数学建模2007年赛题-手机套餐优惠几何

1、PAGE PAGE 19手机“套餐”优惠几何问题摘要本文针对手机资费问题，主要以层次分析法建立数学模型，给出各种套餐方案的资费计算方法，并对各套餐方案与现行的资费标准进行了分析、比较和评价，最终制定出了合理的套餐方案。对问题（1），我们对北京、上海各套餐方案的资费计算方法建立数学模型，对各方法进行分析求解, 利用数学软件包MATLAB计算得出如下结果：北京“畅听99套餐”：当通话时长在、范围内的用户，分别适用于使用“99元”、“139元”、“199元”、“299元”套餐业务。上海“全球通68套餐”：当通话时长在、范围内的用户，分别适应于使用“68元”、“128元”、“188元”套餐业务。对问题

2、（2），以月租费、本地话费、漫游话费、长途话费四项建立数学模型，分别对客户使用一项功能（本地拨打型，漫游拨打型，长途拨打型）、两项功能（本地漫游拨打型，本地长途拨打型，漫游长途拨打型）、三项功能的情况进行讨论分析，得出评价准则和方法，且据此方法与各套餐方案比较分析。对问题（3），北京移动公司推出“被叫全免费计划”，并且要求用户至少在网一年，旨在稳定原来全球通客户，虽然实行被叫全免，但总体来说，并不影响运营商的总收益，所以我们认为此方案是可行的。对问题（4），制定一个套餐方案，应考虑价格因素、个性化因素、促销的关注度、满意度等四个因素，从而建立层次分析法模型，然后利用数学软件包MATLAB计算得

3、出，个性化因素和满意度对全球通手机的资费方案的设计起主要作用。因此，通过对这些因素的综合考虑，设计出了我们认为比较合理的套餐方案：以现有的套餐为主套餐，添加附加套餐业务。关键词：手机套餐资费方案层次分析法MATLAB软件一、问题的提出手机现已成为人们日常工作、社交、经营等社会活动中必备的工具之一，近年来通信业务量飞速增长 (见附件1) 。手机资费问题一直是人们关心的热点问题，多少年来资费方案始终没有实质性变化。但是2007年1月以来上海、北京、广东等地的移动和联通两大运营商都相继推出了“手机单向收费方案”各种品牌的“套餐”，手机“套餐”的花样琳琅满目，让人眼花缭乱。人们不禁要问：手机“套餐”究

4、竟优惠几何？请参照中国移动公司现行的资费标准和北京的全球通“畅听99套餐”、上海的“全球通68套餐”方案（见附件2），建立数学模型分析研究下列问题：(1)给出北京、上海各“套餐”方案的资费计算方法，并针对不同（通话量）需求的用户，分析说明各种“套餐”方案适应于什么样的用户？(2)提出你们对各种资费方案的评价准则和方法, 据此对北京、上海推出的“套餐”方案与现行的资费标准作分析、比较，并给出评价。(3)北京移动公司2007年5月23日又推出了所谓的全球通“被叫全免费计划”方案，即月租50元，本地被叫免费，其他项目资费均同现行的资费标准，还要求用户至少在网一年。你们又如何评价这个方案？并说明理由。

5、(4)如果移动公司聘请你们帮助设计一个全球通手机的资费方案, 你们会考虑哪些因素? 根据你们的研究结果和北京、上海的实际情况，在较现有“套餐”方案运营商的收入降低不超过10%的条件下,用数学建模方法设计一个你们认为合理的“套餐”方案。附件1 2006年中国通信业的统计资料附件2 中国移动手机的资费方案二、问题的分析本题是围绕现实生活中的手机“套餐”方案是否优惠提出的。问题（1）中，只是利用了简单的函数模型1，列出北京、上海各“套餐”方案的资费计算方法，然后对各套餐方案的资费计算方法进行分析比较，易得出其适用人群。在问题（2）中引入了蛰伏系数，以月租费、本地话费、漫游话费、长途话费四项建立了数学

