高阶线性方程解一般理论基本解组

1、精品资料 欢迎下载 4.1 高阶线性方程一般理论 General Theory of Higher order Linear ODE教学内容 1. 介绍高阶线性微分方程一般形式 ; 2.介绍高阶线性微分方程初值问题解的存在 唯独性定理 ; 3. 介绍线性微分方程解的叠加原理（ Superposition Theory;4. 介绍高阶线性方 程解线性相关和线性无关性概念和判定； 5.介绍高阶线性方程通解结构定理； 6. 介绍刘维尔 公式及其应用 . 教学重难点 重点是知道并会运用线性方程的叠加原理,高阶线性方程的通解结构； 难点 是如何判定线性方程解线性无关性 教学方法 预习 1,2；讲授 3考

2、核目标 熟识高阶线性微分方程一般形式 ; 2. 知道线性方程解线性无关的概念 ; 3. 会判定函数和线 性方程解的线性无关性 ;4. 知道齐次线性方程通解结构和非齐次线性方程通解结构 . 5.知道 刘维尔公式及其应用 . 1. 熟识 n 阶齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程 .n n 1 称 d x n a t d n 1 x a n1 t dx a tx n 0 为 n 阶齐次线性微分方程 ; dt dt dt n n 1 称 d x n a t d n 1 x a n1 t dx a tx n ft 为 n 阶非齐次线性微分方程,其中 ft dt dt dt 为非零函数 . 线性方程柯西

3、问题解的存在唯独性定理：考察上述 n 阶非齐次线性微分方程,如 ai t, ft, i 1,2, , n 都 是 a, b 上 连 续 函 数 , 就 对 t 0 a, b 和 任 意 n 个 实 数 ix 0 , x 1 , , x n 1,方程 * 存在中意初始条件 xt 0 x 0 , x t 0 i d x dt i t t 0 xi 的唯独解 x t, t a, b . 声明：以下总假设方程（ * ）和（ * ）中意柯西问题解的存在唯独性定理条件 . 2. 齐次线性方程 * 解的叠加原理,函数的线性无关性, 结构 证明细节参见教材 Wronsky 行列式,方程（ * ）的通解 （1）

4、叠 加 原 理 ： 设 x1 t, x 2 t 为 齐 次 线 性 微 分 方 程 （ * ） 的 解 函 数 , 就 x 1t, x 2t, x1t x 2t, x 1t x 2t 都是齐次线性微分方程 * 的解 . （2）设 x1 t, x 2 t, , x k t 都是定义在 a, b 上函数,如存在不全为零的常数 c1 ,c2 , , ck 使得 c1x1 t c2x 2 t ck x k t 0, t a, b ,就称 x1 t, x2 t, , x k t 在区间 a, b 上 线性相关,否就就称 x 1t, x 2 t, , xk t 在区间 a, b 上线性无关 . 精品资料

5、欢迎下载 （3）设 x1 t, x 2 t, , x n t 都是定义在 a, b 上具有 k-1 阶连续导函数的函数, 就称如下行 列 式 W t W x1 t x, 2 t , , x n t x1 t x 2 t x n t x1 t x 2 t xn t 为 这 些 函 数 n 1 x 1 n 1 t x 2 t n 1 xn t Wronsky 行列式 . （4）函数组线性相关的必要条件： 设 x1 t, x 2 t, , x n t 都是定义在 a, b 上具有 k-1 阶连 续导函数的函数,如它们线性相关,就它们的 Wronsky 行列式恒为零 . （5）方程（ * ）解函数线性

6、无关充要条件：设 x1 t, x 2 t, , x n t 都是定义在 a, b 上方程 （* ）的解函数,就它们线性无关 （6）如 n 个函数 x 1 t, x 2 t, 方程（ * ）的一个基本解组 . 它们的 Wronsky 行列式在 a, b 上处处不为零 . , x n t 都是方程（ * ）的解函数且线性无关,就称其构成了 （7）齐次线性方程（ * ）的通解结构定理：设 x1 t, x 2 t, , x n t 构成了方程（ *）的一个 n基本解组,就方程（ * ）的任一解 t 可表为 t ci x i t ,其中常数 ci 由初始条件确 i 1 定, i 1,2, , n . （

7、8）由齐次线性方程的叠加原理和通解结构定理知,方程（ * ）的全部解函数构成了一个 n维的线性空间 . 3. 非齐次线性方程的通解结构定理 考察非齐次线性方程（ *）,设 t 为方程（ *）的一个特解, x1 t, x 2 t, , x n t 为方程 t ,其中 ci （* ）的一个基本解组, 就方程 （ * ）的任一解 xt 可表为 xt nci x i t i 1 由初始条件确定 . 4. 例题讲解 例 40. 证明函数组 x1t 2 t , t 0 , x 2 t 00, t 0在实直线 R 上线性无关,但它们的 0, t 2 t , t 0Wronsky 行列式恒等于 0,这是否和教

8、材 么？ P124 定理 4 冲突？假如不冲突,它该例说明白什 解：当 t 0Wx t, x t x 1t x 2 t 2 t 00 . x1 t x 2 t 2t 0时, 第 2 页,共 5 页当 t 0Wx t, x t 精品资料 欢迎下载 2 t 0 . x 1t x 2 t 0 x1 t x 2 t 02t 时, 这说明 Wronsky 行列式恒等于 0. 考察方程 c1 x1 t c2 x 2 t 0, t R . 当 t 0 时,上述方程为 c 1 t 2 0,得到 c1 0 ； 当 t 0 时,上述方程为 c 2 t 2 0,得到 c2 0 . 这说明函数组 x1 t, x 2

