光纤光学刘德明阶跃折射率分布光纤

1、第三章 阶跃折射率分布光纤 13.1 引言 数学模型园柱坐标系中的波导场方程边界条件本征解与本征值方程本征值与模式分析2数学模型数学模型：阶跃折射率分布光纤(SIOF)是一种理想的数学模型,即认为光纤是一种无限大直园柱系统,芯区半径a,折射率为n1;包层沿径向无限延伸,折射率为n2;光纤材料为线性、无损、各向同性的电介质。33.2 几何光学方法分析 光线分类光线轨迹：子午光线光线轨迹：倾斜光线4光线分类子午光线：限制在子午平面内传播的光线与光轴相交倾斜光线：轨迹曲线不限制在一个平面内不过光轴5子午平面6SIOF中光线的传播:子午光线折射率分布:光线轨迹: 限制在子午平面内传播的锯齿形折线。 光

2、纤端面投影线是过园心交于纤壁的直线。导光条件:临界角:数值孔径: 定义光纤数值孔径NA为入射媒质折射率与最大入射角的正弦值之积,即 相对折射率差: 最大时延差：n1n27SIOF的传输容量传输容量: 时延差的倒数多模光纤: n1=1.5, =1%, t =50 ns/km传输带宽: 1/ t = 20 MHzkm结论1: 多模光纤通信容量并不高!由一点发出的光线不能会聚在另一点:结论2:多模光纤不适合于传输图像!8信息传输速率与媒介的容量信息传输速率Audio: 9.6-128 kbit/sTV: 1-6 Mbit/sHDTV: 10-100 Mbit/s通信媒介传输速率：卫星/微波：140

3、Mbit/s同轴电缆：60 Mbit/s光纤：50 Tbit/s9光通信速率的不断提升速率(Mb/s)容纳电话(路）2308120344801551920 6227680 1.25 Gb/s154362.5 Gb/s3072010 Gb/s12288040 Gb/s491520 160 Gb/s196608010 1310nm/1550nm窗口的波分复用 仍用于接入网，但很少用于长距离传输 1550nm窗口的密集波分复用(DWDM) 可广泛用于长距离传输，用于建设全光网络波分复用技术的发展11可利用的波长资源O-band (Original): 1260-1360 nmE-band (Exte

4、nded): 1360-1460 nmS-band (Short):, 1460-1530 nmC-band (Conventional):1530-1565 nmL-band (Long):1565-1625 nmU-band (Ultralong): 1625-1675 nm采用超密集波分复用技术, 一根光纤可以同时传输1000个波长信道, 意味着: 全世界的人可以同时通过一根光纤打电话!12SIOF中光线的传播: 倾斜光线光线轨迹：(螺旋折线)内散焦面半径：数值孔径： (大于子午光线)最大时延差： (大于子午光线)13极限情况，当满足cosn2/n1时，s，尽管光线依然可以满足内全反射条

5、件而被约束在纤芯中，但光线仅仅在光纤横截面上频繁反射而不沿z轴向前传播。显然，若考虑偏斜光线的传播，光纤的传输带宽比仅考虑子午光线时要小。 143.3 波导场方程及导模本征解六个场分量：Er,E,Ez,Hr,H,Hz波导场方程：解的基本形式：15贝塞尔方程及其解纵向场分量满足：贝塞尔方程贝塞尔方程的解：第一类和第二类贝塞尔函数：Jl, Nl 第一类和第二类汉克尔函数：Hl (1) , Hl (2) 第一类和第二类变态汉克尔函数：Il , Kl161718场解的选取依据：导模场分布特点:在空间各点均为有限值; 在芯区为振荡形式,而在包层则为衰减形式;导模场在无限远处趋于零。贝塞尔函数形式: Jl

6、呈振荡形式, Kl则为衰减形式。本征解选取: 在纤芯中选取贝赛尔函数Jl,在包层中选取变态汉克尔函数Kl.19本征解的确定纤芯(0ra)：横向分量： 可由纵横关系式求得20213.4 本征值方程 22本征值方程的物理意义又称特征方程，或色散方程。其中U与W通过其定义式与相联系,因此它实际是关于的一个超越方程。当n1、n2、a和0给定时, 对于不同的l值,可求得相应的值。由于贝塞尔函数及其导数具有周期振荡性质, 所以本征值方程可以有多个不同的解lm(l=0,1,2,3. m=1,2,3.),每一个lm都对应于一个导模。23课堂测验（2）说明从波动方程到波导场方程两次分离变量的依据。波导场方程具有

7、什么样的数学特征？说明光线在SIOF和GIOF中的轨迹曲线是什么样的。传播常数的的物理意义是什么。说明V、U、W参数的物理意义及其相互关系。说明光波导数值孔径的物理意义子午光线的主要特征是什么? 光线时延差影响光通信的什么性能？在什么条件下才可以唯一确定光波导中的模式？在纤芯和包层中选取的贝赛尔函数分别具有什么数学特征？243.3 本征值方程 本征解：纤芯(0ra)：边界条件：Ez和Hz在ra处连续：得到：25E和H在ra处连续 ，得到：26欲获得A与B不全为零的解， 须使方程组特征行列式为零：得到本征值方程： 27本征值方程的物理意义又称特征方程，或色散方程。其中U与W通过其定义式与相联系,