6、模型，在忽略一些简单因素的前提下，可得其费用与时间总的关系式，然后在蛰伏系数取不同值的情况下结合各种资费方案的具体情形分类列式，再进行评价比较。依此方法为根据，比较北京、上海推出的套餐方案与现行的资费标准，得出分析结果及评价。在问题（3）中，北京移动公司又推出全球通“被叫全免费计划”，即单向收费计划，此外，全球通手机用户要想真正享受单向收费，并非“无条件”，要想申请“被叫全免计划”，客户还需要签署一年在网协议，缴纳月基本费，有效期内不得转户、申请销号，不得参加北京移动推出的其他优惠促销，才能享受本地接听电话全部免费。对此计划要从用户是否受益角度来考虑。而针对问题（4），建立层次分析法模型，对其

7、制约因素进行综合考虑分析，得出其主要影响因素，然后据此制定出套餐方案。三、模型的假设1在北京“畅听99套餐”方案中，包含的数据业务可以忽略不计；2为了简化数据，方便计算，由于各种长途资费在全球通和神州行业务中均相等，故长途资费可以忽略不计；3北京“畅听99套餐”中，国内IP长途资费单价相同，在比较其4种方案时，国内长途资费可以忽略不计；4为了方便对各方案进行比较，忽略国际长途话费和短信资费。5文中讨论手机费用指用户平均一月的手机使用费；6假设用户有确定的持续的交际人群，不同的人有不同的交际范围；7假定用户为理性消费，提出的服务项目要求刚好满足自己的实际要求，并且长期使用；8不考虑各类短期优惠政

8、策，侧重话费的四个主要组成部分；9各功能收费情况彼此间没有联系。四、符号说明： 月租费： 每月拨打电话的总费用： 每月的通话时长： 本地打出电话费用单价： 本地接收电话费用单价： 漫游打出电话费用单价： 漫游接收电话费用单价： 长途打出电话费用单价： 长途接收电话费用单价： 网内可发短信条数： 国内长途费单价折扣： 漫游费单价折扣: 某用户某月话费总额： 国内长途通话时间： 漫游通话时间： 满足接打本地电话线形关系的常数： 满足接打漫游电话线形关系的常数： 满足接打长途电话线形关系的常数：对应为本地打出、漫游打出、长途打出电话的时长：对应为本地接收、漫游接收、长途接收电话的时长五、模型的建立与

9、求解1.问题（1）模型：通过对北京、上海各“套餐”方案图表的分析发现，对各套餐资费的计算属于简单函数模型2，由于17951国内IP长途资费的计费标准相同，故在相同时间内，北京四种套餐方案的长途资费相同，为了方便计算与分析，将长途资费与数据业务项忽略不计。1.1 北京移动公司全球通“畅听99套餐”方案的资费计算方法为： 用MATLAB 画图如下(见附录程序一)：图1图1 北京各套餐方案适应于何种用户，需对各用户在一定时间内的通话时长进行分类考虑，所以，当使用99元套餐业务的用户时长超过280分钟以后，就有可能发生与139元套餐业务话费相等的时刻，即：，MATLAB求解得：分钟，即超过分钟后使用1

10、39元套餐会比99元套餐实惠。同理可得以下关系式：， ，MATLAB求解得：分钟 和 分钟。即：超过分钟后使用199元套餐比使用139元套餐实惠，超过分钟后使用299元套餐比使用199元套餐实惠。所以：(1)当通话时长在范围内的用户，适应于使用99元套餐业务。(2)当通话时长在范围内的用户，适应于使用139元套餐业务。(3)当通话时长在范围内的用户，适应于使用199元套餐业务。(4)当通话时长在范围内的用户，适应于使用299元套餐业务。1.2 对上海“全球通68套餐”方案进行分析，可得其资费计算方法： 用MATLAB画图如下（见附录程序二）：图2图2 类似北京套餐方案的求解，分析可得以下关系式

