北京市西城区第十三中学2021-2022学年数学高二下期末综合测试试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1在区间上随机选取一个实数，则事件 的概率为（ ）ABCD2下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（ ）是周期函数；三角函数是周期函数；是三角函数ABCD3若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）ABCD4已定义在上的函数无极

2、值点，且对任意都有，若函数在上与具有相同的单调性，则实数的取值范围为（ ）ABCD5已知椭圆 的两个焦点为 ,且,弦过点 ,则的周长为( )ABCD6若abc,ac0BbcacDb(a-c)07的展开式存在常数项，则正整数的最小值为（）A5B6C7D148已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，则（ ）A2B4C-2D-49设集合A=4，5，7，9，B=3，4，7，8，9，全集U=AB，则集合中的元素共有 （ ）A3个B4个C5个D6个10已知复数，.在复平面上，设复数，对应的点分别为，若，其中是坐标原点，则函数的最大值为（）ABCD11已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）A0.4B0.8C0

3、.6D0.312数列0，的一个通项公式是()ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知离散型随机变量服从正态分布，且，则_.14某超市国庆大酬宾，购物满100元可参加一次游戏抽奖活动，游戏抽奖规则如下：顾客将一个半径适当的小球放入如图所示的容器正上方的入口处，小球自由落下过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，落入A袋得奖金4元，落入B袋得奖金8元，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左向右下落的概率都为.已知李女士当天在该超市购物消费128元，按照活动要求，李女士的活动奖金期望值为_元.15某人从处向正东方向走千米，然后向南偏西的方向走3千米，此时他离点的距离为

4、千米，那么_千米.16已知实数满足约束条件，则的最大值为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是是的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的大小；18（12分）已知函数.（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；（2）设函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.19（12分）按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品某企业有甲乙两套设备生产这种产品，为了检测这两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本对规定的质量指

5、标值进行检测表1是甲套设备的样本频数分布表，图1是乙套设备的样本频率分布直方图表1：甲套设备的样本频数分布表（1）将频率视为概率，若乙套设备生产了5000件产品，则其中合格品约有多少件？（2）填写下面22列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为这种产品的质量指标值与甲乙两套设备的选择有关：20（12分）北京市政府为做好会议接待服务工作，对可能遭受污染的某海产品在进入餐饮区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知该海产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响.（1）求该海产品不能销售的概率.（2）如果该海产品可以销售，则每

6、件产品可获利40元；如果该海产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利-80元）.已知一箱中有该海产品4件，记一箱该海产品获利元，求的分布列，并求出数学期望.21（12分）已知函数，为常数（）若时，已知在定义域内有且只有一个极值点，求的取值范围；（）若，已知，恒成立，求的取值范围。22（10分）一个盒子里装有个均匀的红球和个均匀的白球，每个球被取到的概率相等，已知从盒子里一次随机取出1个球，取到的球是红球的概率为，从盒子里一次随机取出2个球，取到的球至少有1个是白球的概率为.（1）求，的值；（2）若一次从盒子里随机取出3个球，求取到的白球个数不小于红球个数的概率.参考答案一、选择题：本题共12

7、小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】 由题意得，事件“”，即， 所以事件“”满足条件是， 由几何概型的概率公式可得概率为，故选B.2、A【解析】根据“三段论”的排列模式：“大前提”“小前提”“结论”，分析即可得到正确的顺序.【详解】根据“三段论”的排列模式：“大前提”“小前提”“结论”，可知：是周期函数是“结论”；三角函数是周期函数是“大前提”；是三角函数是“小前提”；故“三段论”模式排列顺序为.故选：A【点睛】本题考查了演绎推理的模式，需理解演绎推理的概念，属于基础题.3、A【解析】由已知可得对任意的恒成立，设 则 当时在上恒成立，在

8、上单调递增，又 在上 不合题意；当时，可知在单调递减，在单调递增，要使 ，在上恒成立，只要，令 可知在上单调递增，在上单调递减，又，故选A.4、A【解析】分析：易得函数是单调函数，令，则 ，（为常数），求出的单调性，从而求出在的单调性，得到在恒成立，求出的范围即可详解：定义在上的函数的导函数无零点，函数是单调函数，令，则， 在恒成立，故在递增，结合题意在上递增，故在恒成立，故 在恒成立，故 ，故选A点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，属于中档题5、D【解析】求得椭圆的a，b，c，由椭圆的定义可得ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=4a，计算即可得到所求值

9、【详解】由题意可得椭圆+=1的b=5，c=4，a=，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，即有ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4故选D【点睛】本题考查三角形的周长的求法，注意运用椭圆的定义和方程，定义法解题是关键，属于基础题6、C【解析】取特殊值a=1,b=0,c=-1进行验证即可。【详解】取a=1,b=0,c=-1代入，排除A、B、D，故选：C。【点睛】本题考查不等式的基本性质，不等式的基本性质、特殊值法是两种常用方法，但在利用特殊值法时取特殊值时要全面。7、C【解析】化简二项式展开式的通

10、项公式，令的指数为零，根据为正整数，求得的最小值.【详解】，令，则，当时，有最小值为7.故选C.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查与正整数有关问题，属于基础题.8、C【解析】先求出的值，再由函数的奇偶性得出可得出结果【详解】由题意可得，由于函数是定义在上的奇函数，所以，故选C.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求值，求函数值时要结合自变量的取值选择合适的解析式来计算，考查计算能力，属于基础题9、A【解析】试题分析：,所以，即集合中共有3个元素，故选A考点：集合的运算10、B【解析】根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解.【详解】据条件，且，所以，化简得，当时，取得最大值为

