高中数学考前归纳总结数列求和的常用方法

1、数列求和的常用方法一公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式,特殊声明：运用等比数列求和公式,务必检查其公比与 1 的关系,必要时需分类争论；常用公式：1 2 3 n 12 n n 1,1 22 2n 2 16 n n 12 n 1,1 3 2 3 3 3 n 3 n n 1 22例 1、已知 a n 是首项为 1的等比数列,如 S 是 a n 的前 n 项和,且 9S 3 S ,求数列 1 的前 n 项和 S ；na n解析：如 q 1,就由 9S 3 S ,得 9 3a16a1,就 a10,不满意题意,故 q 1 由 9S 3 S ,得 9 错误 . 错误 . ,解得 q2 6故 a n

2、 a q n 1 2 n 1,就 1 1 n 1a n 2于是数列 1 是以 1 为首项, 错误 . 为公比的等比数列,a n其前 5 项和为 S n 1 11 1 12 n2 2 12 n 2 2 1 n；2练习：（1）等比数列 a n 的前 n 项和 S n 2 n1,就 a 1 2a 2 2a 3 2a n 2_ n（答：4 1）；3（2）运算机是将信息转换成二进制数进行处理的；二进制即“ 逢 2 进 1” ,如 1101 2 表示二进制数,将它转换成十进制形式是 1 2 3 1 2 2 0 2 1 1 2 0 13,那么将二 111 11 2进制 2022 个 1 转换成十进制数是 _

3、（答：2 20221 ）二、分组求和法： 在直接运用公式法求和有困难时,常将“ 和式” 中“ 同类项” 先合并在 一起,再运用公式法求和例 2、数列 1 n n 的前 2 010 项的和 S 2022 为 A 2 010 B 1 005 C2 010 D1 005 解、法一： S 2 010 123 4 2 007 2 008 2 009 2 010 135 2 009 246 2 010 错误 . 错误 . 1 005 法二： S2 010 12 3456 2 009 2 010 12 34 56 2 009 2 010 1 1 1 1 1 10051005 个练习：求：S n 1 3 5

4、7 1 2 nn 1（答： 1 n n ）三、倒序相加法：如和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,就常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前 n 和公式的推导方法） ,如例 3、已知F x f x11是 R上的奇函数,a nf0f1f22nnfnn1f1 nN*,就数列 an 的通项公式为ann2ann Cann1 D Aann 1 B解析：F x f x11是奇函数,FxF x 2即f1x1f1x 1,f1xf1x22222即只需 mn1,就 fmfn 2,而ananf01f1 nnf2 nffnn1f1ffn1 1f0n,得2a nf0f1f

5、1fnn1 f1f02n1n ann1 练习：求证：0 C n221 3 C n2 5 C nf2nn 1 C n n1 2n；f1 3f1_ 已知f x x,就f12f3f4f11x24（答：7 2）四、错位相减法：假如数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位相减法（这也是等比数列前 n 和公式的推导方法）如例 4、设 an 是等差数列, bn 是各项都为正数的等比数列,且 a1b11,a3b519,a5b39,求数列 anbn 的前 n 项和 Sn；解：由条件易求出a nn b nn 21nN*,Sn1 12 213 2 2 n 2 n1, 2Sn1 2

6、2 22 n1 2n 1n 2 n,由,得 : Sn12 122 2 n1n 2 n,4,那Sn2n1n1 练习：设 a n为等比数列,Tnna 1n1 a22an1a ,已知T 11,T 2 求数列 a n的首项和公比；求数列T n的通项公式（答：a 11,q2；T nn 21n2）；五、裂项相消法： 假如数列的通项可 “ 分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,么常选用裂项相消法求和常用裂项形式有：n n 11 1n n 11；n n 1k 1 1k n n 1k ； 12 2 1 1 1 1,1 1 1 12 1 1 1；k k 1 2 k 1 k 1 k k 1 k 1 k k k

7、 1 k k 1 k 1 1 1 1；n n 1 n 2 2 n n 1 n 1 n 2 n 1 1； n 1. n . n 1. 2 n 1 n 2 1 2 2 n n 1n n 1 n n n 1例 5、已知数列 an ：错误 . ,错误 . 错误 . ,错误 . 错误 . 错误 . , , 错误 . 错误 .错误 . 错误 . , ,求数列 bn 错误 . 的前 n 项和 Sn；解、由已知条件,可得数列1a n的通项公式为an11231nnn2b n14141n 1,a a n nn nnS n41111141n1 1223n41n1nn1例 6、数列 an 的通项公式an 错误 . nN *,如前 n 项和为 Sn,就 Sn 为1 错误 . 错误 . 1 错误 . 1 错误 . 错误 . 错误 . 1 解： an错误 . 错误 . 错误 . 错误 . ,Sn错误 . 错误 . 1错误 . 错误 . 错误 . 错误 . 错误 . 错误 . 错误 . 错误 .错误 . 错误 .