8、因此它实际是关于的一个超越方程。当n1、n2、a和0给定时, 对于不同的l值,可求得相应的值。由于贝塞尔函数及其导数具有周期振荡性质, 所以本征值方程可以有多个不同的解lm(l=0,1,2,3. m=1,2,3.),每一个lm都对应于一个导模。283.4 模式分析 29本征值方程形式1：形式2：定义：303.4.1 光纤中的模式及其分类 HE模偏振旋转方向与波行进方向一致(符合右手定则), EH模偏振旋转方向则与光波行进方向相反;K1=n1k0K1=n2k031模式分类的 q 参数323.4.2模式本征值 模式的本征值可由U或W求得在一般情况下由本征值方程求本征值很复杂, 只能利用计算机进行数

9、值计算。两种情形可很容易地确定本征值:导模处于临近截止导模处于远离截止 33贝塞尔函数递推公式(I)微分公式：递推公式：大宗量近似：小宗量近似：34贝塞尔函数递推公式(II)微分公式：递推公式：大宗量近似：小宗量近似：35TE0m模式(=0, q= )U=0不是本征值!J0=(1/2)(J-1J1)=J1K0=(1/2)(K-11)=K1U0时J1(U)UJ0(U)1/2 36TM0m模式(=0, q=0) 导模截止: 导模远离截止:TEom模与TMom在截止与远离截止时具有相同的本征值， 即两种模式处于简并态;在截止与远离截止之间其本征 值并不相同 37HE1m模式(=1, q= -1)本征

10、值方程利用贝塞尔函数关系式将上式化为：截止时，W0，K0(W)WK1(W),有：截止条件为：远离截止条件为： 38HE m模式(1, q= -1)本征值方程利用贝塞尔函数关系式将上式化为：截止时，W0， ,有：截止条件为： 远离截止条件为： 39EHm模式(0, q= 1): 导模截止W本征值方程:上式可以简化为: Jl+1 /(UJl)=Kl+1/WKlm个40EHm模式(0, q= 1): 导模远离截止41模式本征值: 小结模式的截止与远离截止: 临近截止: W=0 , 场在包层中不衰减远离截止: W, 场在包层中不存在截止与远离截止条件: 模式临近截止远离截止TE0m(TM0m)J0(U

11、0mc)0 J1(U0m)0HEm J-2(U0mc)0 J-1(U0m)0EHm J (U0mc)0 J+1(U0m)0*除了HE1m模式以外,U不能为零模式本征值: U0mcUU0m42低阶模式截止与远离截止时的本征值 43色散曲线色散曲线结构参数给定的光纤中,模式分布是固定的。可根据本征值方程式利用数值计算得到各导模传播常数与光纤归一化频率V值的关系曲线,称之为色散曲线。因此,本征值方程又叫色散方程。色散曲线分析图中每一条曲线都相应于一个导模。平行于纵轴的竖线与色散曲线的交点数就是光纤中允许存在的导模数。由交点纵坐标可求出相应导模的传播常数。给定V值, V=Vc, 则Vc越大导模数越多;

12、反之亦然。当Vc2.405时, 在光纤中只存在HE11模,其它导模均截止, 为单模传输;4445单模工作条件单模条件: Vc（2/0）an12n22 2.405 (仅适用于SIOF！） 单模光纤尺寸: ac1.2020/（n12n22）单模光纤截止波长: c（an12n22）/ 1.202单模光纤截止频率:fc1.202c/（an12n22）仅当c或ffc时方可在光纤中实现单模传输.这时,在光纤中传输的是HE11模,称为基模或主模。紧邻HE11模的高阶模是TE01、TM01模和HE21模,其截止值均为Vc2.405。46课堂测验（3）SIOF波导场方程具有什么数学特征？写出SIOF中波导场方程

13、的解。写出SIOF中导模场的切向分量。写出SIOF中推导本征值方程的主要数学步骤。写出SIOF中TE01、TE02、TE03在临近截止和远离截止时的本征值。为什么Vc1(LPm): J-1(Umc)0J(Um)0*除了LP0m模式以外,U不能为零模式本征值: UmcUm1时,有近似式: U(2m1/2)/22m值相同,则U相同,与之对应的传播常数lm也相同,这样一组模式是简并的，具有相同的传播常数p，p=2m ；在一定的p值下,共有(p/2)个LPm模,而每个LPm模含四重简并,故对应于p的模式一共有2p个。定义这样一组模式为模群,并以p作为模群标号,又称为主模标号。与m则分别为角向与径向模式标号。72模式的输出特性第p群模的Up值近似为: Upp/2由此可求出对应的传播常数p为: pn1k0cospn12k02Up2/a2其中,p是第p群模的模角,定义为波矢K与z轴夹角。由上式