11、： ， ，MATLAB求解得：分钟 和 分钟。所以：(1)当通话时长在范围内的用户，适应于使用68元套餐业务。(2)当通话时长在范围内的用户，适应于使用128元套餐业务。(3)当通话时长在范围内的用户，适应于使用188元套餐业务。2. 问题（2）模型：我们对现行的资费标准进行了逐个的分析评价并与北京、上海推出的“套餐”方案做了比较，以月租费、本地话费、漫游话费、长途话费四项建立了数学模型。蛰伏系数：根据不同的交际范围，用户大多只与本地的人联系，而较少与漫游区、长途区的人联系，以这三种区域为区分标准定出来的系数3：，我们对各种资费方案的评价准则为：在通话量与时间一定的情况下，对广大用户来说，比较

12、哪一种方案更实惠。由此我们建立的数学模型：2.1 客户使用一项功能2.1.1 根据假设可知：，即 ，全球通：，神州行：，对全球通和神州行进行比较,令，得，(1)当时，全球通合适；(2)当时，神州行合适。2.1.2 漫游拨打型根据假设可知：，即 ，全球通：，神州行： ，对全球通和神州行进行比较,令 ，得，(1)当时，全球通合适；(2)当时，神州行合适。2.1.3 长途拨打型根据假设可知：，即，全球通：，神州行：，对全球通和神州行进行比较,令，得，(1)当时，全球通合适；(2)当时，神州行合适。2.2 客户使用两项功能2.2.1 本地漫游拨打型根据假设可知：即 ，全球通： ，神州行： ，对全球通和

13、神州行进行比较,令，得，(1)当 时，全球通合适；(2)当时，神州行合适。2.2.2 本地长途拨打型根据假设可知：，即 ，全球通：，神州行：，对全球通和神州行进行比较,令，得，(1)当时，全球通合适；(2)当时，神州行合适。2.2.3 漫游长途拨打型根据假设可知：，即 ，全球通：，神州行：，对全球通和神州行进行比较,令，得，(1)当时，全球通合适；(2)当时，神州行合适。2.3 客户使用三项功能根据假设可知：，即 ，全球通：，神州行：，对全球通和神州行进行比较,令 ，得，(1)当时，全球通合适；(2)当时，神州行合适。2.4 动感地带资费方案分析对动感地带收费标准的图表进行分析评价，发现动感地

14、带相对于神州行和全球通而言，在不考虑其套餐的情况下，易见动感地带的各项收费标准远低于神州行和全球通，故动感地带对于学生类等低消费客户较为合适。2.5 对北京、上海推出的“套餐”方案与现行的资费标准进行比较2.5.1上海 “套餐”方案与现行的资费标准比较全球通现行的资费方案的计算方法：。上海移动公司的“全球通68套餐”方案的计算方法： 对全球通与上海“全球通68套餐”方案进行比较，得如下关系式： ，得， ，得， ，得，因为恒成立，所以无论取何值，结合问题（1）的结果可得出，。因此：(1)当时，全球通标准资费合适。(2)当时，上海“全球通68套餐”合适。(3)当时，上海“全球通128套餐”合适。(

15、4)当时，上海“全球通188套餐”合适。2.5.2 北京 “套餐”方案与现行的资费标准比较全球通现行的资费方案的计算方法：。北京移动公司全球通“畅听99套餐”方案的计算方法： ，对全球通与北京全球通“畅听99套餐”方案进行比较，得如下关系式： ，得， ，得， ，得， ，得。因此：(1)当时，全球通标准资费合适。(2)当时，因为即当时，北京“畅听99套餐”合适。(3)当时，北京全球通“畅听139套餐”合适。(4)当时，北京全球通“畅听199套餐”合适。(5)当时，北京全球通“畅听299套餐”合适。评价：用这两种“套餐”方案分别与现行的资费标准进行比较，可以看出，只有在总分钟数非常少的情况下，现行