9、t 在 R 上线性无关 . 这是否和教材 P124 定理 4 并不冲突！缘由是定理 4 中函数组为齐次线性方程的解函数 . t t 例 41. 验 证 x 1 e , x 2 e 为 方 程 x x 0 的 基 本 解 组 , 并 求 出 满 足 初 始 条 件 2d x x0 1, x 0 1 的特解,其中 x 2 . dt 解：直接代入验证知, e t e t 0, e t e t 0 ,因此, x1 e , x 2 t e 为方程的两个解 t t t 函数 . 下面验证它们是线性无关的 . Wx , x et et 2 0 ,因此, 由解函数线性 e et t t t 无关判定定理知,

10、x1 e , x 2 e 是线性无关的 . 因此,证 x 1 e , x 2 e 为方程 t t x x 0 的基本解组 . 方程的通解为 x c1e c2e , c1, c2 为任意常数 . 由初始条件知, x0 c1e 0c2e 0c1 c2 1 , x 0 c1e 0c 2 e 0c1 c2 1,解得 t c1 1, c2 0 ,因此所求特解为 x e . 例 42.（ 1）考察微分方程 x qtx 0 . 如 t, t为方程的任意两个解, 就它们 Wronsky 行列式 W t, t C （常数） . d 2 x （2） Liouville 公式：考察二阶齐次线性方程 x a1 tx

11、a2 t x 0,其中 x dt 2 , ai t Ca, b, i 1,2 . 假设 x1 t 为方程的一个非零解,就 a函数 x 2 t 为方程的解充要条 件 是 W a1t W 0, 其 中 W W 1 x t x 2 , t . b 方 程 的 通 解 为 第 3 页,共 5 页x c x t c x t 1et 精品资料 欢迎下载 a sds 1 dt ,其中 c , c 为任意常数 . t 02 x1 t （3）已知 x t e是微分方程 x qtx 0 一个特解,试求该方程的通解, 并确定函数 qt ？ 证明：（ 1）记 Wt W t, t,下证 dW 0 . dt 由行列式定义

12、的函数的导数公式（参见数学分析下 P124 习题 8）,我们得到 dW qt qt 0 . 得证 . dt qt （2）仿照（ 1）可证（ a） dW x1 x 2 x1 x 2 x1 x 2 a2 tx 2a1 t x1 x 2 x1 x 2 x 1 x 2 a1 tx 1 a2 tx 1 a1 tx 2 x1 x 2 dt 结论成立 . t a1 sds （b）求解方程 W a1 t W 0 得到,中意 Wt 0 1 的解 Wt e . t 0 此时相应的 x 2 t 和 x1t 是线性无关的, 它们构成了原齐次线性方程的基本解组, 由于它们 Wronsky 行列式不为零 . t t t

13、a1 sds t 0 a1 sds 改写 Wt e 0 为 x x x x 2 e,由 x t 0 再次改写上述方程为 t x2 x x 2 1e t 0 a1 sds ,这是一个一阶线性方程 . 由常数变易公式得到, x1 x1 x 2 e x1 t x t 1 dt e x1 t x t 1 dt 1et t 0 a sds 1dt C x 12 et t 0 a sds 1C ,特别地,取 C=0 x 1 x1 t 得到解函数 x 2 t x 1 12 e t 0 a1 sds . 因此,由齐次线性方程通解结构定理知,结论成立 . x1 t t 2t t （3）记 x1 t e ,由上述

14、公式得到, x 2 t e e dt e . 因此,原方程一个基本解 组为 e t , e t ,于是所求通解为 xt c1e t c2e , ci , i t 1,2 为任意常数 . t t t 将 x1 t e 代入原方程得到, e pte 0 ,得到 pt 1 . 作业 41. 证明非齐次线性微分方程的叠加原理：设 x1 t, x2 t 分别为非齐次线性微分方程 n d x a1 t n 1 d x an tx n d x f 1 t 和 n dt a1 t n 1 d x an tx f 2 t 的解 . n dt n 1 dt n 1 dt 第 4 页,共 5 页证明： x1 t x

15、 2 t 为方程 n d x 精品资料 欢迎下载 f1t f 2 t 的解 . a1t n 1 d x n 1 dt an tx n dt 作业 42. 1 验证 x1 cos2t, x 2 sin2t 为方程 x 4 x 0 的基本解组 . 2 验证 x 1 t 2 cos2ln t , x 2 t 2sin2ln t 为方程 t 2 x 3 t x 8 x 0 的基本解组 . 作业 43. 已知 x1 t 为方程 x t x 1 x 0 的一个非零解,运用 Liouville 公式求出 1 t 1 t 方程一个基本解组,并求出中意初值条件 x2 1, x 2 2 的特解 . 思 考 44. （ 1 ） 考 察 二 阶 齐 次 线 性 方 程 x a1 tx a 2 t x 0, 其 中 x d 2 x 2 , dt ai t Ca, b, i 1,2 . 设 x t 是方程在区间 a, b上一个非零解（即 x t 在区间 a, b上不恒等于 0）,试证解函数 t 在区间 a, b 上只有简洁零点（称中意 t 0 a, b 且 t 0 0, t 0 0 的零点为