2022届上海市金陵中学数学高二第二学期期末监测模拟试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知数列的前项和为，则“”是“数列是等比数列”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条

2、件D既不充分也不必要条件2已知函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位，得到的图象关于轴对称，则（ ）A函数的周期为B函数图象关于点对称C函数图象关于直线对称D函数在上单调3已知，则复数（ ）AB2CD4观察下列各式：3272112152据此规律.所得的结果都是8的倍数.由此推测可得（ ）A其中包含等式：1032-1=10608BC其中包含等式：532-1=2808D5将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（ ）A150种B180种C240种D540种6已知下列说法：对于线性回归方程，变量增加一个

3、单位时，平均增加5个单位；甲、乙两个模型的分别为0.98和0.80，则模型甲的拟合效果更好；对分类变量X与Y，随机变量的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大；两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近1其中说法错误的个数为（）A1B2C3D47平面内平行于同一直线的两直线平行，由类比思维，我们可以得到（）A空间中平行于同一直线的两直线平行B空间中平行于同一平面的两直线平行C空间中平行于同一直线的两平面平行D空间中平行于同一平面的两平面平行8函数的最大值为（ ）ABCD9设aR，则“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行”的A充分不必要B必要

4、不充分C充要条件D既不充分也不必要10已知函数在区间内没有极值点，则的取值范围为ABCD11已知是虚数单位，是的共轭复数，若，则的虚部为（ ）ABCD12若从1，2，3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A60种B63种C65种D66种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知数列的前项和，则_14在正方体中，为的中点，为底面的中心，为棱上任意一点，则直线与直线所成的角是_.15设等差数列的前项和为，则取得最小值的值为_16已知是以为直径的半圆弧上的动点，为圆心，为中点，若，则_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分

5、）若数列的前项和为，且，.（1）求，；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.18（12分）的内角所对的边分别为，已知.（1）证明：；（2）当取得最小值时，求的值.19（12分）莫言是中国首位获得诺贝尔文学奖的文学家，国人欢欣鼓舞。某高校文学社从男女生中各抽取50名同学调查对莫言作品的了程度，结果如下：阅读过莫言的作品数（篇）0252650517576100101130男生36111812女生48131510（1）试估计该学校学生阅读莫言作品超过50篇的概率.（2）对莫言作品阅读超过75篇的则称为“对莫言作品非常了解”，否则为“一般了解”，根据题意完成下表，并判断能否有的把握认为“对

6、莫言作品的非常了解”与性别有关？非常了解一般了解合计男生女生合计注：K2P(K2k0)0.250.150.100.050.025k01.3232.0722.7063.8415.02420（12分）已知直线(t为参数），圆(为参数）.(1)当时，求与的交点坐标.(2)过坐标原点O作的垂线，垂足为为的中点.当变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线？21（12分）设实部为正数的复数，满足,且复数在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上.(1)求复数；(2)若复数为纯虚数，求实数的值.22（10分）已知函数.（）讨论函数的单调性；（）当时，在定义域内恒成立，求实数的值.参考答案一、选择题

7、：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】先令，求出，再由时，根据，求出，结合充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【详解】解：当时，当时，时，数列是等比数列；当数列是等比数列时，所以，是充分必要条件。故选C【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，熟记概念，以及数列的递推公式即可求解，属于常考题型.2、D【解析】根据对称轴之间的距离，求得周期，再根据周期公式求得；再平移后，根据关于y轴对称可求得的值，进而求得解析式。根据解析式判断各选项是否正确。【详解】因为函数图象相邻两条对称轴之间的距离为所以周期 ，则 所以函数函数的图象向左

8、平移单位，得到的解析式为因为图象关于y轴对称，所以，即，k Z因为所以即所以周期，所以A错误对称中心满足，解得，所以B错误对称轴满足，解得，所以C错误单调增区间满足，解得，而在内，所以D正确所以选D【点睛】本题考查了三角函数的综合应用，周期、平移变化及单调区间的求法，属于基础题。3、A【解析】由题意结合复数的运算法则和复数的性质整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：，则.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4、A【解析】先求出数列3,7,11,15，的通项，再判断得解.【详解】数列3,7,11,15，的通项为a

9、n当n=26时，a26故选：A【点睛】本题主要考查归纳推理，考查等差数列的通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5、A【解析】先将个人分成三组, 或,分组方法有中,再将三组全排列有种,故总的方法数有种.选A.6、B【解析】根据回归分析、独立性检验相关结论来对题中几个命题的真假进行判断。【详解】对于命题，对于回归直线，变量增加一个单位时，平均减少个单位，命题错误；对于命题，相关指数越大，拟合效果越好，则模型甲的拟合效果更好，命题正确；对于命题，对分类变量与，随机变量的观测值越大，根据临界值表，则犯错误的概率就越小，则判断“与有关系”的把握程度越高，命题正确；对于命题，两个

10、随机变量的线性相关性越强，则相关系的绝对值越接近于，命题错误.故选：B.【点睛】本题考查回归分析、独立性检验相关概念的理解，意在考查学生对这些基础知识的理解和掌握情况，属于基础题。7、D【解析】由平面中的线类比空间中的面即可得解。【详解】平面内平行于同一直线的两直线平行，由类比方法得：空间中平行于同一平面的两平面平行.故选：D【点睛】本题主要考查了类比推理，考查平面中的线类比空间中的面知识，属于基础题。8、B【解析】分析：直接利用柯西不等式求函数的最大值.详解：由柯西不等式得，所以（当且仅当即x=时取最大值）故答案为B.点睛：（1）本题主要考查柯西不等式求最值，意在考查学生对该知识的掌握水平和