16、的资费标准才适用，其余情况从消费者的角度来考虑都是不适用的。3问题（3）这个方案与北京移动公司现行的全球通资费标准相比，具有自己独特的优点。第一，从北京移动公司的角度考虑，通过被叫全免的方法，目的是扩大运营商自己的市场份额，北京的全球通客户只要承诺在网一年，每月正常缴纳月基本费，即可享受本地接听电话全部免费，彻底实现单向收费4。第二，全球通资费调整会导致动感地带和神州行用户的加入，也会使一些联通用户转网，转网用户增加，将会使得全球通的用户基数增加，能够部分弥补单向收费带来的收入减少。全球通的利润主要来自于高端用户的漫游和主叫通话，本地被叫免费对于全球通的影响较小，而且北京移动在推出全球通新套餐

17、时，对于各个资费分类都有严格的规定，因此，对于全球通整体收入影响在一个可控的范围内5。第三，全球通手机用户要想真正享受单向收费，并非“无条件”，要想申请“被叫全免计划”，客户还需要签署一年在网协议，缴纳月基本费，有效期内不得转户、申请销号，不得参加北京移动推出的其他优惠促销，才能享受本地接听电话全部免费。因此，对于换机族，针对那些曾用积分换购手机的人来说，无论是参与被叫全免，还是参与“畅听99”，都不可能。而现在，尽管换机族仍然要承诺每月要打够一定额度的话费，自动单向收费后，意味着这类机主每月可以有更多的外拨电话时长。所以，要根据打电话的额度来确定此方案对用户受益程度的大小。4问题（4）4.1

18、 模型：针对题目的要求，我们要设计一个全球通手机的资费方案时，需要考虑到许多因素，而这些因素对不同种类的资费方案的影响程度也是不同的，所以我们建立了层次分析法模型6。首先我们将此问题分为三个层次，最上层为目标层，即资费方案；最下层为方案层，有全球通、神州行、动感地带三种资费方案；中间层为准则层，有价格因素、个性化因素、促销的关注度、满意度四个准则。目标层目标层准则层方案层促销因素满意度个性化因素价格因素资费方案全球通神州行动感地带图3 根据市场调查，客户对三种品牌的关注度和满意度如下：动感地带、神州行、全球通用户对价格和促销的关注度依次减弱，满意度依次上升；动感地带、全球通、神州行用户对个性化

19、的关注度依次减弱，满意度依次上升7。准则层的成对比较矩阵：方案层的成对比较矩阵： 然后通过MATLAB软件对各成对比较矩阵求解（见附录程序三）： ， ， ， ， ， ，。方案层对目标层的权重分别为：0.6211,0.1632,0.2157。准则层对目标层的权重分别为：0.0560，0.2733，0.1083，0.5624。通过上述结论可以看出，个性化因素和满意度对全球通手机的资费方案的设计起主要作用。另外，它也是广大用户在选择资费方案时所考虑的首要因素。我们认为一个完整套餐的设计包括主套餐和附加套餐的设计，但设计主套餐时，它需要考虑的因素特别多，如在完全竞争的移动通信市场中还是在垄断竞争的移动

20、通信市场中；资费套餐低端设计和资费套餐高端设计，而且针对不同的情况它所需要的数据也不同，完全竞争移动运营市场下的资费套餐设计需要如下数据支持：个人通话时间，超出的移动通话费率和超出的移动通话量，每分钟的话费成本；在垄断竞争市场下的资费套餐设计需要如下数据支持：个人通话时间（通话费用），移动运营商现有的普通资费水平，竞争对手的资费水平。 而这些数据的统计又是非常困难的，我们考虑到北京和上海现行的资费方案，既然已经使用它肯定是合理的，所以我们设计合理套餐方案的思路就是以现有的套餐为主套餐，针对问题（2）提出的几种情况添加附加业务，供不同种类的客户进行选择。4.2 针对北京移动公司的全球通“畅听99