11、.【点睛】本题考查向量的数量积运算和三角函数的最值，属于基础题.11、C【解析】分析：根据随机变量服从正态分布，得到正态曲线关于对称，根据，得到对称区间上的概率，从而可求详解：由随机变量服从正态分布可知正态密度曲线关于轴对称，而，则故 ，故选：C点睛：本题主要考查正态分布的概率求法，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解12、A【解析】在四个选项中代n=2,选项B,D是正数，不符，A选项值为，符合,C选项值为，不符所以选A.【点睛】对于选择题的选项是关于n的关系式，可以考虑通过赋特殊值检验法，来减少运算，或排除选项二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】随机变量X服从正态

12、分布，=1，得对称轴是x=1，P（13）=0.468，P（13）=0.468=故答案为点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法熟记P(X)，P(1X1)，P(3X3)的值充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.14、5【解析】先记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，分别求出其对应概率，再由题意得到抽取活动奖金的可能取值，进而可求出结果.【详解】记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，由题意可得，所以.因为李女士当天在该超市购物消费128元，按照活动要求，李女士可参加一次抽奖，抽取活动奖金的可能取值为，所以期望为.故答案为5【点睛】本题主要考查

13、离散型随机变量的期望，熟记概念即可，属于常考题型.15、6【解析】根据题意作出图形，用正弦定理解出角，可得刚好构成直角三角形，可得答案.【详解】根据题意作出图形，如图.设向正东方向走千米到处，然后向南偏西的方向走3千米到处.即,由正弦定理得：.所以 又,所以.所以，则.所以.则.故答案为：6【点睛】本题考查了正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题16、1【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC及其内部，再将目标函数zxy对应的直线进行平移并观察z的变化，即可得到zxy的最大值【详解】作出实数x，y满足约束条件表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，其中A（1，1），B（

14、3，1），C（1，1）将直线l：zxy进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值；z最大值1；故答案为1【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数zxy的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】分析：设与相交于点，连接，根据题意可得，利用线面平行的判定定理得到平面；建立空间直角坐标系，求出法向量，然后运用公式计算二面角的大小详解：（1）设与相交于点P，连接PD，则P为中点，D为AC中点，PD/, 又PD平面D，/平面D.（2）如图建立空间直角坐标

15、系， 则D（0，0，0），A（1，0，0），（1，0，），B（0，0），（0，）=（-1，-），=（-1，0，-）设平面的法向量为n=（x，y，z）则nn则有，得n=（，0，1）由题意，知=（0，0，）是平面 ABD的一个法向量。设n与所成角为， 则， 二面角的大小是. 点睛：本题主要考查了线面平行的判定定理，要求二面角平面角的大小，可以采用建立空间直角坐标系的方法，给出点坐标，求出各面上的法向量，利用公式即可求出角的大小。18、 (1)；(2).【解析】试题分析：(1)由函数的解析式可得在上单调递增，则的取值范围是；(2)原问题等价于存在，使不等式成立.构造新函数，结合函数的性质可得实数的取

16、值范围为.试题解析：（1）由得，在上单调递增，的取值范围是.（2）存在，使不等式成立，存在，使不等式成立.令，从而，在上单调递增， .实数的取值范围为.19、（1）800件；（2）见解析；【解析】（1） 结合频数分布表，求出满足条件的概率,再乘以5000即可；（2）求出22列联表，计算K2值，判断即可【详解】（1）由图知，乙套设备生产的不合格品率约为；乙套设备生产的5000件产品中不合格品约为（件）；（2）由表1和图得到列联表：甲套设备乙套设备合计合格品484290不合格品2810合计5050100将列联表中的数据代入公式计算得；有95%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；【

17、点睛】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，准确计算是关键，是基础题20、（1）；（2）分布列见解析，期望为1.【解析】（1）利用对立事件的概率计算该产品不能销售的概率值；（2）由题意知的可能取值为，1，160；计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望【详解】（1）记“该产品不能销售”为事件，则（A），所以，该产品不能销售的概率为； （2）由已知，的可能取值为，1，160计算，； 所以的分布列为1160；所以均值为1【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平21、（1）（2）【解析】分析：将代入，求出的表达式，求导，然后综

18、合只有一个极值点即可求出结果法一：将代入，求导后利用单调性来求解；法二：整体思想，采用放缩法进行求解详解：（）当时， 因为在定义域内有且只有一个极值点，所以在内有且仅有一根，则有图知，所以 （），法1： 因，恒成立，则内，先必须递增，即先必须，即先必须，因其对称轴，有图知（此时在 ），所以 法2： 因，所以，所以， 令，因， ，所以递增，所以， 点睛：本题考查了含有参量的导数极值问题和恒成立问题，在解答此类题目时将参数代入，然后根据题意进行转化，结合导数的单调性进行证明，本题有一定难度。 22、（1），（2）【解析】（1）设该盒子里有红球个，白球个，利用古典概型、对立事件概率计算公式列出方程组，能求出，（2） “一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”分为“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为3个”和“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为2个，