11、分析推理能力.(2) 二元柯西不等式的代数形式：设均为实数，则，其中等号当且仅当时成立.9、C【解析】先由两直线平行解得a的值，再通过检验是否重合可得a=3，从而得两命题的关系.【详解】若直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行，可得：aa-1=23，解得当a=3时，两直线分别为：3x+2y+9=0和3x+2y+4=0，满足平行；当a=-2时，两直线分别为：x-y+3=0和x-y+3=0，两直线重合；所以“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行”的充要条件.故选C.【点睛】本题主要考查了两直线平行求参数值的问题。已知两直线的一般方程判定两直

12、线平行的一般方法为：已知l1:A1x+10、D【解析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的极值点，可得2k242k，或2k242k，kZ，由此求得的取值范围【详解】函数sin2x21sin2xcos2x+12sin（2x）+1 在区间（，2）内没有极值点，2k242k，或2k242k，kZ解得 k，或k，令k0，可得故选D【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的极值点，属于中档题11、A【解析】由题意可得：，则，据此可得，的虚部为.本题选择A选项.12、D【解析】试题分析：要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得个偶数时，有种结果，当取得个奇数时，有种结果，当

13、取得奇偶时有种结果,共有种结果.故答案为D.考点：分类计数原理.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、64【解析】分析：由题意，根据数列的和的关系，求得，即可求解的值.详解：由题意，数列的前项和为，当时，所以点睛：本题主要考查了数列中和的关系，其中利用数列的和的关系求解数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.14、90【解析】直线在平面内的射影与垂直【详解】如图，分别是的中点，连接，易知在上，又在正方形中，是的中点，（可通过证得），又正方体中，而，直线与直线所成的角是90故答案为90【点睛】本题考查两异面直线所成的角，由于它们所成的角为90，因此可通过证明它们相互

14、垂直得到，这又可通过证明线面垂直得出结论，当然也可用三垂线定理证得15、2【解析】求出数列的首项和公差，求出的表达式，然后利用基本不等式求出的最小值并求出等号成立时的值，于此可得出答案【详解】设等等差数列的公差为，则，解得，所以，所以，等号成立，当且仅当时，等号成立，但，由双勾函数的单调性可知，当或时，取最小值，当时，；当时，因此，当时，取最小值，故答案为【点睛】本题考查等差数列的求和公式，考查基本不等式与双勾函数求最值，利用基本不等式要注意“一正、二定、三相等”这三个条件，在等号不成立时，则应考查双勾函数的单调性求解，考查分析能力与计算能力，属于中等题16、【解析】先用中点公式的向量式求出，

15、再用数量积的定义求出的值【详解】，【点睛】本题主要考查向量中的中点公式应用以及数量积的定义三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2），证明见解析【解析】（1）由已知条件分别取，能依次求出，的值；（2）猜想.证明当是否成立，假设时，猜想成立，即：，证明当也成立，可得证明【详解】解：（1）由题意：，当时，可得，可得同理当时：，可得当时：，可得（2）猜想.证明如下：时，符合猜想，所以时，猜想成立. 假设时，猜想成立，即：.（），两式作差有：，又，所以对恒成立. 则时，所以时，猜想成立.综合可知，对恒成立.【点睛】本题主要考查数列的递推式及通项公式的应用，数学归

16、纳法的证明方法的应用，考查学生的计算能力与逻辑推理能力，属于中档题.18、（1）见解析；（2）.【解析】分析：（1）由正弦定理和余弦定理化简即可；（2），当且仅当，即时，取等号.从而即可得到答案.详解：（1），即，.（2）当且仅当，即时，取等号.，点睛：解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到19、（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据古典概型概率公式求出阅读某莫言作品在篇以上的频率，从而估计该校学生阅读莫言作品超过50篇概率；（2）利用公式K2求得 ，与邻

17、界值比较，即可得到结论.试题解析：（1）由抽样调查阅读莫言作品在50篇以上的频率为，据此估计该校学生阅读莫言作品超过50篇的概率约为；（2）非常了解一般了解合计男生302050女生252550合计5545100根据列联表数据得 所以没有75%的把握认为对莫言作品的非常了解与性别有关.【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式以及独立性检验，属于难题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）20、（1）(1，0)，（2）y2.故P

18、点轨迹是圆心为，半径为的圆【解析】(1)当时，C1的普通方程为y(x1)，C2的普通方程为x2y21.联立方程组解得C1与C2的交点为(1，0)，.(2)C1的普通方程为xsinycossin0.A点坐标为(sin2，cossin)，故当变化时，P点轨迹的参数方程为(为参数)P点轨迹的普通方程为y2.故P点轨迹是圆心为，半径为的圆21、（1）；（2）.【解析】（1）根据待定系数法求解，设，由题意得到关于的方程组求解即可（2）根据纯虚数的定义求解【详解】(1)设，由 ，得又复数在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上，则，即由，解得或（舍去），（2）由题意得，复数为纯虚数，解得实数的值为【点睛】处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理，求解过程中常常涉及到方程思想的运用22、（）当时，单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，单调递减区间为（）【解析】（）求出函数的的定义域以及导函数，分类讨论，情况下导数的正负，由此得到答案；（）结合（）可得函数的最小值，要使在定义域内恒成立，则恒成立，令，利用导数求出的最值，从而得到实数的值。【详解】（）由题可得函数的的定义域为，；（1）当时，