等,则这两个四边形(填“相似”或“不相似”),理由是.答案:相似由三个内角对应相等可得第四个内角也相等3相似多边形1.特例感知相似多边形2.探索感知相似多边形一、教材作业【必做题】教材第88页习题的1,2题.【选做题】教材第88页习题的4题.二、课后作业【基

52、础巩固】1.下列说法正确的是() A.任意两个平行四边形都相似B.任意两个矩形都相似C.任意两个梯形都相似D.任意两个正方形都相似2.若如图所示的两个四边形相似,则的度数是()3.若一个矩形对折后和原矩形相似,则对折后矩形长边与短边的比为()11D.214.在四边形ABCD与四边形ABCD中,A=A,B=B,C=C,D=D,且ABAB=BCBC【能力提升】5.巡警小王在犯罪现场发现一只脚印,他把随身携带的一张百元钞票放在脚印旁进行拍照,照片送到刑事科,他们测得照片中的脚印和钞票的长度分别为5 cm和 cm,一张百元钞票的实际长度大约为 cm,则脚印的实际长度为cm.6.如果一个三角形的三边长分

53、别是3 cm,6 cm,8 cm,和它相似的另一个三角形的最短边的长为21 cm,那么较大三角形的周长是多少?较小三角形与较大三角形的周长之比是多少?【拓展探究】7.如图所示,有一块长为2 m、宽为1 m的玻璃ABCD,为了保护玻璃,需要镶上宽10 cm的铝合金边框,那么边框的内外边缘所围成的矩形相似吗?为什么?【答案与解析】(解析:根据相似多边形的对应角相等,可知=360-60-138-75=87.故选C.)ABCD23(解析:设脚印的实际长度为x cm,根据题意得5x=3.115.5,解得x=6.解:由相似多边形的对应边成比例,得较大三角形的另两边长分别为42 cm,56 cm,所以较大三

54、角形的周长为21+42+56=119(cm).较小三角形的周长为17 cm,所以较小三角形与较大三角形的周长之比是17.7.解:不相似.理由如下:10 cm= m.AB=2,AD=1,EF=2=,EN=2=,EFAB=1.82=,ENAD=0.在探索相似多边形定义的过程中,刻意地回避了“两个图形的形状相同吗?”的问题,而是直接明确指出两个图形相似,然后探索相似的本质特征.因为形状相同没有一个明确的定义(实质就是相似),只是一种感性的认识,这种认识会影响到黑板边框内外边缘是否相似的正确判断,从教学效果看这样处理减少了学生判断黑板边框问题的错误.多边形相似学生容易产生一个误解,认为只是三角形或者是

55、四边形等比较规则的图形.在理解相似多边形的时候,应该突破这个传统定势思维的限制,本节课在这个方面对学生缺乏适当的提示和引导,比如任意两个正五角星形、任意两幅中华人民共和国地图轮廓等都可以理解为是相似多边形.判断多边形相似,引导学生抓住三个关键词:“对应”“相等”“成比例”.忽略了其中任何一个关键因素,都无法正确判断多边形是否相似.可以通过举反例的方式帮助学生强化这方面的认识.随堂练习(教材第87页)1.解:(1)相似.因为23=34.5,所以两个矩形相似.(2)不相似.因为2.解:根据题意,得4040-2x=6060-1.52,解得x习题(教材第88页)1.解:因为两个矩形的相似比为23,所以

56、ABEF=23,即3EF=23,解得EF=92(cm);BCFG=22.解:相似.因为菱形的四条边都相等,所以ABEF=BCFG=CDGH=DAHE.又因为A=E,所以B=F,C=G,3.解:设原正方形的边长为2x,则新正方形的边长为x2+x2=2x,所以新正方形的边长原正方形的边长=2x24.解:她至少需要12张正方形的纸片,拼出长为小正方形边长的6倍,宽为小正方形边长的2倍的长方形.画一画略.在直角坐标系中依次描出下列各点:A(0,0),B(0,-4),C(4,0),D(4,2),E(2,2),A1(5,0),B1(5,-2),C1(7,0),D1(7,1),E1(6,1).(1)依次用线

57、段连接点A,B,C,D,E,A和依次用线段连接点A1, B1, C1,D1, E1,A1,你得到了两个什么图形?(2)这两个图形相似吗?若相似,求出它们的相似比;若不相似,简要说明理由;(3)第二个图形能由第一个图形经过某种变化得到吗?若能,说明变化过程;若不能,试说明理由.解:如图所示.(1)依次用线段连接A,B,C,D,E,A后,得五边形ABCDE;依次用线段连接A1,B1,C1,D1,E1,A1后,得五边形A1B1C1D1E1.(2)因为AB=4,CD=DE=2,BC=42,AE=22,A1B1=2,C1D1= D1E1=1,B1C1=22,A1E1=2,所以ABA1B又因为BAE=B1

58、A1E1=135,ABC =A1B1C1=45,BCD=B1C1D1=135,D=D1=90,E=E1=135,所以五边形ABCDE五边形A1B1C1D1E1,相似比为ABA1B(3)五边形A1B1C1D1E1是由五边形ABCDE的各边长缩小为原来的12得到的(即各顶点的横纵坐标变为原来的12后,再向右平移5个单位长度得到的.这也是以后要学习的位似图形4探索三角形相似的条件1.了解相似三角形的判定定理.2.了解黄金分割.经历两个三角形相似的探索过程,增强发现问题、提出问题的意识,进一步体会类比、分类、归纳等思想方法.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题,发展应用意识.【重点】1.相似三角形的

59、判断方法以及探索的过程.2.相似三角形判定定理的应用.3.黄金分割的定义和简单应用.【难点】1.灵活运用三角形相似的条件判定三角形相似.2.相似三角形判定定理的应用.3.黄金比的理解及黄金分割点的划分和验证.第课时1.掌握两个三角形相似的判定定理1,并能运用三角形的相似解决简单的问题.2.经历两个三角形相似条件的探索过程,进一步发展学生的探究、交流能力,合情推理能力和初步的逻辑推理能力.进一步体会数学内容之间的内在联系,初步认识特殊与一般之间的辩证关系.通过实际问题的解决,让学生感受数学的应用价值.【重点】1.相似三角形的判定定理以及探索过程.2.相似三角形的判定定理的应用.【难点】相似三角形

60、的判定定理1的运用.【教师准备】预想课堂活动中学生可能遇到的问题.【学生准备】三角板、量角器.导入一:小明用长度分别为30 cm,40 cm,50 cm的三根木条做成一个三角形框架,并计划用一根长度为60 cm的木条为一边再做一个形状相同的三角形框架,小明应该再找两根多长的木条?导入二:已知三角形的三边长a,b,c分别为3,6,8,你能画出一个与其相似的三角形吗?过渡语相似三角形是相似多边形的一种,我们可以通过相似多边形的定义,总结出什么是相似三角形.一、相似三角形(1)相似三角形的定义:若两个三角形的三角分别相等,三边成比例,则这两个三角形叫做相似三角形.相似三角形的定义是由相似多边形的定义