北京理工大学概率论16讲

1、 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象. 研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:与大数定律中心极限定理定理1 切比雪夫大数定律的特殊情况 设 X1, X2, 是相互独立的随机变量序列，它们具有相同的数学期望和方差，即 E(Xi)= ， D(Xi)= 2 ，i=1,2, 则对任意的 0，有切比雪夫证明： 切比雪夫大数定律表明，当n充分大时，与 偏差很小的概率接近于1. 切比雪夫大数定

2、律给出了平均值稳定性的科学描述当 n 很大时，X1, , Xn 的算术平均值在概率意义下接近于它们公共的均值 设 Y1, Y2, Yn 随机变量序列，a 是一个常数。若对任意的 0，有则称序列Y1, Y2, Yn 以概率收敛于常数a 记为以概率收敛于有以下性质若又 g(x, y) 设在点 (a, b) 连续，则定理1 设 X1, X2, 是相互独立的随机变量序列，它们具有相同的数学期望和方差，且 E(Xi)= ， D(Xi)= 2 ，i=1,2, 则对任意的 0，有即以概率收敛于 .该收敛可表示为定理2（辛钦大数定律） 设X1, X2, 是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)= ，i=1,

3、2, 则对任给 0,辛钦即 辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径. 设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的 次数，p 是一次试验中事件A发生的概率，则对任给的 0，定理3（贝努里大数定律）或证明：设设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的 次数，p 是一次试验中事件A发生的概率则有且由辛钦大数定律，有独立同分布 贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率 Sn/n 与事件A的概率 p 有较大偏差的概率很小. 贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法.例1：设X1, X2, 独立同分布，且 Xi 的k阶矩mk=E(Xi k)存在，则有证明：令则有Y1,

4、 Y2, 独立同分布且所以由辛钦大数定律也即中心极限定理的客观背景 在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的. 而其中每一个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的。 该结论得益于高斯对测量误差分布的研究.这种随机变量往往近似地服从正态分布。例如：考虑炮弹的射击误差。设靶心为坐标原点，弹着点的坐标为( X, Y )， X, Y 分别表示弹着点与靶心的横向和纵向误差。我们来看造成误差的原因是什么？炮身在每次射击后，因震动而造成的微小偏差每发炮弹内炸药的数量和质量上的微小差异而引起的误差.每发炮弹外形上的细小差别引起空气阻力不同，由此出现的误差炮弹在前进时遇到的

5、空气气流的微小扰动而造成的误差而误差X（或Y）是这许多彼此间相互独立的随机小误差的总和，即等等许多原因，每种原因引起一个微小的误差，有的为正，有的为负，都是随机的一般认为它服从正态分布。 以下我们从数学上来研究这种随机变量之和的分布例2. 设X1,Xn 是n个独立同分布的随机变量,其共同分布为U(0, 1)，求 X1+X2 ，X1+X2+X3，的分布 。X1 f(x)，E(X1)=0.5,2(X1)=0.2887X1 +X2g(x), E(X1+X2)=1,2(X1+X2)=20.2887X1 +X2+X3 h(x)E(X1 +X2+X3)=1.5,2(X1 +X2+X3)=30.2887几个

6、(0,1)上均匀分布的和的分布0123xfgh考虑取值的概率. 可以证明，满足一定的条件时，上述和的分布函数的极限是标准正态分布. 定理1（列维一林德伯格LevyLindberg） 设X1, X2 , 是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= 2 0 ，i=1,2,，则当 n 较大时近似服从正态分布 N(0, 1) 利用该定理, 可以进行如下计算: 近似服从正态分布 N(n , n 2)(1) 利用该定理，当 n 较大时 利用该定理, 可以得到如下近似分布: (2) 特别地, 当 n 较大时,近似服从正态分布 N( , 2/n)定理2 (棣莫佛拉普拉斯定理）证明: 设 Yn

7、是 n 重贝努里试验中事件A发生的 次数，p (0p1)是一次试验中事件A发生的概率，则对任意 x，有令 设 Yn 是 n 重贝努里试验中事件A发生的 次数，p (0p1)是一次试验中事件A发生的概率则且故由列维一林德伯格定理，有 定理表明，当 n 较大，0p1时， 于是，当 n 较大，0p 0.5). 由中心极限定理, 有 这16台彩电以大约58%的概率会对人造成健康伤害.=0.036,2=0.0081 例5. 假如在市场调查中独立获得10000个由四舍五入得到的用5位小数表示的近似数。设用一个5位小数 x* 近似表示一个实数时，其误差可看作是区间（0.000005， 0.000005)上的均匀分布。求这10000个近似数和的误差小于某数的概率。解：令 i 表示第 i 个数的误差，则i U(0.000005， 0.000005)且Ei =0, D(i) = 10 10/12故由列维一林德伯格定理，有令 i 表示第 i 个数的误差，则i U(0.000005， 0.000005)Ei =0, D(i) = 10 10/