21、套餐”方案。我们所设计的方案为：(1)主套餐（保持不变）：表一月基本费（元/月）包含本地主叫分钟数超出套餐部分本地主叫资费（元/分钟）本地被叫资费（元/分钟）包含数据业务*17951国内IP长途资费（元/分钟）992800.35010M GPRS流量0.11395600.25010M GPRS流量+25条彩信0.119910000.2050M GPRS流量0.129920000.15050M GPRS流量0.1(2)附加套餐：（根据附加套餐的不同种类可分别列方程如下：）短信包（条数）：,得：。国内长途资费（时间）：漫游资费（时间）：，得。GPRS流量赠送（流量）：。取，则，GPRS流量为334

22、KB。附加套餐如表二所示：表二某用户某月话费总额（元/月） 漫游费单价折扣（元/分）国内长途费单价折扣（元/分）网内可发短信条数（条/月）国内长途通话时间（分钟）漫游通话时间（分钟）GPRS流量（KB）1000.10.110016193344.3 针对上海移动公司的“全球通68套餐”方案。我们所设计的方案为：(1)主套餐（保持不变）：表三月基本费（元/月）包含本地主叫分钟数超出套餐部分本地主叫资费（元/分钟）主叫通话被叫通话683600.1801288000.16018812000.130(2)附加套餐：（计算过程同北京移动公司的全球通“畅听99套餐”方案）短信包(条数)： 国内长途资费（时间

23、）：漫游资费（时间）：GPRS流量赠送（流量）： 取，则，GPRS流量为334KB. 附加套餐如表四所示：表四某用户某月话费总额（元/月） 漫游费单价折扣（元/分）国内长途费单价折扣（元/分）网内可发短信条数（条/月）国内长途通话时间（分钟）漫游通话时间（分钟）GPRS流量（KB）1000.10.11001619334六、模型的评价(1) 采用MATLAB进行求解，避免了手工计算带来得误差。(2) 建立的模型可以与实际情况相联系，通过实际要求进行求解，使模型具有更广的适用性。(3) 所建立的模型清晰的分析了手机资费中的计算方法。(4) 通过模型比较了标准资费方案和套餐方案，使用户选择业务时有了

24、明确的依据。(5) 所建立的模型明显具有系统性，实用性和简洁性。(6) 本题对全套模型的应用，提高了用户对所选业务的满意度和对运营商的忠诚度，从而达到了双方互赢的效果。七、模型的推广本题所建立的模型很好的解决了手机资费问题以及制定出了合理的套餐方案，而且这些模型在实际生活中还存在着广泛的用途，如，中国电信要出售何种价位的电话卡给学生才能获得最佳的利润且也能使学生感到实惠。参考文献1 王兵团，数学建模基础，北京:清华大学出版社，20042 侯风波等，高等数学，北京：高等教育出版社，20033 杨戍、朱瑞清，手机话费分析模型，洛阳师范学院学报，第2期，122页-124页，20044 刘世辉，北京移

25、动明推“被叫全免计划” 单向收费成真，/2007-05-22/04BB/33369690.html，2007-9-25 Ann，对北京移动单向收费的思考， HYPERLINK /20070209/n248146470.shtml /20070209/n248146470.shtml，2007-9-236 姜启源，数学模型，北京：高等教育出版社，20027 李靖华、徐蕾，移动通信资费套餐设计调查分析，/t/2007-09-17/11291743870.shtml，2007-9-2附录：1. 程序一： t=280:10:4000for i=1:length(t) if t(i)=280 y(i)=7*(t(i)-280)/20+99; elseif t(i)=560 y(i)=(t(i)-560)/4+139; elseif t(i)=1000 y(i)=(t(i)-1000)/5+199; elseif t(i)=2000 y(i)=3*(t(i)-2000)/20+299; end endplot(t,y)2. 程序二： t=360:10:2000for i=1:length(t) if t(i)=360 y(i)=0.18*(t(i)-360)+68; elseif t(i)=800 y(i)=(t(i)-800)*0.16+128; elseif t(i)=1